Dipolært koordinatsystem

Dipolært [1] , eller dipol [2] , koordinatsystem er et tredimensionelt krumlinjet ortogonalt koordinatsystem baseret på en punkt (central) dipol , mere præcist på dens koordinattransformationsinvarianter .

Definition

I et dipolært koordinatsystem, der er bundet til en punktdipol, er hvert punkt i rummet defineret af tre tal. I dette tilfælde, når du fikserer en af koordinaterne, opnås en ækvipotentialflade , og når du fikserer de to andre, opnås en kraftlinje . Kraftlinjerne er vinkelrette på ækvipotentialfladerne. Det dipolære koordinatsystem har rotations (aksial) symmetri om dipolaksen.

Figuren til højre (beregnet på en computer) på et plan, der passerer gennem dipolens akse, viser dens kraftlinjer (rød), såvel som sektioner af ækvipotentiale overflader ved dette plan (grøn). Selve dipolen er i midten af figuren. Mønsteret har to symmetriakser, vandret og lodret, vist som lige linjer. Den lodrette linje i figuren er dipolens akse. Kraftlinjerne er tegnet med rødt, de er mere aflange, placeret til venstre og højre for dipolen, og de grønne linjer, mere afrundede, placeret over og under dipolen, er sektioner af ækvipotentiale overflader ("ækvipotentiale linjer") . Koordinatlinjerne for et dipolært koordinatsystem i tredimensionelt rum opnås ved at rotere dette mønster omkring en lodret akse.

Det dipolære koordinatsystem er meget udbredt i den matematiske modellering af dipolsystemer. Desuden er betegnelserne for koordinater, deres rækkefølge og retning ikke afgjort og kan ændre sig [1] [2] [3] .

Definition af dipolære koordinater i form af koordinater for andre systemer

Koordinatsystemernes centre falder sammen, og de er henholdsvis orienteret i forhold til hinanden: systemernes akser og længdegrad er sammenfaldende.

Sfærisk koordinatsystem

Koordinatkomponenterne i et dipolært system, der simulerer en magnetisk dipol, bestemmes i form af sfæriske koordinater som følger [1] : $(\alpha ,\beta ,\lambda )$ $(r,\theta ,\varphi )$

\alpha ={\frac {r}{\sin ^{2}\theta )),\beta ={\frac {\cos \theta }{r^{2))},\lambda =\varphi .

I overensstemmelse med terminologien for det sfæriske koordinatsystem, her er afstanden til oprindelsen af koordinater (radial afstand), er zenit, eller polar, vinkel eller hældning , eller colatitude, er azimutvinklen. Ligningen bestemmer magnetfeltets ækvipotentiale overflade, og ligningssystemet bestemmer feltlinjen. $r$ $\theta$ $\varphi$ $\beta ={\tekst{const))$ $\alpha ={\tekst{konst)),\lambda ={\tekst{konst))$

Dipolære koordinatværdier har følgende begrænsninger:

0\leqslant \alpha <+\infty

... _ _

-\infty <\beta <+\infty

0^{\circ }\leqslant \lambda <360^{\circ }

hvor koordinaterne og (såvel som og ) ikke er defineret ved , og koordinaterne (og ) er heller ikke defineret ved og . $\beta$ $\lambda$ $\theta$ $\varphi$ $\alfa = 0$ $\lambda$ $\varphi$ ${\displaystyle \theta =0^{\circ ))$ ${\displaystyle \theta =180^{\circ ))$

Overgangen fra komponenterne i en eller anden vektor i sfæriske koordinater til komponenterne i det dipolære system udføres i henhold til formlerne [1] $\mathbf {A}$

{\begin{pmatrix}A_{\alpha }\\A_{\beta }\\A_{\lambda }\end{pmatrix))={\frac {1}{\sqrt {\delta ))} {\begin{pmatrix}\sin \theta &-2\cos \theta &0\\-2\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&0&{\sqrt {\delta ))\end{pmatrix)) {\begin{pmatrix}A_{r}\\A_{\theta }\\A_{\varphi }\end{pmatrix)),

hvor

\delta =1+3\cos ^{2}\theta =1+3\beta ^{2}r^{4}.

