Variationsprincipper

Mekanikkens principper er de indledende positioner, der afspejler sådanne generelle love for mekaniske fænomener, at ud fra dem, som en konsekvens, kan alle ligninger, der bestemmer bevægelsen af et mekanisk system (eller betingelserne for dets ligevægt) opnås. I løbet af udviklingen af mekanik blev der etableret en række sådanne principper, som hver især kan tages som grundlag for mekanik, hvilket forklares af de forskellige egenskaber og mønstre af mekaniske fænomener. Disse principper er opdelt i ikke -variationelle og variationelle .

Ikke-variationsprincipper

Mekanikkens ikke-variationelle principper fastlægger direkte bevægelseslovene, der udføres af et system under påvirkning af kræfter, der påføres det. Disse principper omfatter for eksempel Newtons 2. lov , ifølge hvilken, når et punkt i systemet bevæger sig, er produktet af dets masse og acceleration lig med summen af alle kræfter , der påføres punktet , såvel som d'Alembert princip .

Ikke-variationsprincipper er gyldige for ethvert mekanisk system og har et relativt simpelt matematisk udtryk. Imidlertid er deres anvendelse kun begrænset af mekanikkens rammer, da et sådant rent mekanisk begreb som kraft direkte indgår i princippernes udtryk . Det følgende er også væsentligt. I de fleste problemer med mekanik betragtes bevægelsen af ikke-frie systemer, det vil sige systemer, hvis bevægelser er begrænset af begrænsninger . Eksempler på sådanne systemer er alle slags maskiner og mekanismer, hvor forbindelserne er lejer, hængsler, kabler osv., og til landtransport, vejbed eller skinner. For at studere bevægelsen af et ikke-frit system, baseret på ikke-variationelle principper, er det nødvendigt at erstatte effekten af bindingernes virkning med nogle kræfter kaldet bindingernes reaktioner . Men størrelsen af disse reaktioner kendes ikke på forhånd, da de afhænger af, hvad de er lig med, og hvor de givne ( aktive ) kræfter, der virker på systemet, påføres, såsom f.eks. tyngdekraft , fjederelasticitet , tryk osv. ., og også om hvordan systemet bevæger sig. Derfor vil de kompilerede bevægelsesligninger indeholde yderligere ukendte størrelser i form af begrænsningsreaktioner, hvilket normalt komplicerer hele løsningsprocessen markant.

Fordelen ved variationsprincipper er, at de umiddelbart giver bevægelsesligningerne for det tilsvarende mekaniske system, som ikke indeholder ukendte begrænsningsreaktioner. Dette opnås ved, at virkningen af forbindelsernes virkning ikke tages i betragtning ved at erstatte dem med ukendte kræfter (reaktioner), men ved at overveje de forskydninger eller bevægelser (eller stigninger af hastigheder og accelerationer), som dette systems punkter kan have i nærværelse af disse forbindelser. For eksempel, hvis et punkt M bevæger sig langs en given glat (ideal) overflade, som er en forbindelse for det, så kan effekten af denne forbindelse tages i betragtning

at erstatte bindingen med en tidligere ukendt reaktion N , rettet til enhver tid langs den normale n til overfladen (da bindingen ikke tillader punktet at bevæge sig i denne retning).
efter at have fastslået, at for et punkt i dette tilfælde, ved enhver af dets positioner, kun sådanne elementære forskydninger er mulige, der er vinkelrette på normalen n . Sådanne bevægelser kaldes mulige ( virtuelle ) bevægelser .
bemærker, at i dette tilfælde er bevægelsen af et punkt fra en position A til position B kun mulig langs en hvilken som helst kurve AB , der ligger på overfladen, hvilket er en forbindelse. Sådanne bevægelser kaldes kinematisk mulige .

