Toroidalt koordinatsystem

Et toroidalt koordinatsystem er et ortogonalt koordinatsystem i rummet, hvis koordinatflader er tori, kugler og halvplaner. Dette koordinatsystem kan opnås ved at rotere et todimensionalt bipolært koordinatsystem omkring en akse med lige stor afstand fra det bipolære systems brændpunkter.

Definition

Forholdet til kartesiske koordinater

Det toroidale koordinatsystem er defineret af formler for overgangen fra disse koordinater til kartesiske koordinater : $(\alpha ,\beta ,\varphi )$

x={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \cos \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))\quad \quad y={ \frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \sin \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}

hvor er skalafaktoren og radius af cirklen , hvori den toroidale koordinatoverflade degenererer ved . Grænser for koordinatændring . Drejer man sig til uendelig på den specificerede cirkel, har den en tendens til nul ved uendelig såvel som på ethvert punkt på aksen . De to andre koordinater er cykliske med punktum , for eksempel kan man vælge $c>0$ $x^{2}+y^{2}=c^{2},z=0$ $\alpha =\alpha _{0}=\mathrm {konst}$ $\alpha _{0}\rightarrow \infty$ $0\leqslant \alpha <\infty$ $x=0,\,y=0$ $2\pi$ $-\pi <\beta \leqslant \pi ,-\pi <\varphi \leqslant \pi$

Forholdet til cylindriske koordinater

Formler for overgangen fra toroidale koordinater til cylindriske koordinater : $(\alpha (z,r),\beta (z,r),\varphi )$ $(z,r,\varphi )$

r={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c \sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )).

For den omvendte transformation med kendte cylindriske koordinater beregner punkterne værdierne - den maksimale og minimale afstand fra det givne punkt til cirklen , hvorigennem de derefter udtrykkes $(z,r,\varphi )$ $R_{\pm }={\sqrt {r^{2}+z^{2}\pm 2cr))$ $r=c,\,z=0$

\kappa ^{2}(\alpha )=1-e^{-2\alpha }={\frac {4rc}{R_{+}^{2}}},\qquad \kappa ^{\ primtal }=e^{-\alpha }={\frac {R_{-}}{R_{+}}},\qquad \sin \beta ={\frac {2zc}{R_{-}R_{+} }}

Alternativ definition

I russisksproget litteratur kan enklere koordinater også kaldes toroidale , sådan at: $(\rho ,\beta ,\varphi )$

z=\rho \,\mathrm {sin} \,\beta \quad r=c+\rho \,\mathrm {cos} \,\beta

(i engelsk litteratur kaldes sådanne koordinater engelsk tubal , og ikke engelsk toroidal ). I dette tilfælde kaldes de cykliske koordinater henholdsvis poloidale og toroidale vinkler. Ud over disse termer , ud over disse termer, bruges udtrykket "magnetisk akse" også om den cirkel , hvorpå . Nær den magnetiske akse falder koordinaterne for begge systemer tilnærmelsesvis sammen, og koordinaterne og er relateret af relationen :. Kurvilineære strømningskoordinater [1] kan også indføres , hvor koordinatfladerne er topologisk toroidale magnetiske overflader (på hvilke plasmatrykket er konstant, og den normale komponent af magnetfeltet er lig nul. I dette tilfælde er analogen til variabler eller "flow"-koordinater tjener kun som en "markør"-magnetisk overflade, og dens numeriske værdi er ubetydelig. $\beta ,\,\varphi$ $r=c,\,z=0$ $\rho =0$ $\beta$ $\rho \equiv R_{-}$ $u$ $2\kappa ^{\prime }(u)\ca. \rho /c$ $\alfa$ $\rho$

Egenskaber

Koordinatoverflader

$\alpha =\mathrm {konst}$ - tori

({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\,\mathrm {cth} \,\alpha )^{2}+z^{2}=\venstre({ \frac {c}{\mathrm {sh} \,\alpha }}\right)^{2}

$\beta =\mathrm {konst}$ - kugler

(zc\,\mathrm {ctg} \,\beta )^{2}+x^{2}+y^{2}=\left({\frac {c}{\sin \beta )) \right)^{2}

$\varphi =\mathrm {konst}$ - halve fly

{\frac {x}{\cos \varphi }}={\frac {y}{\sin \varphi }}

Differentielle egenskaber

Den metriske tensor i toroidale koordinater har formen:

g_{ij}={\begin{pmatrix}{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0&0\\ 0&{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0\\0&0&{\frac {c^{2}\mathrm { sh} ^{2}\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}\end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin {pmatrix}{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0&0\\0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0\\0&0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2 }}{c^{2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\alpha }}\end{pmatrix}}.

Det er diagonalt, fordi det toroidale koordinatsystem er ortogonalt .

