Aperi konstant

Irrationelle tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π og π

Apérys konstant ( eng. Apérys konstant , fr. Constante d'Apéry ) er et reelt tal , betegnet (nogle gange ), som er lig med summen af positive heltal , der er gensidige til terninger , og derfor er en særlig værdi af Riemann zeta funktion : $\zeta (3)$ $\zeta _{3}$

\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}={\frac {1}{1^{3}} }+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dots

Den numeriske værdi af konstanten er udtrykt som en uendelig ikke-periodisk decimalbrøk [1] [2] :

\displaystyle \zeta (3)=

1.202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…

Opkaldt efter Roger Apéry , som beviste i 1978 , at han er et irrationelt tal ( Apérys sætning [3] [4] ). Det indledende bevis var af kompleks teknisk karakter, senere blev en simpel version af beviset fundet ved hjælp af Legendre polynomier . Det vides ikke, om Apérys konstant er et transcendentalt tal . $\zeta (3)$

Denne konstant har længe tiltrukket sig matematikernes interesse - tilbage i 1735 beregnede Leonhard Euler [5] [6] den med en nøjagtighed på op til 16 signifikante cifre (1.202056903159594).

Anvendelser i matematik og fysik

I matematik optræder Apérys konstant i mange anvendelser. Især giver den reciproke af , sandsynligheden for, at alle tre tilfældigt valgte positive heltal vil være coprime , i den forstand, at for , sandsynligheden for, at tre positive heltal mindre end (og tilfældigt udvalgte) vil være coprime. simple, har en tendens til . $\zeta (3)$ $N\til \infty$ ${\tekststil {N}}$ $1/\zeta (3)$

Apérys konstant opstår naturligt i en række problemer inden for fysik, herunder anden (og højere) ordens korrektioner til det unormale magnetiske moment af en elektron i kvanteelektrodynamik . For eksempel giver resultatet for Feynman-diagrammet med to sløjfer , vist i figuren, (her antages 4-dimensionel integration over momenta af interne sløjfer, der kun indeholder masseløse virtuelle partikler , samt den tilsvarende normalisering, herunder graden af momentum af den ydre partikel ). Et andet eksempel er den todimensionelle Debye-model . $6\zeta (3)$ $k$

Relation til andre funktioner

Apérys konstant er relateret til den særlige værdi af andenordens polygammafunktion :

\zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)

og vises i Taylor-seriens udvidelse af gammafunktionen :

\Gamma (1+\varepsilon )=e^{-\gamma \varepsilon }\left[1+{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\varepsilon ^{2}-{ \tfrac {1}{3}}\zeta (3)\varepsilon ^{3}+O(\varepsilon ^{4})\right]

hvor bidragene, der indeholder Euler-Mascheroni-konstanten, er faktoriseret i formen . $e^{{-\gamma \varepsilon }}$ ${\tekststil {\gamma ))$

Apérys konstant er også relateret til værdier af trilogaritmen (et specialtilfælde af polylogaritmen ): $\mathrm {Li} _{3}(z)$ $\mathrm {Li} _{n}(z)$

\mathrm {Li} _{3}(1)=\zeta (3)

\mathrm {Li} _{3}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{ \tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)

Rækkerepræsentationer

Nogle andre serier, hvis vilkår er omvendt til kuberne af naturlige tal, er også udtrykt i form af Apérys konstant:

\zeta (3)={\tfrac {4}{3}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^ {3}}}={\tfrac {4}{3}}\left(1-{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}} -{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots \right)

\zeta (3)={\tfrac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}} ={\tfrac {8}{7}}\left(1+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac { 1}{7^{3}}}+\cdots\right)

Andre velkendte resultater er summen af en serie, der indeholder harmoniske tal : ${\tekststil {H_{k))}$

\zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}

og fordoble mængden:

\zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1 }{jk(j+k)}}

For at bevise irrationalitet brugte Roger Apéry [3] repræsentationen: $\zeta (3)$

\zeta (3)={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!) ^{2}}{k^{3}(2k)!}}={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^ {k-1}}{k^{3}{\binom {2k}{k}}}}

hvor er den binomiale koefficient . ${\textstyle {{\binom {2k}{k))}={\frac {(2k)!}{k!^{2))))$