Variationsprincipper

Indholdet af variationsprincipperne er, at de etablerer egenskaber (tegn), der gør det muligt at skelne den sande, det vil sige, der faktisk forekommer under påvirkning af givne kræfter, bevægelsen af et mekanisk system fra visse kinematisk mulige bevægelser af det (eller systemets ligevægtstilstand fra dets andre mulige tilstande). Normalt består disse egenskaber (tegn) i, at for sand bevægelse har en fysisk størrelse, som afhænger af systemets egenskaber, den mindste værdi sammenlignet med dens værdier i alle betragtede kinematisk mulige bevægelser. I dette tilfælde kan variationsprincipperne afvige fra hinanden i form af den angivne fysiske mængde og træk ved de betragtede kinematisk mulige bevægelser, såvel som træk ved de mekaniske systemer selv, for hvilke disse principper er gyldige. Anvendelsen af variationsprincipper kræver anvendelse af metoderne til variationskalkylen .

I form er variationsprincipper opdelt i det såkaldte differential, hvor det fastslås, hvordan systemets sande bevægelse adskiller sig fra de bevægelser, der er kinematisk mulige på ethvert givet tidspunkt, og integral, hvor denne forskel er etableret. for de bevægelser, som systemet udfører over et begrænset tidsrum.

Differentielle variationsprincipper inden for mekanikkens rammer er mere generelle og praktisk gældende for alle mekaniske systemer. Integrale variationsprincipper i deres mest almindelige form er kun gyldige for de såkaldte konservative systemer, det vil sige systemer, hvori loven om bevarelse af mekanisk energi finder sted. Men i modsætning til differentielle variationsprincipper og ikke-variationelle principper inkluderer de i stedet for kræfter en sådan fysisk mængde som energi , hvilket gør det muligt at udvide disse principper til ikke-mekaniske fænomener, hvilket gør dem vigtige for al teoretisk fysik .

Differentielle principper

De vigtigste differentielle variationsprincipper omfatter:

princippet om mulige forskydninger , som etablerer ligevægtstilstanden for et mekanisk system med ideelle forbindelser; ifølge dette princip adskiller et mekanisk systems ligevægtspositioner sig fra alle andre mulige positioner for det ved, at kun for ligevægtspositioner er summen af elementære værker af alle (aktive og reaktive) kræfter påført systemet ved enhver mulig forskydning af systemet er lig nul.
d'Alembert-Lagrange-princippet , ifølge hvilket den sande bevægelse af et mekanisk system med ideelle forbindelser adskiller sig fra alle kinematisk mulige bevægelser ved, at kun for sand bevægelse i hvert tidspunkt af tiden, summen af de elementære værker af alle aktive, reaktive og inertikræfter påført systemet ved ethvert muligt forskydningssystem er nul. I disse variationsprincipper er den betragtede fysiske størrelse kræfternes arbejde.

De differentielle variationsprincipper omfatter også Gauss-princippet ( princippet om mindste begrænsning ), hvor den fysiske størrelse, der tages i betragtning, er den såkaldte "tvang", udtrykt i form af givne kræfter og accelerationer af systemets punkter, samt det tæt tilstødende Hertz- princip ( princippet om mindste krumning ).

Integrale principper

De integrale variationsprincipper omfatter principperne for den mindste (stationære) handling , ifølge hvilke den sande blandt de betragtede kinematisk mulige bevægelser af systemet mellem dets to positioner er den, for hvilken den fysiske størrelse, kaldet handlingen, har en minimumsværdi . Forskellige former for disse principper adskiller sig fra hinanden i valget af handlingens størrelse og i træk ved de kinematisk mulige bevægelser af systemet sammenlignet med hinanden.

Både ikke-variationelle og variationsprincipper blev etableret i processen med at studere egenskaberne af mekaniske systemer og lovene for deres bevægelse. Da mekaniske fænomener, ligesom andre fysiske fænomener, er underlagt mange regelmæssigheder, viser en række principper, herunder variationelle, sig at være gældende for de tilsvarende mekaniske systemer. Hvis nogen af dem tages som den oprindelige, så opnås der fra det, som en konsekvens, ikke kun bevægelsesligningerne for et givet system, men også alle andre principper, der er gyldige for dette system.

