Parabolske koordinater er et ortogonalt koordinatsystem i et plan, hvor koordinatlinjerne er konfokale parabler . En tredimensionel version af dette koordinatsystem opnås ved at rotere parabler omkring deres symmetriakse.
Parabolske koordinater har fundet adskillige anvendelser i matematisk fysik, især i teorien om Stark-effekten og problemet med potentialet nær en vinkel.
Todimensionelle parabolske koordinater er defineret af udtrykkene
Konstante overflader er konfokale parabler
udvider sig opad (langs strålen ), og konstantens overflader er konfokale parabler
udvider sig ned (langs bjælken ). Foci af alle parabler er placeret ved oprindelsen.
Lame-koefficienterne for parabolske koordinater er
Så arealelementet er
og Laplacianen er
Andre differentialoperatorer kan på lignende måde findes ved at substituere Lamé-koefficienterne i den tilsvarende generelle formel.
Ud fra todimensionelle parabolske koordinater konstrueres to typer tredimensionelle koordinater. Førstnævnte opnås ved simpel projektion på et plan langs en akse og kaldes cylindriske parabolske koordinater .
Det andet koordinatsystem, også kaldet "parabolske koordinater", er bygget på basis af omdrejningsparaboloider, opnået ved at rotere paraboler omkring deres symmetriakse
Paraboloidernes akse falder sammen med aksen , da rotation udføres omkring den. Azimutvinklen er defineret som
Konstante overflader er konfokale paraboloider
rettet opad (langs strålen ), og overfladerne af konstanten er konfokale paraboloider
rettet ned (langs strålen ). Foci af alle paraboloider er placeret ved oprindelsen.
Lame koefficienter i det tredimensionelle tilfælde:
Som det kan ses, er koefficienterne og sammenfaldende med det todimensionelle tilfælde. Volumenelementet er
og Laplacianen er
Andre differentialoperatorer, såsom divergens eller krølle , kan på lignende måde findes ved at erstatte Lame-koefficienterne i den passende generelle formel.
Christoffel-symboler af den anden slags:
Resten af tegnene er nul.
Overgangen fra kartesiske til parabolske koordinater udføres i henhold til formlerne:
hvori
På får vi begrænsningen af koordinater til flyet :
Niveau linje :
Dette er en parabel , hvis fokus, for enhver , er placeret ved oprindelsen.
Tilsvarende, når vi får
Koordinatparabler skærer hinanden i et punkt
Et par parabler skærer hinanden i to punkter, men for , punktet er indeholdt i halvplanet , da det svarer til .
Find hældningerne af tangenterne til parablerne i punktet :
Da produktet af koefficienterne er −1, er parablerne vinkelrette i skæringspunktet. De parabolske koordinater viser sig således at være ortogonale.
Parret bestemmer koordinaterne i halvplanet. Når man skifter fra 0 til at halvplanet roterer rundt om aksen , opnås omdrejningsparaboloider og halvplaner som koordinatflader. Et par modsatte paraboloider definerer en cirkel, og en størrelse definerer en halvplan, der skærer cirklen i et enkelt punkt. Dens kartesiske koordinater er:
Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Koordinatsystemer | |
---|---|
Navn på koordinater | |
Typer af koordinatsystemer | |
2D koordinater | |
3D koordinater |
|
-dimensionelle koordinater | |
Fysiske koordinater |
|
Relaterede definitioner |