I 1773 gav Leonhard Euler [7] en fremstilling i form af en serie [8] (som efterfølgende blev genopdaget flere gange i andre aviser):

\zeta (3)={\tfrac {1}{7}}\pi ^{2}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\højre]

hvor værdierne af Riemann zeta-funktionen af lige argumenter kan repræsenteres som , hvor er Bernoulli-tallene . ${\textstyle {\zeta (2k)=(-1)^{{k+1}}(2\pi )^{{2k}}B_{{2k}}/(2(2k)!)}}$ ${\tekststil {B_{{2k))))$

Ramanujan gav flere serierepræsentationer, som er bemærkelsesværdige ved, at de giver flere nye signifikante cifre ved hver iteration. De omfatter [9] :

\zeta (3)={\tfrac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3 }(e^{{2\pik}}-1)}}

Simon Pluff fik rækker af en anden type [10]

\zeta (3)=14\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)))-{\tfrac {11} {2}}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{{2\pi k}}-1)))-{\ tfrac {7}{2}}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{{2\pi k}}+1)} }\;,

samt lignende repræsentationer for andre konstanter . $\zeta(2n+1)$

Andre serierepræsentationer er også opnået, herunder:

\zeta (3)={\tfrac {1}{4}}\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{{k-1}}{\frac {(56k^ {2}-32k+5)(k-1)!^{3}}{(2k-1)^{2}(3k)!}}

\zeta (3)={\tfrac {8}{7}}-{\tfrac {8}{7}}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {{\left( -1\højre)}^{k}\,2^{{-5+12\,k}}\,k\,\venstre(-3+9\,k+148\,k^{2}- 432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\højre)\,{k!}^{3}\,{\venstre(-1+2\ ,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\venstre (1+4\,k\right)!}^{3}}}

\zeta (3)={\tfrac {1}{64}}\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(205k^{2}+ 250k+77)\cdot k!^{{10}}}{(2k+1)!^{5}}}

\zeta (3)={\tfrac {1}{24}}\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {((2k+1)! (2k)!k!)^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^{3}}}

Nogle af disse repræsentationer er blevet brugt til at beregne Apérys konstant med mange millioner signifikante cifre.

I 1998 blev der opnået en repræsentation i form af en serie [11] , som gør det muligt at beregne en vilkårlig bit af Apéry-konstanten.

Repræsentationer i form af integraler

Der er også et stort antal forskellige integralrepræsentationer for Apéry-konstanten, startende fra trivielle formler som f.eks.

\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x} -1}}\,dx={\frac {2}{3}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+ 1}}\,dx

eller

\zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln(x)\ln(1-x)}{x}}\,dx

følger fra de simpleste integraldefinitioner af Riemann zeta-funktionen [12] , til ret komplekse, som f.eks.

\zeta (3)=\pi \!\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\,\mathrm {arctg} \,x)} {\left(x^{2}+1\right){\big [}\mathrm {ch} {\big (}{\frac {1}{2))\pi x{\big )}{\big ]}^{2}}}\,dx\qquad

( Johan Jensen [13] ),

\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\!\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ ln(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy\qquad

( Frits Böckers [14] ),

\zeta (3)=\,{\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x \venstre(x^{4}-4x^{2}+1\højre)\ln \ln {\frac {1}{x))}{\,(1+x^{2})^{4} \,}}\,dx\qquad

(Yaroslav Blagushin [15] ).

Fortsat brøker

Den fortsatte fraktion for Apérys konstant (sekvens A013631 i OEIS ) er som følger:

\zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7, 11,1,1,1,\cdots ]=

=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots ))))))) }}\;

Den første generaliserede fortsatte fraktion for Apéry-konstanten, som har en regelmæssighed, blev opdaget uafhængigt af Stieltjes og Ramanujan :

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac { 2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\ cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\dots }}}}}}} }}}}}}}}}}}}

Det kan konverteres til:

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac { 3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3} +3n^{2}+11n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}

Aperi var i stand til at fremskynde konvergensen af den fortsatte fraktion for en konstant:

\zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac { 3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3} +51n^{2}+27n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}

[16] [17]

Beregning af decimaltal

Antallet af kendte signifikante cifre i Apérys konstant er vokset betydeligt i de seneste årtier, takket være både øget computerkraft og forbedrede algoritmer [18] . $\zeta (3)$

