Keplersk problem
For bolde, der er tættest på pakningsproblemet, se Keplers formodning .I klassisk mekanik er Kepler-problemet et særligt tilfælde af to-legeme-problemet , hvor to legemer interagerer gennem en central kraft , der varierer i størrelse omvendt med kvadratet på afstanden mellem dem. Kraft kan være enten tiltrækkende eller frastødende. Opgaven er at finde afhængigheden af legemers koordinater eller hastigheder på tid for givne masser og begyndelsesværdier af hastigheder og koordinater. Ved hjælp af klassisk mekanik kan løsningen udtrykkes i form af Kepler-baner ved hjælp af de seks orbitale elementer .
Kepler-problemet er opkaldt efter Johannes Kepler , der foreslog Keplers love for planetbevægelse (som er en del af klassisk mekanik og løser Kepler-problemet for planetbaner) og undersøgte de typer kræfter, der skulle føre til eksistensen af baner, der opfylder Keplers love. (det såkaldte omvendte Kepler-problem).
Ansøgninger
Kepler-problemet viser sig i mange tilfælde, og nogle er ikke relateret til fysik og blev undersøgt af Kepler selv.
Keplers problem er vigtigt for den himmelske mekanik, Newtons omvendte kvadratlovteori om tyngdekraften . Eksempler omfatter bevægelse af satellitter omkring planeter, bevægelse af planeter omkring deres sole, bevægelse af binære stjerner omkring hinanden. Kepler-problemet er også vigtigt for tilfældet med bevægelsen af to ladede partikler, mellem hvilke Coulomb-kræfterne virker , også adlyde den omvendte kvadratlov. Eksempler inkluderer brintatomet , positronium og muonium , som alle spiller vigtige roller i modelleringssystemer til at teste fysiske teorier og måle fysiske konstanter.
Kepler-problemet og det simple harmoniske oscillatorproblem er to af de mest fundamentale problemer i klassisk mekanik. Det er de eneste to tilfælde, der har lukkede baner, det vil sige, at objektet vender tilbage til det samme udgangspunkt med samme hastighed ( Bertrand-problem ). Ofte bruges Kepler-problemet til at udvikle nye metoder inden for klassisk mekanik, såsom Lagrangiansk mekanik , Hamiltonsk mekanik , Hamilton-Jacobi-ligning , aktionsvinkelvariabler . Kepler-problemet bevarer Laplace-Runge-Lenz-vektoren , som er blevet generaliseret til andre interaktioner. Løsningen af det keplerske problem gør det muligt for videnskabsmænd at vise, at planeternes bevægelse kan beskrives udtømmende ved den klassiske mekaniks love og Newtons klassiske tyngdekraftsteori ; den videnskabelige forklaring af planeternes bevægelse spillede en vigtig rolle i udbredelsen af oplysning.
Matematisk definition
Central kraft , der virker på to legemer, som varierer i størrelse i henhold til den omvendte kvadratlov afhængigt af afstanden mellem organerne:
,
hvor er en konstant og er en enhedsvektor rettet langs den lige linje, der forbinder de to legemer. Kraft kan enten være attraktiv ( ) eller frastødende ( ) .
Det tilsvarende skalarpotentiale er:
.