Rindler koordinater

I relativistisk fysik er Rindler-koordinater et koordinatsystem, der repræsenterer en del af flad rumtid , også kaldet Minkowski -rum . Rindlers koordinater blev introduceret af Wolfgang Rindler for at beskrive rumtiden for en ensartet accelereret observatør .

Forholdet til kartesiske koordinater

For at få Rindler-koordinaterne er det naturligt at tage udgangspunkt i de galileiske koordinater

ds^{2}=-dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2},\;\;-\infty <T,\;X,\;Y,\ ;Z<\infty\;.

I regionen , som ofte kaldes Rindler Wedge , definerer vi nye koordinater gennem følgende transformation $0<X<\infty ,\;-X<T<X$

t=\,{\mathrm {arth}}\,{\frac {T}{X}},\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y= Y,\quad z=Z.

Den omvendte transformation vil være

T=x\,{\mathrm {sh}}\,t,\quad X=x\,{\mathrm {ch}}\,t,\quad Y=y,\quad Z=z.

I Rindler-koordinater går det lineære element i Minkowski-rummet ind

ds^{2}=-x^{2}\,dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\quad 0<x<\infty ,\quad - \infty <t,\;y,\;z<\infty .

Rindlers observatører

I de nye koordinater er det naturligt at indføre et kovariant tetradfelt

d\sigma ^{0}=-x\,dt,\quad d\sigma ^{1}=dx,\quad d\sigma ^{2}=dy,\quad d\sigma ^{3}=dz,

som svarer til det dobbelte felt af tetrad kontravariante vektorer

{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}\,\partial _{t},\quad {\vec {e}}_{1}=\partial _{x },\quad {\vec {e}}_{2}=\partial _{y},\quad {\vec {e}}_{3}=\partial _{z}.

Disse felter beskriver de lokale Lorentz-referencerammer i tangentrum i hver begivenhed af det område, der er dækket af Rindler-koordinaterne, dvs. Rindler-kilen. Integralkurverne i det tidslignende enhedsvektorfelt giver en tidslignende kongruens , der består af verdenslinjerne i en familie af observatører kaldet Rindler-observatører . I Rindler-koordinater er deres verdenslinjer repræsenteret af lodrette koordinatlinjer . Ved at bruge de ovenfor introducerede koordinattransformationer er det let at vise, at i de oprindelige kartesiske koordinater bliver disse linjer til grene af hyperbler. ${\vec {e}}_{0}$ $x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}$

Som med enhver tidslignende kongruens i en Lorentz-manifold, kan denne kongruens udsættes for en kinematisk dekomponering (se Raychaudhuris ligning ). I det undersøgte tilfælde er udvidelsen og rotationen af kongruensen af Rindler-observatører identisk lig med nul. Forsvinden af ekspansionstensoren medfører, at hver observatør holder en konstant afstand til de nærmeste naboer . Rotationstensorens forsvinden betyder til gengæld, at observatørernes verdenslinjer ikke snoer sig om hinanden.

Accelerationsvektoren for hver observatør er givet af den kovariante afledte

\nabla _{({\vec {e}}_{0}}}{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}{\vec {e}}_{1 }

Dette betyder, at hver Rindler-observatør accelererer i retningen og oplever en acceleration af konstant størrelse , så deres verdenslinjer er linjer med hyperbolsk bevægelse , de Lorentziske analoger af cirkler, det vil sige linjer med konstant første krumning og nul sekund. $\partial _{x}$

På grund af ikke-rotation af Rindlers observatører er deres kongruens også ortogonal , det vil sige, at der er en familie af hyperoverflader på hvert punkt, hvor kongruensvektorerne er proportionale med normalerne af disse overflader. Ortogonale tidsskiver svarer til ; de svarer til horisontale halvhyperplaner i Rindler-koordinater og skrå halvhyperplaner i kartesiske koordinater, der passerer igennem (se figuren ovenfor). Sætter vi et linjeelement ind , ser vi, at det beskriver den sædvanlige euklidiske geometri . Rindlers rumlige koordinater har således en meget enkel fortolkning, kompatibel med udsagnet om Rindler-observatørernes gensidige stationaritet. Vi vender tilbage til denne egenskab om "stivhed" senere. $t=t_{0}$ $T=X=0$ $dt=0$ $d\sigma ^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;0<x<\infty ,\;-\infty <y,\;z<\infty$

