Parabolsk koordinatsystem

Parabolske koordinater er et ortogonalt koordinatsystem i et plan, hvor koordinatlinjerne er konfokale parabler . En tredimensionel version af dette koordinatsystem opnås ved at rotere parabler omkring deres symmetriakse.

Parabolske koordinater har fundet adskillige anvendelser i matematisk fysik, især i teorien om Stark-effekten og problemet med potentialet nær en vinkel.

Todimensionelle parabolske koordinater

Todimensionelle parabolske koordinater er defineret af udtrykkene $(\sigma ,\;\tau )$

$\left\{{\begin{matrix}x=\sigma \tau \\y={\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\sigma ^{2})\end {matrix}}\right.$

Konstante overflader er konfokale parabler $\sigma$

2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}

udvider sig opad (langs strålen ), og konstantens overflader er konfokale parabler $+y$ $\tau$

2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}

udvider sig ned (langs bjælken ). Foci af alle parabler er placeret ved oprindelsen. $-y$

Differentielle karakteristika for todimensionelle koordinater

Lame-koefficienterne for parabolske koordinater er

H_{\sigma }=H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2))}.

Så arealelementet er

dS=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau ,

og Laplacianen er

\Delta \Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \ sigma ^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2))}\right).

Andre differentialoperatorer kan på lignende måde findes ved at substituere Lamé-koefficienterne i den tilsvarende generelle formel.

Tredimensionelle parabolske koordinater

Ud fra todimensionelle parabolske koordinater konstrueres to typer tredimensionelle koordinater. Førstnævnte opnås ved simpel projektion på et plan langs en akse og kaldes cylindriske parabolske koordinater . $XY$ $z$

Det andet koordinatsystem, også kaldet "parabolske koordinater", er bygget på basis af omdrejningsparaboloider, opnået ved at rotere paraboler omkring deres symmetriakse

{\begin{cases}x=\sigma \tau \cos \varphi ,\\y=\sigma \tau \sin \varphi ,\\z={\dfrac {1}{2))(\tau ^{2}-\sigma ^{2}).\end{cases}}

Paraboloidernes akse falder sammen med aksen , da rotation udføres omkring den. Azimutvinklen er defineret som $z$ $\varphi$

\mathrm {tg} \,\varphi ={\frac {y}{x)).

Konstante overflader er konfokale paraboloider $\sigma$

2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}

rettet opad (langs strålen ), og overfladerne af konstanten er konfokale paraboloider $+z$ $\tau$

2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}

rettet ned (langs strålen ). Foci af alle paraboloider er placeret ved oprindelsen. $-z$

Differentielle karakteristika for tredimensionelle koordinater

Lame koefficienter i det tredimensionelle tilfælde:

H_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2))},

H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

H_{\varphi }=\sigma \tau .

Som det kan ses, er koefficienterne og sammenfaldende med det todimensionelle tilfælde. Volumenelementet er ${\displaystyle H_{\sigma ))$ ${\displaystyle H_{\tau ))$

dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }=\sigma \tau (\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi ,

og Laplacianen er

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2))}\venstre[{\frac {1}{\sigma }}{\ frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\ frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^ {2}\tau ^{2))}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2))}.

Andre differentialoperatorer, såsom divergens eller krølle , kan på lignende måde findes ved at erstatte Lame-koefficienterne i den passende generelle formel.

Christoffel-symboler af den anden slags:

\Gamma _{11}^{1}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=-\Gamma _{22}^{1}={\ frac {\sigma }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

\Gamma _{22}^{2}=\Gamma _{12}^{1}=\Gamma _{21}^{1}=-\Gamma _{11}^{2}={\ frac {\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}={\frac {1}{\tau )),\ \Gamma _{33}^{1}=- {\frac {\sigma \tau ^{2}}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{33}^{2}=-{\frac {\sigma ^ {2}\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac { 1}{\sigma )}.

Resten af tegnene er nul.