Lad , , være koordinatvektorerne i dette dipolære koordinatsystem. Derefter [1] ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha ))$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{\beta ))$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{\lambda ))$

{\displaystyle \mathbf {e} _{\beta }\times \mathbf {e} _{\alpha }=\mathbf {e} _{\lambda ))

... _ _

{\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }\times \mathbf {e} _{\lambda }=\mathbf {e} _{\beta ))

{\displaystyle \mathbf {e} _{\lambda }\times \mathbf {e} _{\beta }=\mathbf {e} _{\alpha ))

dvs. det så definerede dipolære koordinatsystem er, ifølge gimlet-reglen , tilbage.

Det er ikke muligt at udtrykke entydigt i form af for eksempel ligningerne til at bestemme sådanne [1] : $(r,\theta ,\varphi )$ $(\alpha ,\beta ,\lambda )$ $r,\theta$

\alpha \beta ^{2}r^{4}+r-\alpha =0,\alpha ^{2}\beta \sin ^{4}\theta -\cos \theta =0.

Nogle gange bruges en dimensionsløs afstand , hvor er en fast afstand, som følger [2] : ${\displaystyle {\tilde {r}}={\frac {r}{r_{c))))$ $r_{c}$

{\tilde {\alpha }}={\frac {\sin ^{2}\theta }{\tilde {r}}},{\tilde {\beta }}={\frac {\cos \ theta }{{\tilde {r}}^{2}}},\lambda =\varphi .

Derefter

\mathbf {e} _{\tilde {\alpha }}\times \mathbf {e} _{\tilde {\beta }}=\mathbf {e} _{\lambda }

... _ _

\mathbf {e} _{\tilde {\beta }}\times \mathbf {e} _{\lambda }=\mathbf {e} _{\tilde {\alpha }}

\mathbf {e} _{\lambda }\times \mathbf {e} _{\tilde {\alpha }}=\mathbf {e} _{\tilde {\beta }}

dvs. det så definerede dipolære koordinatsystem er ifølge gimlet-reglen rigtigt.

Kartesisk koordinatsystem

Koordinatkomponenterne i et dipolært system, der simulerer en magnetisk dipol, bestemmes i form af kartesiske koordinater og radial afstand som følger [1] : $(\alpha ,\beta ,\lambda )$ $(x,y,z)$ ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))$

\alpha ={\frac {r^{3}}{x^{2}+y^{2}}},\beta ={\frac {z}{r^{3}}},\ lambda =\operatørnavn {arctg} {\frac {y}{x)).

Det er umuligt at udtrykke entydigt i form af [1] : $(x,y,z)$ $(\alpha ,\beta ,\lambda )$

x={\frac {{\sqrt {r^{3}}}\cos \lambda }{\sqrt {\alpha }}},y={\frac {{\sqrt {r^{3} }}\sin \lambda }{\sqrt {\alpha }}},z=\beta r^{3}.

Differentielle egenskaber

Første og anden afledte

Jacobi-matrixen for overgangen fra kartesiske til dipolære koordinater har formen [1] :

{\frac {D(x,y,z)}{D(\alpha ,\beta ,\lambda )}}={\frac {1}{\delta }}{\begin{pmatrix}\sin ^{3}\theta (1-3\cos ^{2}\theta )\cos \lambda &-3r^{3}\sin \theta \cos \theta \cos \lambda &-\delta r\sin \ theta \sin \lambda \\\sin ^{3}\theta (1-3\cos ^{2}\theta )\sin \lambda &-3r^{3}\sin \theta \cos \theta \sin \ lambda &\delta r\sin \theta \cos \lambda \\3\sin ^{4}\theta \cos \theta &r^{3}(1-3\cos ^{2}\theta )&0\end{ pmatrix}}.

Jacobi-matrixen for overgangen fra sfæriske til dipolære koordinater har formen [1] :

{\frac {D(r,\theta ,\varphi )}{D(\alpha ,\beta ,\lambda )}}={\frac {1}{\delta }}{\begin{pmatrix} \sin ^{4}\theta &-2r^{3}\cos \theta &0\\-(2\sin ^{3}\theta \cos \theta )/r&-r^{2}\sin \theta &0\\0&0&\delta \end{pmatrix}}.

