Orbifold

Orbifold , eller orbifold , - uformelt set er dette en mangfoldighed med singulariteter , der ligner en faktor i det euklidiske rum af en endelig gruppe.

Et af genstandene for undersøgelse i algebraisk topologi , algebraisk og differentialgeometri , singularitetsteori .

Orbifold og manifold (sammenligning af definitioner)

En orbifold er defineret som et Hausdorff topologisk rum (kaldet det underliggende rum af en orbifold) og et fornemt sæt åbne kortlægninger (kaldet et atlas ), således at billederne danner en dækning af rummet . $x$ $\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\subset \mathbb{R} ^{n}\to X$ $\varphi _{\alpha }(U_{\alpha })$ $x$

Atlasset skal opfylde et bestemt sæt egenskaber, som vi beskriver uformelt.

I modsætning til varianter er kort ikke homeomorfismer, men for hvert kort er der en begrænset gruppe , der virker på og kortlægger sig selv. Også for orbifolder mellem diagrammer er der sammenligningshomeomorfismer, men i modsætning til sorter er de ikke unikke og oversættes til hinanden under påvirkning af de tilsvarende grupper. $\varphi _{\alpha }$ $\Gamma _{\alpha }$ $\mathbb {R} ^{n}$ $U$

Bemærk

En Riemannsk orbifold kan defineres meget kort, nemlig som et rum lokalt isometrisk til en faktor af en Riemannmanifold med hensyn til en endelig isometrigruppe . Ud fra denne definition kan man konstruere en definition af en orbifold uden metrik. [en]

Eksempler

Et par manifolder med virkningen af en diskret diffeomorfismegruppe definerer en orbifold med underliggende rum . $M$ $\Gamma$ $M/\Gamma$
- Sådanne orbifolder kaldes gode , hvis en sådan repræsentation ikke eksisterer, så kaldes orbifolden dårlig .
Eksempler på orbifolder med en todimensionel kugle som emnerum kan fås ved at angive to kort , og for naturlige tal og . ${\mathbb S}^{2}={\hat {\mathbb C))$ $f,\;g\colon {\mathbb C}\til {\hat {\mathbb C))$ $f(z)=z^{m}$ $g(z)=1/z^{n}$ $m$ $n$
- Denne orbifold er god, hvis og kun hvis . $n=m$

Historie

Orbifolds blev først betragtet af , kaldte dem V - manifolds Udtrykket "orbifold" ( engelsk orbifold ) blev introduceret senere af Thurston .

Begge definerede en orbifold som en mangfoldig handlingsfaktor for en gruppe (i moderne terminologi definerede de "gode orbifolder"). Senere gav André Hafliger en mere generel definition i form af groupoids , som er den moderne standarddefinition.

Noter

↑ arXiv : 1801.03472

Litteratur

Arnold, V. I. Egenskaber ved kaustik og bølgefronter. — M.: FAZIS, 1996. — 334 s. - ISBN 978-5-7036-0021-4 .
Kaku, Michio. Introduktion til superstrengteori / pr. fra engelsk. G. E. Arutyunova, A. D. Popova, S. V. Chudova; udg. I. Ja. Arefieva. — M .: Mir , 1999. — 624 s. — ISBN 5-03-002518-9 .
Ketov, S. V. Introduktion til kvanteteorien om strenge og superstrenge. - Novosibirsk: Nauka, 1990. - 368 s. — ISBN 5-02-029660-0 .
Scott P. Geometri på tredimensionelle manifolds. — M.: Mir, 1986.
Dixon L., Harwey JA, Vafa C., Witten E. Strings on orbifolds // Nucl. Phys., 1985, B261, 678; 1986, B274, 286.