Et integral afhængig af en parameter er et matematisk udtryk , der indeholder et bestemt integral og afhænger af en eller flere variable ("parametre").
Lad et domæne være givet i et todimensionalt euklidisk rum , hvorpå en funktion af to variable er defineret.
Lad videre ,.
Funktionen og kaldes et integral afhængigt af parameteren.
Lad funktionen være kontinuert i domænet som funktion af to variable. Så er funktionen kontinuerlig på segmentet .
BevisOvervej tilvæksten af integralet afhængigt af parameteren.
.
Ved Cantors sætning er en funktion kontinuert på et kompakt sæt ensartet kontinuert på det, dvs.
.
Derfor, for , hvilket betyder kontinuiteten af funktionen
Differentiering under integraltegnetLad nu ikke kun funktionen være kontinuert på domænet , men også dens partielle afledte .
Så , eller, som er det samme,
BevisDisse transformationer blev udført ved hjælp af Lagrange-middelsætningen . Overvej nu udtrykket .
Bruger igen Cantors sætning , men for funktionen får vi det for , hvilket beviser denne sætning
Integration under integraletegnetHvis funktionen er kontinuerlig i domænet , så
, eller, som er det samme:
Bevis
Overvej to funktioner:
på , derfor .
Siden da Na . _ Ved at substituere får vi sætningens betingelse.
Integralregning | ||
---|---|---|
Hoved | ||
Generaliseringer af Riemann-integralet | ||
Integrale transformationer |
| |
Numerisk integration | ||
måle teori | ||
relaterede emner | ||
Lister over integraler |