Lamme koefficienter

H_{\alpha }={\frac {\sin ^{3}\theta }{\sqrt {\delta }}},H_{\beta}={\frac {r^{3}}{\ sqrt {\delta ))},H_{\lambda }=r\sin \theta ,H_{\beta }=\alpha ^{2}H_{\alpha }H_{\lambda }.

Anden afledte [1] :

{\frac {\partial ^{2}r}{\partial \alpha ^{2))}=-{\frac {4\sin ^{6}\theta \cos ^{2}\theta ( 5+3\cos ^{2}\theta )}{r\delta ^{3}}},

{\frac {\partial ^{2}r}{\partial \beta ^{2))}={\frac {2r^{5}(15\cos ^{4}\theta +10\cos ^{2}\theta -1)}{\delta ^{3}}},

{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial \alpha ^{2))}={\frac {2\sin ^{5}\theta \cos \theta (9\cos ^ {4}\theta +16\cos ^{2}\theta -1)}{r^{2}\delta ^{3}}},

{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial \beta ^{2))}={\frac {r^{4}\sin \theta \cos \theta (9\cos ^ {2}\theta +11)}{\delta ^{3}}}.

Lad være med en skalar funktion . Dens første derivater i dipolære og sfæriske koordinater er beslægtede [1] : $f$

\delta {\frac {\partial f}{\partial \alpha ))=\sin ^{4}\theta {\frac {\partial f}{\partial r))-2{\frac {\ sin ^{3}\theta \cos \theta }{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta )),

\delta {\frac {\partial f}{\partial \beta }}=-2r^{3}\cos \theta {\frac {\partial f}{\partial r}}-r^{2 }\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta )),

{\frac {\partial f}{\partial \lambda ))={\frac {\partial f}{\partial \varphi )),

eller

{\frac {\partial f}{\partial r))={\frac {1}{\sin ^{2}\theta )){\frac {\partial f}{\partial \alpha )) -{\frac {2\cos \theta }{r^{3}}}{\frac {\partial f}{\partial \beta )),

{\frac {\partial f}{\partial \theta }}=-2r{\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial f}{ \partial \alpha ))-{\frac {\sin \theta }{r^{2))}{\frac {\partial f}{\partial \beta )),

{\frac {\partial f}{\partial \varphi ))={\frac {\partial f}{\partial \lambda )).

Dets Laplace-operatør er [1]

\Delta f={\frac {4}{r\sin ^{4}\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}+{\frac {\delta }{\ sin ^{6}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \alpha ^{2}}}+{\frac {\delta }{r^{6}}}{\ frac {\partial ^{2}f}{\partial \beta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \lambda ^{2}}}.

Vektoroperationer

Koordinaterne for vektordifferentiale operatorer i et dipolært system er som følger [1] :

\operatorname {grad} f={\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\mathbf { e} _{\alpha }+{\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\partial f}{\partial \beta }}\mathbf {e} _{\ beta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \lambda }}\mathbf {e} _{\lambda },

\operatorname {div} \mathbf {A} ={\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\ partial \alpha }}+4{\frac {1-3\cos ^{4}\theta }{{\sqrt {\delta }}^{3}r\sin \theta }}A_{\alpha }+{ \frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial \beta }}\;-

-\;3{\frac {\cos \theta (3+5\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\beta } +{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\lambda }}{\partial \lambda }}),

\operatorname {rot} \mathbf {A} =\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\beta}}{\partial \lambda }} -{\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\partial A_{\lambda }}{\partial \beta }}+{\frac {3\cos \theta } {{\sqrt {\delta }}r}}A_{\lambda }\right)\mathbf {e} _{\alpha }\;+

+\;\left({\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial A_{\lambda }}{\partial \alpha }} -{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial \lambda }}+{\frac {1-3\cos ^{2}\theta }{{\sqrt {\delta }}r\sin \theta }}A_{\lambda }\right)\mathbf {e} _{\beta }\;+

+\;\left({\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial \beta }}-{\ frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial A_{\beta}}{\partial \alpha }}-6{\frac {\cos \theta ( 1+\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\alpha }\;-\right.

-\;\left.3{\frac {\sin \theta (1+\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\ beta }\right)\mathbf {e} _{\lambda }.

