Fri partikel

En fri partikel er et udtryk, der bruges i fysik til at henvise til partikler , der ikke interagerer med andre legemer og kun har kinetisk energi .

Opsamlingen af frie partikler danner en ideel gas .

På trods af definitionens enkelhed spiller begrebet en fri partikel i fysik en meget vigtig rolle, da bevægelsesligningen først og fremmest skal være opfyldt for frie partikler.

Klassisk mekanik

I klassisk fysik bevarer en fri partikel sin hastighed , og følgelig er momentum også bevaret . Den kinetiske energi af en fri partikel er givet ved formlerne

$E=T={\frac {mv^{2}}{2}}$ , hvor m er massen af partiklen, i det ikke-relativistiske tilfælde.
$E=T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$ , hvor c er lysets hastighed , i det relativistiske tilfælde.

Ikke-relativistisk kvantemekanik

Kvantepartikler er beskrevet af Schrödinger-ligningen

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))=-{\frac {\hbar ^{2)){2m))\Delta \psi

Løsninger til denne ligning er givet ved overlejring af bølgefunktioner, som har formen

\psi _{\mathbf {k} }=A_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -itE/\hbar }

hvor

E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

$A_{\mathbf {k} }$ ethvert komplekst tal .

Bølgevektoren er det eneste kvantetal for en fri kvantemekanisk partikel . $\mathbf {k}$

En fri kvantepartikel kan være i en tilstand med en strengt defineret bølgevektor. Så er dens momentum også strengt defineret og lig med . I dette tilfælde er partiklens energi også defineret og er lig med E. Kvantepartiklen kan dog også være i en blandet tilstand , hvor hverken momentum eller energi er defineret. $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$

Fri partikel i krumlinjede koordinater

Hamiltonian af en fri partikel

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta

er proportional med Laplace-operatoren , som i krumlinjede koordinater, såvel som på en vilkårlig Riemannmanifold , har formen [1]

\Delta ={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k))}\right)

Hamiltonian af en fri partikel i krumlinjede koordinater har således formen: [2]

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i} }}\venstre({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)

Den klassiske Hamilton-funktion har formen

H_{c}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2m}}g^{ik}(\mathbf {q} )p_{i}p_{k }

I dette tilfælde opstår et ikke-trivielt bestillingsproblem, som kun kan løses lokalt [3]

H(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2m}}\left(g^{ik}(\mathbf {Q})P_{i}P_{k }+i\hbar g^{is}(\mathbf {Q} )\Gamma _{is}^{k}(\mathbf {Q} )P_{k}\right)

Relativistisk kvantepartikel

Relativistiske kvantepartikler beskrives ved forskellige bevægelsesligninger, afhængigt af typen af partikler. For elektroner og på samme tid deres antipartikler , positroner , er Dirac-ligningen gyldig . I en tilstand med en vis værdi af momentum p er partiklernes energi lig med

{\displaystyle E=\pm c{\sqrt {m^{2}c^{2}+p^{2))))

hvor "+"-tegnet svarer til en elektron, og "-"-tegnet svarer til en positron. For en relativistisk elektron dukker der også et ekstra kvantetal op - spin .

Andre partikler er beskrevet af deres egne specifikke ligninger, for eksempel er en spinløs partikel beskrevet af Klein-Gordon-ligningen .

Bemærk

↑ Laplace-operatoren på en Riemann-manifold kaldes Laplace-Beltrami-operatoren .
↑ Flugge, 2008 , s. 36.
↑ Takhtajyan, 2011 , s. 146.

Litteratur

Flygge Z. Problemer i kvantemekanik / Oversættelse fra engelsk, redigeret af A.A. Sokolova . - M . : Forlaget LKI, 2008. - T. 1. - 344 s.
Takhtadzhyan L.A. Kvantemekanik for matematikere / Oversat fra engelsk af ph.d. S.A. Slavnov . - Ed. 2. — M. -Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", Izhevsk Institute of Computer Research, 2011. — 496 s. - ISBN 978-5-93972-900-0 .

Modeller af kvantemekanik
Endimensionel uden spin	fri partikel Grube med endeløse vægge Rektangulær kvantebrønd delta potentiale Trekantet kvantebrønd Harmonisk oscillator Potentiel trædesten Pöschl-Teller potentiale godt Modificeret Pöschl-Teller potentialebrønd Partikel i et periodisk potentiale Dirac potentiel kam Partikel i ringen
Multidimensionel uden spin	cirkulær oscillator Hydrogen molekyle ion Symmetrisk top Sfærisk symmetriske potentialer Woods-saksisk potentiale Keplers problem Yukawa-potentiale Morse potentiale Hulthen potentiale Kratzers molekylære potentiale Eksponentielt potentiale
Inklusiv spin	hydrogenatom Hydrid ion helium atom