Bestilt ring

En ordnet ring i almindelig algebra er en ring (normalt kommutativ ), for alle elementer, hvoraf en lineær rækkefølge er defineret , i overensstemmelse med ringens operationer. De mest praktisk vigtige eksempler er ringen af heltal og ringene af heltalsmultipler . $R$ $\mathbb {Z}$

Definition

Lade være en ring, hvis elementer har en lineær orden , Dvs. en relation ( mindre end eller lig med ) med følgende egenskaber [1] . $R$ $\leqslant$

Refleksivitet :. _ $x \leqslant x$
Transitivitet : hvis og , så . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisymmetri : hvis og , så . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Linearitet: alle elementer er sammenlignelige med hinanden, det vil sige enten , eller . $F$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

Derudover kræver vi, at rækkefølgen er i overensstemmelse med operationerne med addition og multiplikation af ringen:

Hvis , så for enhver z : . $x \leqslant y$ $x+z\leqslant y+z$
Hvis og , så . $0\leqslant x$ $0\leqslant y$ $0 \leqslant xy$

Hvis alle 6 aksiomer er opfyldt, så kaldes ringen ordnet [2] . $R$

Eksempler på ordnede ringe

Ring af heltal $\mathbb{Z}.$
Ringen af lige tal og generelt enhver ring af tal, der er multipla af et givet reelt tal, der ikke er nul (ikke nødvendigvis et heltal). $k$
Ethvert ordnet felt - for eksempel felterne med rationelle og reelle tal ) er også ordnede ringe.
Et eksempel på en ordnet ring med nuldelere : hvis vi i den additive gruppe af heltal sætter alle produkter lig med nul, får vi en ordnet ring, hvor ethvert element er en nuldeler (enheden er da ikke et neutralt element til multiplikation, så der opnås en ring uden enhed) [3 ] [4] .

Relaterede definitioner

For at lette notationen introduceres yderligere sekundære relationer:

Et forhold større end eller lig med : betyder at .

x\geqslant y

y\leqslant x

Forholdet større end : betyder at og .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Et forhold mindre end : betyder at .

x<y

y>x

En formel med en af disse 4 sammenhænge kaldes en ulighed .

Elementer større end nul kaldes positive , mens de mindre end nul kaldes negative . Sættet af positive elementer i en ordnet ring er ofte betegnet med $R$ $R_{+}.$

En diskret ordnet ring er en ordnet ring, der ikke har nogen elementer mellem 0 og 1. Heltal er en diskret ordnet ring, mens rationelle tal ikke er det.

Grundlæggende egenskaber

Alle har følgende egenskaber. $x,y,z\in R$

Hvert element i en ordnet ring tilhører én og kun én af tre kategorier: positiv, negativ, nul. Hvis det er positivt, så negativt og omvendt. $x$ $-x$
Lignende uligheder kan tilføjes:

Hvis og , så .

x \leqslant y

x' \leqslant y'

x+x'\leqslant y+y'

Uligheder kan ganges med ikke-negative elementer:

Hvis og , så .

x \leqslant y

z\geqslant 0

zx\leqslant zy

En ordnet ring har ingen nuldelere , hvis og kun hvis produktet af positive elementer er positivt.
Tegnregel: produktet af ikke-nul-elementer med de samme fortegn er ikke-negativt (hvis der ikke er nuldelere i ringen, så positivt), og produktet af et positivt element med et negativt er ikke-positivt (hvis der er ingen nuldelere, så negative),
- Følge 1: i en ordnet ring er kvadratet af et ikke-nul-element altid ikke-negativt (og hvis der ikke er nogen nuldelere, så er det positivt) [5] .
- Følge 2: altid i en ordnet ring med 1 (fordi 1 er kvadratet af sig selv) [4] . $1>0$
En ordnet ring, der ikke er triviel (det vil sige, indeholder mere end blot nul) er uendelig.
Enhver ordnet ring med enhed og ingen nuldelere indeholder én og kun én subring isomorf i forhold til ringen af heltal [6] . $\mathbb {Z}$

Eksempler på ringe og felter, der ikke tillader bestilling

Komplekse tal danner ikke en ordnet ring, fordi i en ordnet ring, som nævnt ovenfor, er kvadratet af et element altid ikke-negativt, og den imaginære enhed kan ikke komme ind i det.
Slutfelter .
p-adiske tal .

Absolut værdi

Bestem den absolutte værdi af elementet $x:$

|x|=\max(x,-x)

Her vælger funktionen den største værdi. Den har følgende egenskaber (for hele ringen) [7] . $\max$ $x,y$

$|x|=0$ hvis og kun hvis . $x=0$
For alle ikke-nul og kun for dem . $x$ $|x|>0$
De absolutte værdier af modsatte tal er de samme: $|x|=|{-x}|$
Trekantulighed :. _ $|x+y|\leqslant |x|+|y|$
Multiplikativitet: $|xy|=|x||y|.$
$|x|\leqslant y$ er ensbetydende med $-y\leqslant x\leqslant y$

Variationer og generaliseringer

Teorien om ordnede ringe dækker også særlige tilfælde af ikke-kommutative (eller endda ikke-associative) ringe. Andre variationer er ved at blive udforsket:

Ringen er ikke lineær, men kun delvist ordnet , det vil sige, at ikke alle elementer kan sammenlignes med en given rækkefølge [8] .
I stedet for en ring er der en semiring , det vil sige, at der generelt ikke er nogen subtraktion i den [9] . Eksempel: naturlige serier forlænget med nul.

Noter

↑ Lam, TY (1983), Orderings, valuations and quadratic forms , bd. 52, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1
↑ Bourbaki, 1965 , s. 271.
↑ Bourbaki N. Algebra. Algebraiske strukturer. Lineær algebra. - M. : Nauka, 1962. - S. 137. - 517 s.
↑ 1 2 Bourbaki, 1965 , s. 272.
↑ Nechaev, 1975 , s. 90.
↑ Nechaev, 1975 , s. 100.
↑ Nechaev, 1975 , s. 91.
↑ Delvis bestilt ring . Hentet 27. januar 2019. Arkiveret fra originalen 27. januar 2019. (ubestemt)
↑ Nechaev, 1975 , s. 88-89.

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Polynomier og felter. Ordnede grupper. - M . : Nauka, 1965. - S. 271-272. — 299 s.
Nechaev V. I. 6.4. Lineært ordnede ringe og kroppe // Numeriske systemer. - M . : Uddannelse, 1975. - S. 90-94. — 199 s.