Matematisk modellering af jorden

For at beskrive opførselen af ladede partikler i Jordens magnetfelt er det mest bekvemme (meget mere bekvemt end det sfæriske geomagnetiske koordinatsystem ) det dipolære koordinatsystem [2] .

Dipolkoordinatsystemet ved modellering af Jorden er bygget som følger [1] [2] : $(\alpha ,\beta ,\lambda )$

dens begyndelse er placeret i Jordens centrum ;
dipolaksen er rettet langs aksen af Jordens magnetiske dipol (geomagnetiske akse), der passerer gennem de magnetiske poler ;
koordinatændringerne vinkelret på Jordens magnetfeltvektor i planet for den geomagnetiske meridian; $\alfa$ $\mathbf {B}$
koordinatændringerne langs dipolkraftlinjen, dvs. dens retning falder sammen med vektorens retning ; $\beta$ $\mathbf {B}$
koordinaterne ændres i retningen vinkelret på de to første. $\lambda$

Teoretisk kan et dipolært koordinatsystem også skrives som et venstre koordinatsystem, når koordinatvektoren er rettet fra Jordens centrum, for eksempel sådan [1] : ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha ))$

\alpha ={\frac {r}{\sin ^{2}\theta )),\beta ={\frac {\cos \theta }{r^{2))},\lambda =\varphi ,

og som et højre koordinatsystem, når koordinatvektoren er rettet mod jordens centrum [2] f.eks. sådan: ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha ))$

{\tilde {\alpha }}={\frac {\sin ^{2}\theta }{\tilde {r}}},{\tilde {\beta }}={\frac {\cos \ theta }{{\tilde {r}}^{2}}},\lambda =\varphi ,

hvor , er jordens radius . ${\tilde {r}}={\frac {r}{R_{E}}}$ $R_{E}$

Systemets koordinater har følgende fysiske betydning [2] :

$\alfa$ og - henholdsvis dimensionel (i m eller km) og dimensionsløs (i jordens radier ) geocentrisk afstand til toppen af feltlinjen - McIlwain parameter ; ${\displaystyle L={\frac {1}{\tilde {\alpha ))))$ $R_{E}$ $L$
$\beta$ og er henholdsvis det dimensionelle og dimensionsløse geomagnetiske potentiale; ${\tilde {\beta ))$
$\lambda$ er geomagnetisk længdegrad.

Noter

Kilder

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Fatkullin M. N., Sitnov Yu. S. Dipolært koordinatsystem og nogle af dets funktioner // Geomagnetism and Aeronomy. 1972. V. 12, nr. 2. S. 333-335.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Bryunelli B. E., Namgaladze A. A. Ionosfærens fysik. M.: Nauka, 1988. § 3.5, s. 173-174. ISBN 5-02-000716-1
↑ Kashchenko N. M., Matsievsky S. V. Matematisk modellering af ustabiliteter i det ækvatoriale F-lag af ionosfæren // Bulletin fra Kaliningrad State University. 2003. Udgave. 3. S. 59-68.

Koordinatsystemer
Navn på koordinater	Abscisse Ordinere Applikation
Typer af koordinatsystemer	Retlineært koordinatsystem Kurvilineært koordinatsystem
2D koordinater	Tokantede koordinater Bicentriske koordinater Hyperbolske koordinater Polære koordinater Bipolære koordinater Parabolske koordinater Elliptiske koordinater Tetracykliske koordinater Trilineære koordinater
3D koordinater	Cylindriske koordinater Kugleformede koordinater Bisfæriske koordinater Toroidale koordinater Cylindriske parabolske koordinater Bicylindriske koordinater Ellipsoide koordinater Koniske koordinater Pentasfæriske koordinater Dipolært koordinatsystem
$n$ -dimensionelle koordinater	Cartesiske koordinater Affine koordinater Projektive koordinater Plücker koordinater barycentriske koordinater
Fysiske koordinater	Rindler koordinater Fødte koordinater Himmelsk koordinatsystem Geografiske koordinater Hovedortodromiske koordinatsystem
Relaterede definitioner	Koordinat metode Oprindelse Koordinatakse Vektor Orth referencesystem Benchmark Lamme koefficienter Metrisk tensor