En "paradoksal" egenskab for Rindler-koordinater

Bemærk, at Rindler-observatører med mindre koordinater accelererer kraftigere ! Dette kan virke underligt, da i newtonsk fysik bør observatører, der holder en konstant afstand fra hinanden, opleve den samme acceleration. Men i relativistisk fysik skal bagenden af en "absolut stiv" stang, accelereret i retning af sin egen forlængelse af den påførte kraft, accelerere lidt mere end dens forende. $x$

Dette fænomen er grundlaget for Bells paradoks . Dette er imidlertid blot en konsekvens af relativistisk kinematik. En måde at vise dette på er at betragte størrelsen af accelerationsvektoren som krumningen af den tilsvarende verdenslinje. Men Rindler-observatørernes verdenslinjer er analoger til familien af koncentriske cirkler i det euklidiske plan, så vi har at gøre med den Lorentziske analog af det velkendte faktum: i familien af koncentriske cirkler afviger de indre cirkler fra en lige linje per enhed buelængde hurtigere end de yderste .

Minkowski observatører

Det er også værd at introducere en alternativ referenceramme givet af standardvalget af tetrader i Minkowski-koordinater

{\vec {f}}_{0}=\partial _{T},\quad {\vec {f}}_{1}=\partial _{X},\quad {\vec {f}}_ {2}=\partial _{Y},\quad {\vec {f}}_{3}=\partial _{Z}.

Ved at transformere disse vektorfelter til Rindler-koordinater opnår vi, at denne referenceramme i Rindler-kilen har formen

\left\{{\begin{matrix}{\vec {f}}_{0}={\frac {{\mathrm {ch}}\,t}{x}}\,\partial _{t}- {\mathrm {sh}}\,t\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{1}=-{\frac {{\mathrm {sh}}\,t}{x }}\,\partial _{t}+{\mathrm {ch}}\,t\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{2}=\partial _{y}, \quad {\vec {f}}_{3}=\partial _{z}\end{matrix}}\right.

Ved at udføre den kinematiske udvidelse af den tidslignende kongruens defineret af vektorfeltet , opnår vi naturligvis nul udvidelse og rotation, og derudover fraværet af acceleration . Med andre ord er denne kongruens en geodætisk ; de tilsvarende observatører er i frit fald . I det originale kartesiske koordinatsystem er disse observatører, kaldet Minkowski-observatører , i ro. ${\vec {f}}_{0}$ $\nabla _{({\vec {f}}_{0}}}{\vec {f}}_{0}=0$

I Rindler-koordinater er Minkowski-observatørernes verdenslinjer hyperbolske buer, der nærmer sig koordinatplanet asymptotisk . Især i Rindler-koordinater vil verdenslinjen for Minkowski-observatøren, der passerer gennem begivenheden , have formen $x=0$ $t=t_{0},\;x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}$

t=\,{\mathrm {arth}}\,{\frac {s}{x_{0}}},\quad x={\sqrt {x_{0}^{2}-s^{2}} },\quad y=y_{0},\quad z=z_{0},\quad -x_{0}<s<x_{0}\;,

hvor er det rigtige tidspunkt for denne observatør. Bemærk, at Rindler-koordinaterne kun dækker en lille del af denne observatørs komplette historie! Dette viser direkte, at Rindlers koordinater ikke er geodætisk fuldstændige : tidslignende geodetik forlader det område, der er dækket af disse koordinater, i en endelig tid. Dette var naturligvis forventeligt, da Rindler-koordinaterne kun dækker en del af de oprindelige kartesiske koordinater, som er geodetisk fuldstændige. $s$

Rindlers skyline

Rindler-koordinater har en koordinatsingularitet ved , hvor den metriske tensor (udtrykt i Rindler-koordinater) har en forsvindende determinant . Dette skyldes det faktum, at efterhånden som Rindler-observatørernes acceleration divergerer, har den en tendens til det uendelige. Som det kan ses af figuren, der illustrerer Rindler-kilen, svarer stedet i Rindler-koordinaterne til stedet i Minkowski-koordinaterne, som består af to lyslignende halvplaner, som hver er dækket af sin egen lyslignende geodætiske overensstemmelsen. Disse loci kaldes Rindler-horisonten . $x=0$ $x\højrepil 0$ $x=0$ $T^{2}=X^{2},\;X>0$

Her betragter vi blot horisonten som grænsen for det område, der er dækket af Rindler-koordinaterne. Artiklen Rindler's Horizon viser, at denne horisont faktisk ligner begivenhedshorisonten i et sort hul i grundlæggende egenskaber .

