Parameterafhængigt integral

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. november 2014; checks kræver 5 redigeringer .

Et integral afhængig af en parameter er et matematisk udtryk , der indeholder et bestemt integral og afhænger af en eller flere variable ("parametre").

Parameterafhængig egenintegral

Lad et domæne være givet i et todimensionalt euklidisk rum , hvorpå en funktion af to variable er defineret. $\overline{G}=\venstre\{\venstre (x,y\right )|a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \right\}$ $f(x,y)$

Lad videre ,. $\forall y\in \left[c;d\right]\, \exists I\left(y\right)=\int\limits_a^bf\left(x,y\right)\, dx$

Funktionen og kaldes et integral afhængigt af parameteren. $I(y)$

Egenskaber for et integral afhængigt af en parameter

Kontinuitet

Lad funktionen være kontinuert i domænet som funktion af to variable. Så er funktionen kontinuerlig på segmentet . $f(x,y)$ $\overline{G}$ $I\left(y\right)=\int\limits_a^bf\left(x,y\right )\, dx$ $[c;d]$

Bevis

Overvej tilvæksten af integralet afhængigt af parameteren. $\Delta I\left(y\right) = I\left(y+\Delta y\right)-I\left(y\right )=\int\limits_a^bf\left(x,y+\Delta y\right) \,dx-\int\grænser_a^bf\venstre(x,y\højre)\,dx=$

$=\int\limits_a^b \left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right)\,dx$ .

Ved Cantors sætning er en funktion kontinuert på et kompakt sæt ensartet kontinuert på det, dvs. $\forall \epsilon >0 \, \exists \delta = \delta\left(\epsilon\right )>0\, \forall M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)\i \overline{G}:$

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}<\delta \, \left|f(M_1)-f(M_2)\right|<\epsilon$ .

Derfor, for , hvilket betyder kontinuiteten af funktionen $\Delta I(y) < \epsilon(ba)$ $\Delta y < \delta$

Differentiering under integraltegnet

Lad nu ikke kun funktionen være kontinuert på domænet , men også dens partielle afledte . $\overline{G}$ $f(x,y)$ $\frac {\partial f} {\partial y} \left (x,y\right )$

Så , eller, som er det samme, $\frac {d} {dy} I(y) = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx$ $\frac {d} {dy} \int\limits_a^bf(x,y)\,dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx$

Bevis

$\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} = \frac {1} {\Delta y} \int\limits_a^b (f(x,y+\Delta y) - f(x,y)) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,\eta ) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,y+ \Theta \Delta y)dx$ $( \eta \in [y;y+\Delta y], \Theta \in [0;1])$ Disse transformationer blev udført ved hjælp af Lagrange-middelsætningen . Overvej nu udtrykket . $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = \int\ limits_a^b \left(\frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y+\Theta \Delta y \right) - \frac {\partial f} {\partial y} \left(x, y\right) \right) \, dx$

Bruger igen Cantors sætning , men for funktionen får vi det for , hvilket beviser denne sætning $\frac {\partial f} {\partial y}$ $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = o(1 )$ $\Delta(y) \til 0$