Ansøgning

Variationsprincipper bruges både til at kompilere bevægelsesligningerne for mekaniske systemer i den enkleste form og til at studere disse bevægelsers generelle egenskaber. Med en passende generalisering af begreber bruges de også inden for kontinuummekanik , termodynamik , elektrodynamik , kvantemekanik , relativitetsteori osv. Ud fra synspunktet om implementering af variationsprincipper, især Lagrange-princippet, skelnes der mellem forskellige metoder. I det generelle tilfælde giver kravet om stationaritet af Lagrangian et system af partielle differentialligninger og et tilsvarende spektrum af initial-grænseværdiproblemer ( Euler-ligningerne ). Hvis den generelle formulering er tredimensionel, gør Vlasov-metoden det muligt at reducere problemets dimension ved at reducere det til en todimensionel (eksempel - skalteori ), til et system af almindelige differentialligninger (eksempel - stavteori ) eller til et endeligt/uendeligt algebraisk ligningssystem ( Rayleigh-Ritz-metoden , finite element-metoden ).

Historie

Selv gamle naturfilosoffer (for eksempel Aristoteles ) antog, at "naturen ikke gør noget forgæves og i alle dens manifestationer vælger den korteste eller nemmeste vej" [1] . Den specifikke betydning af udtrykkene "korteste" eller "letteste" blev dog ikke specificeret [2] . Claudius Ptolemaios viste, at når en lysstråle reflekteres, er dens samlede vej den korteste, når indfaldsvinklen er lig med reflektionsvinklen, som observeres i praksis. Han advarede dog om, at i tilfælde af lysbrydning ville vejen (stiplet linje) ikke længere være den korteste [3] .

Det første variationsprincip i videnskabshistorien blev formuleret af Pierre de Fermat i 1662, og han henviste specifikt til lysets brydning. Fermat viste, at kriteriet i dette tilfælde ikke er stien, men tiden - strålen brydes i en sådan vinkel, at den samlede rejsetid er minimal [4] . I moderne notation kan Fermats princip skrives som følger:

T=\int _{{{\mathbf {A}}}}^{{{\mathbf {B}}}}{\frac {ds}{v}}=\int _{({\mathbf {A} ))^^{({\mathbf {B))))\mu ds=min

Her er mediets brydningsindeks [3] . $\mu$

Matematisk forskning og udvikling af Fermats princip blev udført af Christian Huygens [5] , hvorefter emnet blev aktivt diskuteret af de største videnskabsmænd i det 17. århundrede. Leibniz introducerede det grundlæggende handlingsbegreb i fysikken i 1669 : "Bevægelsens formelle handlinger er proportionale med ... produktet af mængden af stof, de afstande, de rejser, og hastigheden."

Parallelt med analysen af mekanikkens grundlag blev der udviklet metoder til løsning af variationsproblemer. Isaac Newton i hans " Matematical Principles of Natural Philosophy " (1687) satte og løste det første variationsproblem: at finde en sådan form for et revolutionslegeme, der bevæger sig i et modstandsdygtigt medium langs dets akse, for hvilket den oplevede modstand ville være den mindste. . Næsten samtidigt dukkede andre variationsproblemer op: problemet med brachistochrone (1696), formen af køreledninger osv.

De afgørende begivenheder fandt sted i 1744. Leonhard Euler offentliggjorde det første generelle værk om variationsregning ("En metode til at finde kurver med egenskaberne af et maksimum eller et minimum"), og Pierre-Louis de Maupertuis i sin afhandling "Enighed om forskellige naturlove, som hidtil syntes uforenelig" gav den første formulering af princippet om mindste handling : "Vejen, som lyset følger, er den vej, for hvilken mængden af handling vil være den mindste." Han demonstrerede opfyldelsen af denne lov for både refleksion og brydning af lys. Som svar på en artikel af Maupertuis udgav Euler (i samme år 1744) værket "Om bestemmelse af bevægelsen af kastede legemer i et ikke-modstandsdygtigt medium ved metoden maksima og minima", og i dette værk gav han princippet om Maupertu er en generel mekanisk karakter: "Da alle naturlige fænomener følger nogle enhver lov om maksimum eller minimum, så er der ingen tvivl om, at for buede linjer, der beskriver kastede legemer, når nogen kræfter virker på dem, er der en egenskab af maksimum eller minimum finder sted.Yderligere formulerede Euler denne lov: et legemes bane udfører, han anvendte den derefter, udledte bevægelseslovene i et ensartet gravitationsfelt og i flere andre tilfælde. $\int mv\ds$