Inverse transformationer

Overgangen fra kartesiske til parabolske koordinater udføres i henhold til formlerne: $(x,\;y,\;z)$ $(\eta ,\;\xi ,\;\varphi )$

{\begin{cases}\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\xi =z+{\sqrt {x^ {2}+y^{2}+z^{2}}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}},\end{cases}}

hvori $\eta \geqslant 0,\quad \xi \geqslant 0.$

{\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix))={\begin{vmatrix}{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2} +y^{2}+z^{2))))&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))&-1+ {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))\\{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^ {2}+z^{2))))&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))&1+{\dfrac {z} {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2))}&{\ dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}.

På får vi begrænsningen af koordinater til flyet : $\varphi=0$ $XZ$

\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}},

\xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}.

Niveau linje : $\eta =c$

z|_{\eta =c}={\frac {x^{2}}{2c}}-{\frac {c}{2}}.

Dette er en parabel , hvis fokus, for enhver , er placeret ved oprindelsen. $c$

Tilsvarende, når vi får $\xi =c$

z|_{\xi =c}={\frac {c}{2}}-{\frac {x^{2}}{2c}}.

Koordinatparabler skærer hinanden i et punkt

P:\left({\sqrt {bc)),\;{\frac {bc}{2}}\right).

Et par parabler skærer hinanden i to punkter, men for , punktet er indeholdt i halvplanet , da det svarer til . $\varphi=0$ $x>0$ $x<0$ $\varphi=\pi$

Find hældningerne af tangenterne til parablerne i punktet : $P$

{\frac {dz_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\frac {\sqrt {bc}}{c}}={\sqrt {\frac { b}{c}}}=s_{c},

{\frac {dz_{b}}{dx}}=-{\frac {x}{b}}={\frac {-{\sqrt {bc}}}{b}}=-{\ sqrt {\frac {c}{b}}}=s_{b};

s_{c}s_{b}=-{\sqrt {\frac {b}{c))}{\sqrt {\frac {c}{b))}=-1.

Da produktet af koefficienterne er −1, er parablerne vinkelrette i skæringspunktet. De parabolske koordinater viser sig således at være ortogonale.

Parret bestemmer koordinaterne i halvplanet. Når man skifter fra 0 til at halvplanet roterer rundt om aksen , opnås omdrejningsparaboloider og halvplaner som koordinatflader. Et par modsatte paraboloider definerer en cirkel, og en størrelse definerer en halvplan, der skærer cirklen i et enkelt punkt. Dens kartesiske koordinater er: $(\xi ;\;\eta )$ $\varphi$ $2\pi$ $z$ $\varphi$

{\begin{cases}x={\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi ,\\y={\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi ,\\z={ \dfrac {1}{2}}(\xi -\eta ).\end{cases}}

{\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{ \eta ))}\cos \varphi &{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\cos \varphi &-{\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi \\{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{\eta }}}\sin \varphi &{\dfrac {1}{2}}{ \sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\sin \varphi &{\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi \\-{\dfrac {1}{2}}&{\ dfrac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix}}.

Eksterne links

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Koordinatsystemer
Navn på koordinater	Abscisse Ordinere Applikation
Typer af koordinatsystemer	Retlineært koordinatsystem Kurvilineært koordinatsystem
2D koordinater	Tokantede koordinater Bicentriske koordinater Hyperbolske koordinater Polære koordinater Bipolære koordinater Parabolske koordinater Elliptiske koordinater Tetracykliske koordinater Trilineære koordinater
3D koordinater	Cylindriske koordinater Kugleformede koordinater Bisfæriske koordinater Toroidale koordinater Cylindriske parabolske koordinater Bicylindriske koordinater Ellipsoide koordinater Koniske koordinater Pentasfæriske koordinater Dipolært koordinatsystem
$n$ -dimensionelle koordinater	Cartesiske koordinater Affine koordinater Projektive koordinater Plücker koordinater barycentriske koordinater
Fysiske koordinater	Rindler koordinater Fødte koordinater Himmelsk koordinatsystem Geografiske koordinater Hovedortodromiske koordinatsystem
Relaterede definitioner	Koordinat metode Oprindelse Koordinatakse Vektor Orth referencesystem Benchmark Lamme koefficienter Metrisk tensor