Linjeelement firkant:

ds^{2}={\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}(d\alpha ^{2} +d\beta ^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha \,d\varphi ^{2})

Arealelement kvadrat:

dS^{2}={\frac {c^{4}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{4}}}((d\alpha \,d \beta )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\alpha \,d\varphi )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\beta \ ,d\varphi )^{2})

Volumenelement:

dV={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3))}d\alpha \,d\beta \,d\varphi

Lam koefficienter :

h_{\alpha }=h_{\beta }={\frac {c}{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )),\quad h_{\varphi }={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))

Jacobian :

{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\alpha ,\beta ,\varphi )))={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\ alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}}

Christoffel-symboler af den anden slags:

\Gamma _{ij}^{1}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&0\ \-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \ ,\alpha -\cos \beta ))&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha (\mathrm {ch} \,\alpha \cos \beta -1)}{\mathrm {ch } \,\alpha -\cos \beta }}\end{pmatrix}},

\Gamma _{ij}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&-{\ frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&0\\-{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&0&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} ^{2}\alpha \sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\ cos \beta }}\end{pmatrix}},

\Gamma _{ij}^{3}={\begin{pmatrix}0&0&-{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}\\0&0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\\-{\frac {1}{(\ mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\ cos \beta }}&0\end{pmatrix}}.

Form af differentielle operatorer i toroidale koordinater

Gradienten af en skalarfunktion i toroidale koordinater er givet ved følgende udtryk:

\operatorname {grad} \,U(\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )={\frac {\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }{c))\ venstre({\frac {\partial U}{\partial \alpha }}{\vec {e}}_{\alpha }+{\frac {\partial U}{\partial \beta}}{\vec {e }}_{\beta }+{\frac {1}{\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{ \varphi }\right).

Vektorfeltdivergens :

\ \operatørnavn {div} \mathbf {F} ={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}\left({\frac {\partial F_{\alpha }}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial F_{\beta }}{\partial \beta } }+\,\mathrm {sh} \,\alpha {\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)-{\frac {\mathrm {ch} \,\alpha - \cos \beta }{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}(F_{\alpha }\,\mathrm {sh} \,\alpha -F_{\beta}\sin \ beta)

Laplace operatør :

\Delta u={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha } }\venstre({\frac {\partial }{\partial \alpha ))\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )){\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh } \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)+{\frac {1}{( \mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}} }\ret)

Differentialligninger i toroidale koordinater

Laplace-ligningen i toroidale koordinater har formen:

\left({\frac {\partial }{\partial \alpha ))\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha - \cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)+{\frac {1} {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2 }}}\right)=0

Løsningen søges bekvemt i formen:

u=v{\sqrt {2\mathrm {ch} \alpha -2\cos \beta ))

så er ligningen for funktionen : $v$

v_{\alpha \alpha }+v_{\beta \beta }+v_{\alpha }\mathrm {cth} \,\alpha +{\frac {1}{4}}v+{\frac {1 }{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}v_{\varphi \varphi }=0

Derefter kan du adskille variablerne:

v=A(\alpha )B(\beta )\Phi (\varphi )

Resultatet er et system:

{\begin{cases}A''+\,\mathrm {cth} \,\alpha \,A'+\left({\frac {1}{4))-{\frac {k_{\ varphi }^{2}}{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}-k_{\beta }^{2}\right)A=0\\B''+k_{\beta }^{ 2}B=0\\\Phi ''+k_{\varphi }^{2}\Phi =0\end{cases}}

I tilfælde af Helmholtz-ligningen i toroidale koordinater deler variablerne sig ikke.

Noter

↑ Shafr98, 1998 .

Litteratur

Korn G., Korn T. Kapitel 6. Systemer af krumlinjede koordinater. 6.5 Formler for ortogonale koordinatsystemer // Håndbog i matematik (for videnskabsmænd og ingeniører). - M. : Nauka, 1973. - S. 195. - 832 s.
Mors F. M., Feshbakh G. Kapitel 5. Almindelige differentialligninger. Tabel over adskillelseskoordinater for tre dimensioner // Teoretisk fysiks metoder. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1958. - T. 1. - S. 622. - 930 s.
Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Del IV. Formler, tabeller, grafer. IV. Forskellige ortogonale koordinatsystemer // Equations of Mathematical Physics. - 7. udg. - M . : Forlag ved Moscow State University; Science, 2004. - S. 732-733. — 798 s. — ISBN 5-211-04843-1 .

V. D. Shafranov . Toroidale systemer // Physical Encyclopedia / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1998. - V. 5: Stroboskopiske apparater - Lysstyrke. — 760 s. — ISBN 5-85270-101-7 .

Links

Weisstein, Eric W. Toroidal Coordinates (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Koordinatsystemer
Navn på koordinater	Abscisse Ordinere Applikation
Typer af koordinatsystemer	Retlineært koordinatsystem Kurvilineært koordinatsystem
2D koordinater	Tokantede koordinater Bicentriske koordinater Hyperbolske koordinater Polære koordinater Bipolære koordinater Parabolske koordinater Elliptiske koordinater Tetracykliske koordinater Trilineære koordinater
3D koordinater	Cylindriske koordinater Kugleformede koordinater Bisfæriske koordinater Toroidale koordinater Cylindriske parabolske koordinater Bicylindriske koordinater Ellipsoide koordinater Koniske koordinater Pentasfæriske koordinater Dipolært koordinatsystem
$n$ -dimensionelle koordinater	Cartesiske koordinater Affine koordinater Projektive koordinater Plücker koordinater barycentriske koordinater
Fysiske koordinater	Rindler koordinater Fødte koordinater Himmelsk koordinatsystem Geografiske koordinater Hovedortodromiske koordinatsystem
Relaterede definitioner	Koordinat metode Oprindelse Koordinatakse Vektor Orth referencesystem Benchmark Lamme koefficienter Metrisk tensor