Hop link

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. december 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Hopf-leddet  er det enkleste ikke-trivielle led med to eller flere komponenter [1] , består af to cirkler forbundet én gang [2] og er opkaldt efter Heinz Hopf [3] .

Geometrisk repræsentation

Den specifikke model består af to enhedscirkler i vinkelrette planer, således at hver passerer gennem midten af ​​den anden [2] . Denne model minimerer længden af ​​rebet (længden af ​​rebet er en invariant af knudeteorien) af lænken, og indtil 2002 var Hopf-leddet det eneste, hvor længden af ​​rebet var kendt [4] . Det konvekse skrog af disse to cirkler danner en krop kaldet en oloid [5] .

Egenskaber

Afhængig af den relative orientering af de to komponenter , er Hopf- forbindelseskoefficienten ±1 [6] .

Hopf-leddet er et (2,2) -torisk led [7] med et beskrivende ord [8] .

Komplementet Hopf-leddet er, en cylinder over en torus [9] . Dette rum har en lokalt euklidisk geometri , så Hopf-linket er ikke hyperbolsk . Hopf -linkknudegruppen ( den grundlæggende gruppe af dens komplement) er( en fri Abelsk gruppe på to generatorer), og den adskiller Hopf-forbindelsen fra to ikke-forbundne cirkler, som svarer til den frie gruppe på to generatorer [10] .

Hopf-linket kan ikke være trefarvet . Dette følger direkte af, at et link kun kan farves med to farver, hvilket er i modstrid med anden del af definitionen af ​​farvning. Hvert kryds vil have maksimalt 2 farver, så ved farvning vil vi overtræde kravet om at have 1 eller 3 farver i hvert kryds, eller vi vil overtræde kravet om at have mere end 1 farve.

Hopf bundt

Hopf-bundtet  er en kontinuerlig kortlægning fra en 3-sfære (en tredimensionel overflade i det firedimensionale euklidiske rum ) til den mere velkendte 2-sfære , således at det omvendte billede af hvert punkt på 2-sfæren er en cirkel. Således opnås en nedbrydning af 3-sfæren til en sammenhængende familie af cirkler, og hver to forskellige cirkler fra denne familie danner et Hopf-led. Denne kendsgerning fik Hopf til at studere Hopf-links - da alle to lag er forbundet , er Hopf-bundtet et ikke-trivielt bundt . Dette var begyndelsen på studiet af homotopiske grupper af sfærer [11] .

Historie

Linket er opkaldt efter topologen Heinz Hopf , som studerede det i 1931 i sit arbejde med Hopf-fibrationen [12] . Et sådant led blev dog brugt af Gauss [3] , og uden for matematikken stødte man på det længe før det, for eksempel som emblem for den japanske buddhistiske sekt Buzan-ha , grundlagt i det 16. århundrede.

Se også

Noter

  1. ↑ Adams, 2004 , s. 151.
  2. ↑ 1 2 Kusner og Sullivan 1998 , s. 67-78.
  3. ↑ 1 2 Prasolov, Sosinsky, 1997 , s. 12.
  4. ↑ Cantarella, Kusner, Sullivan, 2002 , s. 257-286.
  5. ↑ Dirnböck, Stachel, 1997 , s. 105-118.
  6. ↑ Adams, 2004 .
  7. ↑ Kauffman, 1987 , s. 373.
  8. ↑ Adams, 2004 , s. 133, øvelse 5.22.
  9. ↑ Turaev, 2010 , s. 194.
  10. ↑ Hatcher, 2002 , s. 24.
  11. ↑ Shastri, 2013 , s. 368.
  12. ↑ Hopf, 1931 , s. 637-665.

Litteratur

Links