Hodge teori

Hodge-teorien beskæftiger sig med studiet af differentielle former på glatte manifolds . Mere specifikt studerer denne teori, hvordan den generaliserede Laplacian forbundet med en Riemann-metrik på en mangfoldig M påvirker dens kohomologigrupper med reelle koefficienter.

Denne teori blev udviklet af William Hodge i 1930'erne som en generalisering af de Rham-kohomologien . Hodge-teori har store anvendelser på tre niveauer:

I tidlige papirer blev manifolden M antaget at være lukket (det vil sige kompakt og uden grænse). På alle tre niveauer havde teorien stor indflydelse på efterfølgende arbejde, idet den blev brugt af Kunihiko Kodaira og senere af mange andre.

Applikationer og eksempler

De Rham cohomology

Hodge selv formulerede denne teori for de Rham-komplekser . Hvis M er en kompakt orienterbar manifold udstyret med en glat metrisk g , og Ωk ( M ) er en bunke af glatte differentialformer af grad k på M , så er de Rham-komplekset en sekvens af differentialoperatorer

0\rightarrow {\mathbb R}{\xrightarrow {d_{{-1))))\Omega ^{0}(M){\xrightarrow {d_{0))}\Omega ^{1}(M){ \xrightarrow {d_{1}}}\cdots {\xrightarrow {d_{{n-1}}}}\Omega ^{n}(M){\xrightarrow {d_{n}}}0

hvor d k angiver den ydre afledede på Ω k ( M ). Så er de Rham-kohomologien simpelthen en sekvens af vektorrum defineret som

H^{k}(M)={\frac {\ker d_{k}}{{\mathrm {im}}\,d_{{k-1}}}}.

Det er muligt at definere en operator formelt konjugeret til den ydre afledede (ydre differential) d , kaldet codifferentialet og betegnet simpelthen ved at kræve, at for alle α ∈ Ω k ( M ) og β ∈ Ω k +1 ( M ) er relationen $\delta:$

\int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle _{{k+1}}\,dV=\int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle _{k}\ ,dV

hvor er metrikken induceret på . Nu kan Laplacian defineres som . Dette giver os mulighed for at definere rum af harmoniske former: $\langle \ ,\ \rangle _{k}$ $\Omega ^{k}(M)$ $\Delta =d\delta +\delta d$

{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\midt \Delta \alpha =0\}.

Det kan påvises , så der er en kanonisk kortlægning . Den første del af Hodges sætning siger, at der er en isomorfi af vektorrum. $d{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)=0$ $\varphi :{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)\højrepil H^{k}(M)$ $\varphi$

En af de vigtigste konsekvenser af dette er, at de Rham-kohomologigrupperne på en kompakt manifold er endelig-dimensionelle. Dette følger af det faktum, at operatorerne er elliptiske , og kernen af en elliptisk operator på en kompakt manifold er altid finitdimensional. $\Delta$

Hodge-teori for elliptiske komplekser

Hodge strukturer

Den abstrakte definition af (virkelige) Hodge-strukturer er som følger: for et reelt vektorrum er Hodge-strukturen på nedbrydningen af dets kompleksificering til en -graderet direkte sum $W$ $W$ $W^{{{\mathbb C}}}=W\otimes {\mathbb C}$

{\displaystyle W^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\bigoplus _{p=0}^{k}W^{p,kp))

desuden omarrangerer kompleks konjugation ikke de graderede udtryk og : $W^{\mathbb {C} }$ $W^{{p,q}}$ $W^{{q,p}}$

\overline {W^{{p,q}}}=W^{{q,p}}

Hovedpåstanden er, at de singulære kohomologigrupper med reelle koefficienter for en ikke-enkelt kompleks projektiv manifold har følgende Hodge-struktur: $H^{k}(V,\mathbb{R})$ $V$

H^{k}=\oplus _{{p=0}}^{k}H^{{p,kp}}

hvor er Dolbeault-kohomologigrupperne i mangfoldigheden . Dette indebærer forholdet mellem Betti-tallene og : $H^{{p,q}}$ $V$ $b_{k}=\dim H^{k}$ $h_{{p,q}}=\dim H^{{p,q}}$

b_{k}=\sum _{{p=0}}^{k}h_{{p,kp}}

Hodge-udvidelsen opstod oprindeligt fra teorien om harmoniske former (egenvektorer af Laplacian i rummet af differentialformer ), der generaliserede lokalt konstante harmoniske funktioner. Det er bevist, at hver klasse af singular kohomologi kan repræsenteres af en unik harmonisk form, og at en sådan form nødvendigvis har en veldefineret bigrading (med hensyn til handlingen af den komplekse strukturoperator). Dette indebærer Hodge-nedbrydning. Efterfølgende blev Hodge-nedbrydningen opnået rent algebraisk ved hjælp af teorien om spektralsekvenser og sheaf-kohomologigrupper i Dolbeaults værker. $(p,q)$ $H^{{q}}(V,\Omega ^{{p}})$

I tilfælde af ikke-kompakte manifolder eller manifolder med singulariteter , er det nødvendigt at erstatte Hodge-strukturen med en blandet Hodge-struktur , som adskiller sig ved, at den singulære kohomologi-nedbrydning til en direkte sum erstattes af et par filtreringer . Denne case bruges for eksempel i monodromiteori .

Litteratur

F. Griffiths, J. Harris. Principper for algebraisk geometri. - IO NFMI, 2000. - T. 1. - 496 s. - ISBN 5-80323-126-6 .
C. Voisin. Hodge-teori og kompleks algebraisk geometri. - M. : MTSNMO , 2010. - T. 1. - 344 s. - 1000 eksemplarer. - ISBN 978-5-94057-514-6 .