Geodætiske linjer

De geodætiske ligninger i Rindler-koordinater er simpelthen afledt af Lagrangian :

{\ddot {t}}+{\frac {2}{x}}\,{\dot {x}}{\dot {t}}=0,\quad {\ddot {x}}+x{\ prik {t}}^{2}=0,\quad {\ddot {y}}=0,\quad {\ddot {z}}=0\;.

Naturligvis, i de originale kartesiske koordinater, ligner disse geodetik lige linjer, så de let kan opnås fra lige linjer ved en koordinattransformation. Det vil dog være lærerigt at indhente og studere geodætik i Rindler-koordinater uanset de oprindelige koordinater, og det er præcis, hvad der vil blive gjort her.

Fra den første, tredje og fjerde ligning opnås de første integraler umiddelbart

{\dot {t}}={\frac {E}{x^{2}}},\quad {\dot {y}}=P,\quad {\dot {z}}=Q\;.

Men af linjeelementet følger hvor for henholdsvis tids-, lys- og rumlignende geodætik. Dette giver det fjerde første integral af ligningerne, nemlig $\varepsilon =-x^{2}\,{\dot {t}}^{2}+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\;,$ $\varepsilon =-1,\,0,\,1$

{\dot {x}}^{2}=\left(-\varepsilon +{\frac {E^{2}}{x^{2}}}\right)-P^{2}-Q^{ 2}\;.

Dette er tilstrækkeligt til den komplette løsning af geodætiske ligninger.

I tilfælde af lyslignende geodetik , fra ved ikke-nul , ændres koordinaterne i intervallet . ${\frac {E^{2}}{x^{2}}}-P^{2}-Q^{2}$ $E$ $x$ $0<x<{\frac {E}{{\sqrt {P^{2}+Q^{2))))}$

Den komplette syv-parameter familie af lys-lignende geodetik passerer gennem enhver Rindler wedge begivenhed er

{\begin{matrix}t-t_{0}&=&{\mathrm {arth}}\left(\displaystyle {\frac {s\,(P^{2}+Q^{2})-{\ sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0}^{2)))){E}}\right)\\&&+~{\mathrm { arth}}\,\left(\displaystyle {\frac {{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0}^{2)))) {E}}\right)\end{matrix}}

x={\sqrt {x_{0}^{2}+2\,s\,{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0} ^{2}}}-s^{2}\,(P^{2}+Q^{2})}}

y-y_{0}=P\,s;\quad z-z_{0}=Q\,s.

Ved at plotte banerne for lyslignende geodetik, der passerer gennem en enkelt begivenhed (det vil sige ved at projicere dem på Rindler-observatørers rum ), får vi et billede, der ligner en familie af halvcirkler, der passerer gennem et punkt og ortogonalt i forhold til Rindler-horisonten. $t=0$

Farm Metric

Det faktum, at projektionerne af lyslignende geodetik i Rindler-koordinater på enhver rumlig skive simpelthen er halvcirkler for Rindler-observatører, kan verificeres direkte fra den generelle løsning, der er givet ovenfor, men der er en nemmere måde at se dette på. I en statisk rumtid kan man altid udskille et ikke-snoet felt af den tidslignende Killing-vektor . I dette tilfælde er der en unikt defineret familie af (identiske) rumlige hypersurfaces-skiver vinkelret på de tilsvarende verdenslinjer af statiske observatører (som måske ikke er inerti). Dette giver os mulighed for at definere en ny metrik på en hvilken som helst af disse overflader, der er i overensstemmelse med den oprindelige inducerede skive-metrik og har den egenskab, at geodætikken i denne nye metrik ( af en Riemann-metrik på en Riemann-3-manifold) nøjagtigt følger projektionerne af den lyslignende rumtidsgeodætik på den skive. . Denne nye metrik kaldes Fermat metrikken (i analogi med Fermats princip ), og i en statisk rumtid med et koordinatsystem, hvor linjeelementet har formen

ds^{2}=g_{{00}}\,dt^{2}+g_{{jk}}\,dx^{j}\,dx^{k},\quad 1\leqslant j,\; k\leqslant 3

tager form, når den skæres $t=t_{0}$

d\rho ^{2}={\frac {g_{{jk}}\,dx^{j}\,dx^{k}}{-g_{{00}}}}

I Rindler-koordinater er en tidslignende oversættelse sådan et Killing-felt, så Rindler-kilen er en statisk rumtid (hvilket ikke er overraskende, da den er en del af den statiske Minkowski-rumtid). Derfor kan man skrive Fermat-metrikken for Rindler-observatørerne: $\partial _{t}$

d\rho ^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{x^{2}}},\quad 0<x<\infty ,\quad -\infty <y,\;z<\infty \;.