I 1746 var Maupertuis i et nyt værk enig i Eulers mening og proklamerede den mest generelle version af hans princip: "Når der sker en bestemt ændring i naturen, er mængden af handling, der er nødvendig for denne ændring, den mindst mulige. Mængden af virkning er produktet af kroppens masse, deres hastighed og den afstand, de tilbagelægger. I den efterfølgende brede diskussion støttede Euler Maupertuis prioritet og argumenterede for den nye lovs universelle karakter: "hele dynamikken og hydrodynamikken kan afsløres med overraskende lethed ved hjælp af metoden maksima og minima alene" [3] .

En ny fase begyndte i 1760-1761, da Joseph Louis Lagrange introducerede det strenge koncept for variation af en funktion, gav variationskalkylen et moderne udseende og udvidede princippet om mindste handling til et vilkårligt mekanisk system (det vil sige ikke kun til gratis materialepoint). Dette markerede begyndelsen på analytisk mekanik. En yderligere generalisering af princippet blev udført af Carl Gustav Jacob Jacobi i 1837 - han betragtede problemet geometrisk som at finde ekstremalerne af et variationsproblem i et konfigurationsrum med en ikke-euklidisk metrik. Jacobi påpegede især, at i fravær af eksterne kræfter, er systemets bane en geodætisk linje i konfigurationsrummet [3] .

I 1834-1835 udgav William Rowan Hamilton et endnu mere generelt variationsprincip, hvorfra alle tidligere fulgte som særlige tilfælde:

\delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L({\mathbf {q}}(t),{\mathbf {{ \dot {q}}}}(t),t)\ dt=0

Her er Lagrangian af det dynamiske system, og er de generaliserede koordinater . Hamilton lagde dette princip til grund for sin " hamiltonske mekanik " og gav løsningen af variationsproblemet i form af " kanoniske ligninger ". $L$ $q$

Hamiltons tilgang viste sig at være alsidig og yderst effektiv i matematiske modeller af fysik, især for kvantemekanik . Dens heuristiske styrke blev bekræftet i skabelsen af den generelle relativitetsteori , da David Hilbert anvendte Hamilton-princippet til at udlede de endelige ligninger for gravitationsfeltet (1915).

Se også

Variationsserie

Litteratur

Variationsprincipper for mekanik. Moskva: Fizmatgiz, 1959.
Rumyantsev VV Leonhard Euler og mekanikkens variationsprincipper // Leonhard Euler 1707-1783. Samling af artikler og materialer til 150-året for døden .. - M. - L . : Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1935. - S. 180-207. .

Noter

↑ Euler L. Afhandling om princippet om mindste handling, med en analyse af indvendingerne fra den mest berømte prof. Koenig, fremsat mod dette princip // Variationsprincipper for mekanik. M.: Fizmatgiz, 1959. S. 96 - 108.
↑ Rumyantsev V.V., 1935 , s. 181..
↑ 1 2 3 4 Spassky B. I. Fysikkens historie, i to bind . - Ed. 2. - M . : Højere Skole, 1977. - T. I. - S. 198-205.
↑ Fermat P. Syntese til brydning // Mekaniks variationsprincipper. M.: Fizmatgiz, 1959. S. 96 - 108.
↑ Huygens X. Afhandling om lys. M.-L.: Gostekhnzdat, 1935. 172 s.