Euler linje
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. september 2022; checks kræver 2 redigeringer .Euler-linjen er en ret linje, der går gennem midten af den omskrevne cirkel og trekantens orthocenter .
Egenskaber
- Euler-linjen går igennem:
- Trekant tyngdepunkt
- Trekant orthocenter
- Skæringspunktet mellem midtperpendikulærerne til trekantens sider (midten af den omskrevne cirkel)
- Ni punkt cirkel centrum
- Exeter punkt X(22)
- Eulers sætning. Skæringspunktet for medianerne M ligger på Euler-linjen og deler segmentet mellem midten af den omskrevne cirkel O og orthocentret H i forholdet 1:2 ( ).
- Linjen, der går gennem de to punkter i Vecten og skærer Euler-linjen i midten af trekantens ni punkter .
- Euler - linjeligningen i trilineære koordinater er
- Skæringspunkterne mellem de linjer, der indeholder siderne i ortotrekanten , og de linjer, der indeholder trekantens sider , ligger også på samme linje . Denne linje kaldes den ortocentriske akse og er vinkelret på Euler-linjen.
- Schifflers sætning siger følgende: Hvis vi betragter tre trekanter BCI , CAI og ABI i en trekant ABC med centrum af den indskrevne cirkel I , så deres tre ( første ) Euler-linjer, samt den ( første ) Euler-linje i trekant ABC (alle fire linjer) skærer hinanden i ét punkt — ved Schiffler-punktet Sp (se figuren til højre).
Anden Euler-linje (Euler-Nagel-linje)
Ovenstående Euler-linje kaldes undertiden den (første) generaliserede Euler-linje [1] . Der er 4 punkter på denne linje:
- tyngdepunktet for den givne trekant _ _ _
- ortocentret af en given trekant ABC
- midten af den omskrevne cirkel af den givne trekant ABC (det er også midten af Euler-cirklen i den antikomplementære trekant A"B"C" )
- midten af Euler-cirklen i den givne trekant ABC
- Nogle forfattere (se billedet på faculty.evansville.edu ) tilføjer endnu et Longchamp-punkt L - et reflektionspunkt for orthocentret af trekanten ABC i forhold til dets centrum af den omskrevne cirkel (L= de Longchamps-punkt = oversættelse ikke i henhold til reglerne ), introduceret af den franske matematiker Gaston Albert Gohierre. Dette punkt er orthocentret af den antikomplementære trekant [2] [3] .
Den anden Euler-linje eller Euler-Nagel-linjen er defineret af følgende Huzels sætning .
- Husels sætning forfinet (Housel). Tyngdepunktet ( G ) af en given trekant ABC ( tyngdepunktet ), centrum af incirkel ( I ), dens Nagel-punkt ( M ) og centrum ( S ) af cirklen indskrevet i den komplementære trekant A'B 'C' (eller Spiekers centrum ) ligger på en lige linje . Desuden [4] ,
Den angivne linje kaldes nogle gange den anden Euler-linje eller Euler-Nagel-linjen . Der er 4 punkter på denne linje:
- tyngdepunktet ( G ) i den givne trekant (det er også tyngdepunktet for den komplementære trekant , og det er også tyngdepunktet for den antikomplementære trekant ).
- Nagelpunkt ( M ) i den givne trekant ABC (det er også midten af cirklen indskrevet i den antikomplementære trekant A"B"C" )
- incirkel centrum ( I ) af givet trekant ABC
- midten ( S ) af en cirkel indskrevet i den komplementære trekant A'B'C' , også kaldet Spiekers centrum .
- Alle generaliserede Euler-linjer passerer nødvendigvis gennem tyngdepunktet i den givne trekant, som både er tyngdepunktet i den komplementære trekant og den antikomplementære trekant .
Gossards perspektiv og Eulers linjer
Hvis vi tager et hvilket som helst sidepar fra trekanten ABC , og tager den første Euler-linje i trekanten ABC som den tredje side , så kan tre trekanter bygges ved opregning af tre muligheder. Deres første Euler-linjer danner en trekant AgBgCg kongruent med trekant ABC (lig med den, men roteret med en vinkel). Tre par segmenter, der forbinder lignende hjørner af disse to kongruente trekanter, vil skære hinanden i et punkt Pg, kaldet Gossard-perspektivet .
Link
Gossard Perspector http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html
Historie
Eulers teorem blev bevist i 1765 af L. Euler . Så opdagede han også det faktum, at midtpunkterne på siderne af en trekant og grundene for dens højder ligger på den samme cirkel - Euler-cirklen .
Se også
Noter
- ↑ Zetel, 1962 , s. 153.
- ↑ archive.lib.msu.edu . Dato for adgang: 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 2. juni 2013.
- ↑ faculty.evansville.edu . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 10. februar 2007.
- ↑ A. Bogomolny Nagel Line fra Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles . Hentet 8. april 2019. Arkiveret fra originalen 10. maj 2012.
Litteratur
- Leonhard Euler . Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum // Novi Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. 1767, v. 11. - S. 103-123. Genoptrykt i Opera Omnia, ser. I, bind. XXVI, s. 139-157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR0061061.
- Dm. Efremov. Ny trekantgeometri . - 1902.
- Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nye møder med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).
- Valgfrit kursus i matematik. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaya. - M . : Uddannelse , 1991. - S. 96-97. — 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 . .
- Zetel S.I. Ny trekantgeometri. En guide til lærere. 2. udgave .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - 153 s.
| Trekant | |
|---|---|
| Typer af trekanter | |
| Vidunderlige linjer i en trekant | |
| Bemærkelsesværdige punkter i trekanten | |
| Grundlæggende teoremer | |
| Yderligere teoremer | |
| Generaliseringer | |