Men dette udtryk falder sammen med det velkendte lineære element af hyperbolsk rum i koordinaterne for det øvre halvrum . Det er i betydning tæt på de endnu bedre kendte øvre halvplans koordinater for det hyperbolske plan , kendt for generationer af studerende af komplekse analyser i forbindelse med konforme kortlægninger (og andre problemer), og mange matematisk kyndige læsere ved allerede, at geodætiske linjer i den øverste halvplansmodel er halvcirkler (ortogonale på cirklen ved uendelighed repræsenteret af den reelle akse). ${\mathbf {H}}^{3}$ ${\mathbf {H}}^{2}$ ${\mathbf {H}}^{2}$

Symmetrier

Da Rindler-koordinaterne dækker en del af Minkowski-rummet, ville man forvente, at de også havde 10 lineært uafhængige Killing-vektorfelter. Desuden kan de i kartesiske koordinater skrives med det samme, henholdsvis: en en-parameter undergruppe af tidsoversættelser og tre tre-parameter - rumlige oversættelser, rumlige rotationer og rum-tid boosts. Sammen genererer disse vektorer den (rigtige isokrone) Poincaré-gruppe, Minkowski-rumsymmetrigruppen.

Det er dog også nyttigt at skrive og løse Killing-ligningerne direkte i Rindler-koordinater. Så kan du få 4 drabsfelter, der ligner de originale i kartesiske koordinater:

\partial _{t},\;\;\partial _{y},\;\;\partial _{z},\;\;-z\,\partial _{y}+y\,\partial _ {z}

(tidsoversættelser, rumlige translationer, ortogonalt i forhold til accelerationsretningen og rumlige rotationer i et plan vinkelret på accelerationsretningen) plus seks felter mere:

\exp(\pm t)\,\left({\frac {y}{x}}\,\partial _{t}\pm \left(y\,\partial _{x}-x\,\partial _{y}\right)\right)\;,

\exp(\pm t)\,\left({\frac {z}{x}}\,\partial _{t}\pm \left(z\,\partial _{x}-x\,\partial _{z}\right)\right)\;,

\exp(\pm t)\,\left({\frac {1}{x}}\,\partial _{t}\pm \partial _{x}\right)\;.

Vi bemærker, at disse generatorer naturligt kan dekomponeres til Minkowski-rumgeneratorer i kartesiske koordinater, således at der er en kombination af dem, der svarer til generatoren af tidsmæssige oversættelser , selvom Rindler-kilen naturligvis ikke er invariant under sådanne oversættelser. Årsagen til dette er den lokale karakter af løsningerne af Killing-ligningerne, såvel som eventuelle differentialligninger på en manifold, når eksistensen af lokale løsninger ikke garanterer deres eksistens i global forstand. Det vil sige, at under passende forhold på gruppeparametrene, kan Killing flows altid defineres i et passende lille kvarter , men flowet er muligvis ikke veldefineret globalt . Denne kendsgerning er ikke direkte relateret til den Lorentziske struktur af rum-tid, da de samme vanskeligheder opstår i studiet af vilkårlige glatte manifolds . $\partial _{T}$

Forskellige definitioner af afstand

En af de mange lærerige ting, der kommer fra at studere Rindler-koordinater, er det faktum, at Rindler-observatører kan bruge flere forskellige (men lige så rimelige) definitioner af afstand .

Den første definition blev stiltiende antydet af os tidligere: den inducerede Riemann-metrik på rumlige sektioner giver definitionen af afstanden, som kan kaldes afstanden langs linealen , da dens operationelle betydning er netop dette. $t=t_{0}$

Ud fra standard fysiske målinger er det metrologisk mere korrekt at bruge radarafstanden mellem verdenslinjerne. Det beregnes ved at sende en bølgepakke langs en lyslignende geodæt fra én observatørs verdenslinje (hændelse ) til objektets verdenslinje, hvor pakken reflekteres (hændelse ) og returneres til observatøren (hændelse ). Radarafstanden findes så som halvdelen af produktet af lysets hastighed gange pakkens tur-retur-tid på observatørens ur. $EN$ $B$ $C$

(Heldigvis kan vi i Minkowski-rummet ignorere muligheden for flere lyslignende geodetik mellem to verdenslinjer, men i kosmologiske modeller og andre applikationer er dette ikke længere tilfældet! Vær også advaret om, at "afstanden" opnået på denne måde generelt er ikke symmetrisk med hensyn til flytningsobservatør og objekt!)