Antal kendte signifikante cifre i Apéry-konstanten

\zeta (3)

datoen	Antal signifikante cifre	Beregningsforfattere
1735	16	Leonhard Euler [5] [6]
1887	32	Thomas Ioannes Stiltjes
1996	520.000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997	1.000.000	Bruno Haible og Thomas Papanikolaou
maj 1997	10 536 006	Patrick Demichel
februar 1998	14 000 074	Sebastian Wedeniwski
marts 1998	32 000 213	Sebastian Wedeniwski
juli 1998	64 000 091	Sebastian Wedeniwski
december 1998	128 000 026	Sebastian Wedeniwski [19]
2001, september	200 001 000	Shigeru Kondo og Xavier Gourdon
februar 2002	600 001 000	Shigeru Kondo og Xavier Gourdon
februar 2003	1.000.000.000	Patrick Demichel og Xavier Gourdon
april 2006	10.000.000.000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo [20]
januar 2009	15 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan [21]
marts 2009	31 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan [21]
september 2010	100.000.001.000	Alexander J Yee [22]
september 2013	200 000 001 000	Robert J. Setty [22]
august 2015	250.000.000.000	Ron Watkins [22]
december 2015	400.000.000.000	Dipanjan Nag [22]
august 2017	500.000.000.000	Ron Watkins [22]
maj 2019	1.000.000.000.000	Ian Cutress [22]
juli 2020	1 200 000 000 000	Seungmin Kim [23]

Andre værdier af zeta-funktionen ved ulige punkter

Der er mange undersøgelser viet til andre værdier af Riemann zeta-funktionen på ulige punkter ved . Især værker af Vadim Zudilin og Tangay Rivoal viser, at et uendeligt sæt tal er irrationelt [24] , og at mindst et af tallene , , , eller er irrationelt [25] . $\zeta(2n+1)$ $n>1$ $\zeta(2n+1)$ $\zeta (5)$ $\zeta (7)$ $\zeta (9)$ $\zeta (11)$

