Fødte koordinater

Fødte koordinater i speciel relativitet er et koordinatsystem, der bruges til at beskrive en roterende cirkel eller (mere generelt) en disk .

Cirkelrotation i speciel relativitetsteori

I en fast referenceramme beskrives cirklen med to koordinater , hvor metrikken har formen: $(T,\,\Phi)$

ds^{2}=dT^{2}-R^{2}\,d\Phi ^{2}

( er radius af cirklen, lysets hastighed antages at være lig med enhed ). $R$

Rotationen af en cirkel er beskrevet med formlen

\Phi =\varphi +\omega T

hvor er vinkelkoordinaten i rummet, er positionen af et punkt på cirklen, er den cirkulære frekvens , og T er tidspunktet for den faste referenceramme . $\Phi$ $\varphi$ $\omega$

Hvis vi betragter et punkt i cirklen (det vil sige, vi fikser ), så vil dens verdenslinje være en helix . Den korrekte tid for cirklens punkter er defineret som $\varphi$

{\sqrt {1-\omega ^{2}R^{2))}\ T.

Born-koordinaterne på en cirkel er et koordinatsystem . Disse to koordinater er ikke ortogonale. $(T,\;\varphi)$

Metrikken vil se ud

ds^{2}=\venstre(1-\omega ^{2}\,R^{2}\højre)\,dT^{2}-2\,\omega \,R^{2}\,dT \,d\varphi -R^{2}\,d\varphi ^{2}.

Diskrotation i speciel relativitet

Hvis vi betragter en ensartet roterende, som helhed, disk (det vil sige en cirkel ), så tilføjes en tredje koordinat :. $r$

Alligevel er det stadig konstant. $\omega$

I dette tilfælde vil multiplikatorerne afhænge af radius . $r$

Metrikken vil se ud

ds^{2}=\venstre(1-\omega ^{2}\,r^{2}\højre)\,dT^{2}-2\,\omega \,r^{2}\,dT \,d\varphi -dr^{2}-r^{2}\,d\varphi ^{2}.

Figuren viser, hvordan den lineære rotationshastighed stiger og nærmer sig lyssystemet af to koordinater , bliver mindre og mindre som en ortogonal. $r$ $(T,\;\varphi)$

Lysets hastighed i forhold til "tid" falder i løbet af rotationen, og stiger mod rotation. $T$

Diskens radius kan selvfølgelig ikke overstige , fordi i denne afstand fra rotationsaksen accelererer vores roterende referenceramme til lysets hastighed. ${\frac c\omega }$

Bestemmelse af afstande og tider

Problemer med roterende koordinater

Den roterende referenceramme er ikke inerti og forårsager mange problemer, selv når den ses overfladisk.

Som det blev vist, er to koordinater ikke ortogonale, selv på den samme cirkel, og dette er en uoprettelig ulempe - hvis vi synkroniserer tiden langs hele cirklen på én gang ved hjælp af lysets hastighed, vil referencesystemet ikke rotere, og hvis vi nægter , der kun synkroniserer tid på et stykke af cirklen, så "hæfter en enkelt tidskoordinat ikke sammen" [1] . På disken er situationen endnu værre - urene er ikke synkroniseret selv lokalt (se Sagnac-effekten ). $(T,\;\varphi)$ $T$

Når man beregner korrekt tid, skal koordinaten desuden ganges med en koefficient, der ikke længere er konstant (som på en cirkel), men en variabel, der afhænger af . Skiven, mens den forbliver solid, har en forskellig tidshastighed afhængigt af afstanden til rotationsaksen. $T$ $r$

På grund af problemer med tiden er det ikke helt klart, hvordan man bestemmer afstanden - nogle definitioner fører ikke til en symmetrisk funktion af afstanden mellem to punkter på disken. Og uden at kende afstandene kan vi ikke kontrollere, at skiven roterer som en stiv krop.

Langevin - Landau-Lifshitz metriske

Det viser sig dog at være muligt korrekt at definere afstanden på en roterende skive i betydningen en Riemannsk metrisk .

Det vil sige, at den naturlige geometri af en roterende skive ikke er euklidisk.

Se også

Rindler koordinater

Noter

↑ Strengt taget følger det, at vi ikke kan perfekt synkronisere ure selv på hele Jordens overflade , når planeten roterer. Virkningen af forskellen i lysets hastighed fra øst til vest og fra vest til øst i forhold til jordtiden bekræftes af ultrapræcise målinger.

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Felteori. - 4. udgave, revideret og forstørret. — M .: Fizmatgiz , 1962. — 424 s. - (" Teoretisk fysik ", bind II).