Overvej især et par Rindler-observatører med koordinater og hhv. (Bemærk, at den første af dem accelererer noget kraftigere end den anden.) Hvis vi antager i det lineære Rindler-element, får vi let ligningen for den lyslignende geodætiske i accelerationsretningen: $x=x_{0},\;y=0,\;z=0$ $x=x_{0}+h,\;y=0,\;z=0$ $dy=dz=0$

t-t_{0}=\log(x/x_{0})\;.

Derfor er radarafstanden mellem disse observatører givet af

x_{0}\,\log \left(1+{\frac {h}{x_{0}}}\right)=h-{\frac {h^{2}}{2\,x_{0} }}+O\venstre(h^{3}\højre)\;.

Den er noget mindre end "linealafstanden", men for nærliggende punkter vil forskellen være ubetydelig.

Den tredje mulige definition af afstand er som følger: Iagttageren måler vinklen, der er underspændt af en skive af enhedsstørrelse placeret på en bestemt verdenslinje. Denne afstand kaldes vinkelafstanden eller optisk diameterafstand . På grund af den enkle natur af lyslignende geodetik i Minkowski-rummet, er denne afstand mellem to Rindler-observatører orienteret langs accelerationen let beregnet. Af ovenstående figurer kan det ses, at vinkelafstanden afhænger af følgende: . Derfor, hvis positiv, måler den første observatør en vinkelafstand lidt større end linealafstanden, som igen er lidt større end radarafstanden. $h$ $h+{\frac {h^{2}}{x_{0}}}+O\venstre(h^{3}\højre)$ $h$

Der er andre definitioner af afstand, men det skal bemærkes, at selvom værdierne af disse "afstande" er forskellige, er de ikke desto mindre enige om, at afstandene mellem hvert par Rindler-observatører forbliver konstante i tid . Den kendsgerning, at uendeligt tætte observatører er gensidigt ubevægelige, følger af den kendsgerning, der er nævnt tidligere: ekspansionstensoren af kongruensen af Rindler-observatørernes verdenslinjer er identisk lig med 0. For begrænsede afstande er denne "stivhed" egenskab også sand. Dette er faktisk en meget vigtig egenskab, da det i relativistisk fysik længe har været kendt, at det er umuligt at accelerere stangen helt stift , se Bells paradoks (og på samme måde er det umuligt at dreje skiven helt stift , se Ehrenfests paradoks ) - i hvert fald uden at påføre uhomogene belastninger. Den nemmeste måde at verificere dette på er at indse det faktum, at i newtonsk fysik, hvis du handler på et absolut stift legeme med en vis kraft, vil alle dets elementer straks ændre bevægelsestilstanden. Dette er åbenlyst i modstrid med det relativistiske princip om endeligheden af transmissionshastigheden af fysiske effekter.

Derfor, hvis en stang accelereres af en ydre kraft, der påføres overalt langs dens længde, kan dens elementer ikke alle opleve den samme acceleration, medmindre stangen konstant strækkes eller komprimeres. Med andre ord skal en stationær (i forhold til sig selv) accelereret stang indeholde inhomogene spændinger. Desuden kan man i ethvert tankeeksperiment med tidsvarierende kræfter, der pludselig eller gradvist påføres et objekt, ikke begrænse sig til kinematik alene og undgå problemet med at tage selve kroppens model i betragtning, det vil sige dynamikken.

For at vende tilbage til spørgsmålet om den operationelle værdi af afstanden langs linealen bemærker vi, at for en fuldstændig klar definition skal den indeholde en model af selve linealens substans.

Se også

Bells paradoks er et paradoksalt tankeeksperiment, der ofte studeres ved hjælp af Rindler-koordinater.
Born-koordinater er andre vigtige koordinater i Minkowski-rummet, der beskriver roterende observatører.
Ehrenfest-paradokset er et andet paradoksalt tankeeksperiment, der ofte studeres ved hjælp af Born-koordinater.
Kongruens (generel relativitetsteori)
Notesbog felter
Kilder om generel relativitetsteori
Raychaudhuri ligning
Unruh effekt