Gram determinant

Gram - determinanten ( Gramian ) for et system af vektorer i det euklidiske rum er determinanten for Gram-matrixen for dette system: $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

\begin{vmatrix} \langle e_1,\;e_1\rangle & \langle e_1,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,\;e_n\rangle \\ \langle e_2,\;e_1\rangle & \ langle e_2,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,\;e_n\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle e_n,\;e_1\rangle & \langle e_n, \;e_2\rangle & \ldots & \langle e_n,\;e_n\rangle \\ \end{vmatrix},

hvor er skalarproduktet af vektorer og . $\langle e_i,\;e_j\rangle$ $\mathbf{e}_i$ $\mathbf{e}_j$

Gram-matricen opstår fra følgende lineære algebra-problem:

Lad systemet af vektorer i det euklidiske rum generere et underrum . Ved at vide, hvad de skalære produkter af vektoren fra med hver af disse vektorer er, find koefficienterne for vektorens ekspansion af vektorer . $V$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ $U$ $\mathbf {x}$ $U$ $x$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

Baseret på nedbrydningen

\mathbf{x}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\ldots+x_n\mathbf{e}_n,

et lineært ligningssystem med en Gram-matrix opnås:

{\begin{cases}\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{1} ,\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n }=\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\ rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{2} ,\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\quad \ldots \quad \ ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf { e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle .\\ \end{sager}}

Dette problem er entydigt løses, hvis og kun hvis vektorerne er lineært uafhængige. Derfor er forsvinden af Gram-determinanten for et system af vektorer et kriterium for deres lineære afhængighed. $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

Geometrisk betydning af Grams determinant

Den geometriske betydning af Gram-determinanten afsløres ved løsning af følgende problem:

Lad systemet af vektorer i det euklidiske rum generere et underrum . Ved at kende skalarprodukterne af vektoren fra med hver af disse vektorer, find afstanden fra til . $V$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ $U$ $\mathbf {x}$ $V$ $\mathbf {x}$ $U$

Minimumsafstande over alle vektorer fra opnås på den ortogonale projektion af vektoren på . I dette tilfælde , hvor vektoren er vinkelret på alle vektorer fra , og afstanden fra til er lig med vektorens modul . For en vektor løses problemet med ekspansion (se ovenfor) i form af vektorer , og løsningen af det resulterende system skrives ud i henhold til Cramers regel : $|\mathbf{x}-\mathbf{u}|$ $\mathbf {u}$ $U$ $\mathbf {x}$ $U$ $\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{n}$ $\mathbf {n}$ $U$ $\mathbf {x}$ $U$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

\mathbf{u}=-\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1, \;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x} \rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\ mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf {e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{0} \end{vmatrix},

hvor er Gram-determinanten for systemet. Vektoren er: $\Gamma$ $\mathbf {n}$

\mathbf{n}=\mathbf{x}-\mathbf{u}=\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\ rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{ e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e }_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e} _2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{ e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{x} \end{vmatrix}

og kvadratet af dets modul er

|\mathbf{n}|^2=\langle\mathbf{n},\;\mathbf{x}\rangle=\frac{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2, \;\ldots,\;\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x})}{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\; \mathbf{e}_n)}.

Fra denne formel, ved induktion på , får vi følgende påstand: $n$

Gram-determinanten for et system af vektorer er lig med kvadratet af volumenet af det dimensionelle parallelepipedum, som disse vektorer spænder over. Dette viser, at i tilfælde af et tredimensionelt rum er Gram-determinanten for tre vektorer lig med kvadratet af deres blandede produkt . $n$ $n$

Se også

Gram-Schmidt proces