Irrationelle tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π og π |
Apérys konstant ( eng. Apérys konstant , fr. Constante d'Apéry ) er et reelt tal , betegnet (nogle gange ), som er lig med summen af positive heltal , der er gensidige til terninger , og derfor er en særlig værdi af Riemann zeta funktion :
.Den numeriske værdi af konstanten er udtrykt som en uendelig ikke-periodisk decimalbrøk [1] [2] :
1.202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…Opkaldt efter Roger Apéry , som beviste i 1978 , at han er et irrationelt tal ( Apérys sætning [3] [4] ). Det indledende bevis var af kompleks teknisk karakter, senere blev en simpel version af beviset fundet ved hjælp af Legendre polynomier . Det vides ikke, om Apérys konstant er et transcendentalt tal .
Denne konstant har længe tiltrukket sig matematikernes interesse - tilbage i 1735 beregnede Leonhard Euler [5] [6] den med en nøjagtighed på op til 16 signifikante cifre (1.202056903159594).
I matematik optræder Apérys konstant i mange anvendelser. Især giver den reciproke af , sandsynligheden for, at alle tre tilfældigt valgte positive heltal vil være coprime , i den forstand, at for , sandsynligheden for, at tre positive heltal mindre end (og tilfældigt udvalgte) vil være coprime. simple, har en tendens til .
Apérys konstant opstår naturligt i en række problemer inden for fysik, herunder anden (og højere) ordens korrektioner til det unormale magnetiske moment af en elektron i kvanteelektrodynamik . For eksempel giver resultatet for Feynman-diagrammet med to sløjfer , vist i figuren, (her antages 4-dimensionel integration over momenta af interne sløjfer, der kun indeholder masseløse virtuelle partikler , samt den tilsvarende normalisering, herunder graden af momentum af den ydre partikel ). Et andet eksempel er den todimensionelle Debye-model .
Apérys konstant er relateret til den særlige værdi af andenordens polygammafunktion :
og vises i Taylor-seriens udvidelse af gammafunktionen :
,hvor bidragene, der indeholder Euler-Mascheroni-konstanten, er faktoriseret i formen .
Apérys konstant er også relateret til værdier af trilogaritmen (et specialtilfælde af polylogaritmen ):
, .Nogle andre serier, hvis vilkår er omvendt til kuberne af naturlige tal, er også udtrykt i form af Apérys konstant:
, .Andre velkendte resultater er summen af en serie, der indeholder harmoniske tal :
,og fordoble mængden:
.For at bevise irrationalitet brugte Roger Apéry [3] repræsentationen:
,hvor er den binomiale koefficient .
I 1773 gav Leonhard Euler [7] en fremstilling i form af en serie [8] (som efterfølgende blev genopdaget flere gange i andre aviser):
,hvor værdierne af Riemann zeta-funktionen af lige argumenter kan repræsenteres som , hvor er Bernoulli-tallene .
Ramanujan gav flere serierepræsentationer, som er bemærkelsesværdige ved, at de giver flere nye signifikante cifre ved hver iteration. De omfatter [9] :
Simon Pluff fik rækker af en anden type [10]
samt lignende repræsentationer for andre konstanter .
Andre serierepræsentationer er også opnået, herunder:
Nogle af disse repræsentationer er blevet brugt til at beregne Apérys konstant med mange millioner signifikante cifre.
I 1998 blev der opnået en repræsentation i form af en serie [11] , som gør det muligt at beregne en vilkårlig bit af Apéry-konstanten.
Der er også et stort antal forskellige integralrepræsentationer for Apéry-konstanten, startende fra trivielle formler som f.eks.
eller
følger fra de simpleste integraldefinitioner af Riemann zeta-funktionen [12] , til ret komplekse, som f.eks.
( Johan Jensen [13] ), ( Frits Böckers [14] ), (Yaroslav Blagushin [15] ).Den fortsatte fraktion for Apérys konstant (sekvens A013631 i OEIS ) er som følger:
Den første generaliserede fortsatte fraktion for Apéry-konstanten, som har en regelmæssighed, blev opdaget uafhængigt af Stieltjes og Ramanujan :
Det kan konverteres til:
Aperi var i stand til at fremskynde konvergensen af den fortsatte fraktion for en konstant:
[16] [17]Antallet af kendte signifikante cifre i Apérys konstant er vokset betydeligt i de seneste årtier, takket være både øget computerkraft og forbedrede algoritmer [18] .
Antal kendte signifikante cifre i Apéry-konstantendatoen | Antal signifikante cifre | Beregningsforfattere |
---|---|---|
1735 | 16 | Leonhard Euler [5] [6] |
1887 | 32 | Thomas Ioannes Stiltjes |
1996 | 520.000 | Greg J. Fee & Simon Plouffe |
1997 | 1.000.000 | Bruno Haible og Thomas Papanikolaou |
maj 1997 | 10 536 006 | Patrick Demichel |
februar 1998 | 14 000 074 | Sebastian Wedeniwski |
marts 1998 | 32 000 213 | Sebastian Wedeniwski |
juli 1998 | 64 000 091 | Sebastian Wedeniwski |
december 1998 | 128 000 026 | Sebastian Wedeniwski [19] |
2001, september | 200 001 000 | Shigeru Kondo og Xavier Gourdon |
februar 2002 | 600 001 000 | Shigeru Kondo og Xavier Gourdon |
februar 2003 | 1.000.000.000 | Patrick Demichel og Xavier Gourdon |
april 2006 | 10.000.000.000 | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo [20] |
januar 2009 | 15 510 000 000 | Alexander J. Yee & Raymond Chan [21] |
marts 2009 | 31 026 000 000 | Alexander J. Yee & Raymond Chan [21] |
september 2010 | 100.000.001.000 | Alexander J Yee [22] |
september 2013 | 200 000 001 000 | Robert J. Setty [22] |
august 2015 | 250.000.000.000 | Ron Watkins [22] |
december 2015 | 400.000.000.000 | Dipanjan Nag [22] |
august 2017 | 500.000.000.000 | Ron Watkins [22] |
maj 2019 | 1.000.000.000.000 | Ian Cutress [22] |
juli 2020 | 1 200 000 000 000 | Seungmin Kim [23] |
Der er mange undersøgelser viet til andre værdier af Riemann zeta-funktionen på ulige punkter ved . Især værker af Vadim Zudilin og Tangay Rivoal viser, at et uendeligt sæt tal er irrationelt [24] , og at mindst et af tallene , , , eller er irrationelt [25] .
Irrationelle tal | ||
---|---|---|
| ||