Noter

↑ Simon Plouffe, Zeta(3) eller Apery konstant til 2000 steder , < http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html > . Hentet 8. februar 2011. Arkiveret 5. februar 2008 på Wayback Machine
↑ OEIS -sekvens A002117 _
↑ 1 2 Roger Apéry (1979), Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Asterisque T. 61: 11–13
↑ A. van der Poorten (1979), Et bevis på at Euler gik glip af... Apérys bevis på irrationaliteten af ζ(3). En uformel rapport , The Mathematical Intelligencer bind 1: 195-203, doi : 10.1007/BF03028234 , < http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf > . Hentet 8. februar 2011. Arkiveret 6. juli 2011 på Wayback Machine
↑ 1 2 Leonhard Euler (1741), Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13. oktober 1735) , Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae bind 8: 173–204 , < http://math.dartmouth.eul.edu/ docs /originals/E047.pdf > . Hentet 9. februar 2011. Arkiveret 23. juni 2011 på Wayback Machine
↑ 1 2 Leonhard Euler (oversættelse af Jordan Bell, 2008), Finding summen af enhver serie fra en given generel term , arXiv:0806.4096 , < http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0806/0806.4096v1. pdf > . Hentet 9. februar 2011. Arkiveret 28. juni 2021 på Wayback Machine
↑ Leonhard Euler (1773), Exercitationes analyticae , Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae T. 17: 173–204 , < http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf > . Hentet 8. februar 2011. Arkiveret 17. september 2006 på Wayback Machine
↑ HM Srivastava (2000), Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions , Taiwanese Journal of Mathematics bind 4 (4): 569–598, ISSN 1027-5487 , < http://www.math.nthu. edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf > . Hentet 8. februar 2011. Arkiveret 19. juli 2011 på Wayback Machine
↑ Bruce C. Berndt (1989), Ramanujans notesbøger, del II , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96794-3 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0 -387-96794-3 > . Hentet 8. februar 2011. Arkiveret 17. august 2010 på Wayback Machine
↑ Simon Plouffe (1998), Identiteter inspireret af Ramanujan Notebooks II , < http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html > . Hentet 8. februar 2011. Arkiveret 30. januar 2009 på Wayback Machine
↑ DJ Broadhurst (1998), Polylogaritmiske stiger, hypergeometriske serier og de ti millionte cifre i ζ(3) og ζ(5) , arXiv (math.CA/9803067) , < http://arxiv.org/abs/math. CA/9803067 > . Hentet 8. februar 2011. Arkiveret 13. juli 2019 på Wayback Machine
↑ G. M. Fikhtengolts. Et kursus i differential- og integralregning (7. udg.), s. 769. Videnskab, Moskva, 1969
↑ Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Bemærk numéro 245. Deuxieme-svar. Remarques slægtninge aux reponses du MM. Franel et Kluyver . L'Intermédiaire des mathematiciens, tome II, s. 346-347, 1895.
↑ F. Beukers En note om irrationaliteten af ζ(2) og ζ(3) . Tyr. London matematik. soc. 11, s. 268-272, 1979.
↑ Iaroslav V. Blagouchine Genopdagelse af Malmstens integraler, deres evaluering ved hjælp af konturintegrationsmetoder og nogle relaterede resultater. The Ramanujan Journal, vol. 35, nr. 1, s. 21-110, 2014. Arkiveret 12. december 2017 på Wayback Machine PDF Arkiveret 7. maj 2021 på Wayback Machine
↑ Steven R. Finch Matematiske konstanter 1.6.6 . Hentet 10. august 2020. Arkiveret fra originalen 28. november 2020. (ubestemt)
↑ van der Poorten, Alfred (1979), Et bevis på at Euler gik glip af ... Apérys bevis på irrationaliteten af ζ (3) , The Mathematical Intelligencer bind 1 (4): 195–203, doi : 10.1007/BF03028234 , < https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf >
↑ X. Gourdon & P. Sebah, Constants and Records of Computation , numbers.computation.free.fr , < http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html > . Hentet 8. februar 2011. Arkiveret 15. januar 2011 på Wayback Machine
↑ Sebastian Wedeniwski (2001), The Value of Zeta(3) til 1.000.000 steder , Project Gutenberg
↑ Xavier Gourdon & Pascal Sebah (2003), Apéry's konstant: ζ(3) , < http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html > . Hentet 8. februar 2011. Arkiveret 13. november 2008 på Wayback Machine
↑ 1 2 Alexander J. Yee & Raymond Chan (2009), Large Computations , < http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html > . Hentet 8. februar 2011. Arkiveret 9. december 2009 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 4 5 6 Alexander J. Yee (2015), Zeta(3) - Apery's Constant , < http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/ > . Hentet 24. november 2018. Arkiveret 18. november 2018 på Wayback Machine
↑ Aperys konstante | Polymath samler . Hentet 27. februar 2021. Arkiveret fra originalen 17. oktober 2020. (ubestemt)
↑ T. Rivoal (2000), La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus Acad. sci. Paris Ser. I matematik. T. 331: 267-270
↑ V. V. Zudilin. Et af tallene ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) er irrationelt // Uspekhi Mat . - 2001. - T. 56 , no. 4(340) . — S. 149–150 .

Links

Yu. I. Manin, A. A. Panchishkin. I.2.4. Diofantiske tilnærmelser og irrationalitet af ζ(3) // Introduktion til talteori . - VINITI, 1990. - T. 49. - S. 83-89. — 341 s. - (Resultater af videnskab og teknologi. Serie "Moderne matematikproblemer. Grundlæggende retninger".).
V. Ramaswami (1934), Noter om Riemanns ζ-funktion , J. London Math. soc. T. 9: 165–169, doi : 10.1112/jlms/s1-9.3.165 , < http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-9/3/165.full.pdf >
Weisstein, Eric W. Apérys konstante (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .

Tal med egennavne

Matematiske konstanter

Algebraisk

Transcendental ,
sandsynligvis transcendental

Tusind grader

Gamle russiske tal

Andre tipotenser

12 magter

Andet hele

Andre numre

imaginær enhed

Irrationelle tal
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaum konstanter Sofomorisk drøm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritme af to (ln 2) 12. rod af 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroden af 2 ( √ 2 ) Kvadratroden af 3 ( √ 3 ) Kvadratroden af 5 ( √5 ) Gyldne forhold (φ) Super gyldne snit (ψ) Sølvsektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci konstant (ψ)
transcendental Trigonometrisk