Debye model

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. december 2018; checks kræver 9 redigeringer .

Inden for termodynamik og faststoffysik er Debye-modellen en metode udviklet af Debye i 1912 til at estimere fononbidraget til faste stoffers varmekapacitet . Debye-modellen betragter vibrationer af krystalgitteret som en gas af kvasipartikler - fononer. Denne model forudsiger korrekt varmekapaciteten ved lave temperaturer, som ifølge Debyes lov er proportional med . I grænsen for høje temperaturer har den molære varmekapacitet , ifølge Dulong-Petit-loven , tendens til , hvor er den universelle gaskonstant . $T^3$ $3R$ $R$

Debye gjorde følgende antagelser i konstruktionen af sin teori: [1]

Et fast legeme er et kontinuerligt medium.
Dette medium er elastisk isotropisk.
Der er ingen spredning i mediet.
Mediets elastiske egenskaber afhænger ikke af temperaturen.

Ved termisk ligevægt er energien af et sæt oscillatorer med forskellige frekvenser lig med summen af deres energier: $E$ ${\displaystyle \omega _{\mathbf {K} ))$

$E=\sum _{\mathbf {k} }{\langle n_{\mathbf {k} }\rangle \hbar \omega _{\mathbf {k} }}=\int {D(\omega ) n(\omega )\hbar \omega d\omega },$

hvor er antallet af tilstande af normale vibrationer pr. længdeenhed af frekvensintervallet, er antallet af oscillatorer i et fast stof, der svinger med en frekvens . $D(\omega)$ $n(\omega)$ $\omega$

Tæthedsfunktionen i det tredimensionelle tilfælde har formen: $D(\omega)$

$D(\omega )={\frac {V\omega ^{2}}{2\pi ^{2}v^{3}}},$

hvor er volumen af et fast legeme, er lydens hastighed i det. $V$ $v$

Værdien af kvantetal beregnes ved Plancks formel :

$n={\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T))-1))$

Så vil energien blive skrevet som:

$E=\int \limits _{0}^{\omega _{D}}{\left({\frac {\omega ^{2}V}{2\pi ^{2}v^{3 ))}\right)\left({\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T))-1}}\right)d\omega },$

${\frac {E}{Nk_{B}}}=9T\venstre({T \over T_{D}}\right)^{3}\int \limits _{0}^{T_{D }/T}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx,$

hvor er Debye-temperaturen , er antallet af atomer i et fast stof, er Boltzmann-konstanten . $T_D$ $N$ $k_B$

Ved at differentiere den indre energi med hensyn til temperatur får vi:

{\frac {c_{v}}{Nk_{B}}}=9\venstre({T \over T_{D}}\right)^{3}\int \limits _{0}^{ T_{D}/T}{\frac {x^{4}e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}}\,dx.

Molær varmekapacitet af et fast stof i Debyes teori

Debye-modellen tager højde for, at varmekapaciteten af et fast stof er en parameter for et termodynamisk systems ligevægtstilstand. Derfor kan bølger exciteret i et fast legeme af elementære oscillatorer ikke overføre energi. Det vil sige, at de er stående bølger. Hvis et stift legeme vælges i form af et rektangulært parallelepipedum med kanter , , , kan betingelserne for eksistensen af stående bølger skrives som: $-en$ $b$ $c$

n_{1}{\frac {\lambda _{x}}{2}}=a,\ n_{2}{\frac {\lambda _{y}}{2}}=b,\ n_ {3}{\frac {\lambda _{z}}{2}}=c,

hvor er heltal. $n_1,\ n_2,\ n_3$

Lad os gå videre til rummet bygget på bølgevektorer. Siden da $k=2\pi /\lambda$

k_{x}={\frac {2\pi }{\lambda _{x}}}=\pi {\frac {n_{1}}{a)),\ k_{y}={\ frac {2\pi }{\lambda _{y))}=\pi {\frac {n_{2}}{b)),\ k_{z}={\frac {2\pi }{\lambda _ {z}}}=\pi {\frac {n_{3}}{c}}.

Således kan oscillatorer eksistere i et fast legeme, med frekvenser, der varierer diskret. En oscillator i -rummet svarer til en celle med volumen $k$

\tau =\Delta k_{x}\Delta k_{y}\Delta k_{z}={\frac {\pi ^{3}}{a\cdot b\cdot c}}={\frac {\pi ^{3}}{V}},

hvor

\Delta k_{x}={\frac {\pi }{a)),\ \Delta k_{y}={\frac {\pi }{b)),\ \Delta k_{z}= {\frac {\pi }{c).

I -rummet svarer oscillatorer med frekvenser i intervallet til en oktant af et sfærisk lag med volumen $k$ $(\omega ,\omega +d\omega )$

dV_{k}={\frac {4\pi k^{2}dk}{8}}={\frac {\pi k^{2}dk}{2)).

I dette bind er antallet af oscillatorer

$dN_{k}={\frac {dV_{k}}{\tau }}={\frac {Vk^{2}dk}{2\pi ^{2}}}$

Lad os tage i betragtning, at hver oscillator genererer 3 bølger: 2 tværgående og en langsgående . På samme tid . $k_{\parallel }={\frac {\omega }{v_{\parallel }}},\ k_{\perp }={\frac {\omega }{v_{\perp }}}$

Find den indre energi af et mol af et fast legeme. For at gøre dette skriver vi forholdet mellem bølgetal, bølgeudbredelseshastighed og frekvens:

$k^{2}=k_{\|}^{2}+2k_{\bot }^{2}=\left({\frac {1}{v_{\|}^{2))} +{\frac {2}{v_{\bot }^{2}}}\right)\omega ^{2},$

$dN_{k}={\frac {V}{2\pi ^{2))}\left({\frac {1}{v_{\|}^{2))}+{\frac { 2}{v_{\bot }^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\omega ^{2}d\omega =A\omega ^{2}d\omega .$

Oscillationer i et fast legeme er begrænset af den maksimale frekvensværdi . Lad os bestemme grænsefrekvensen ud fra betingelsen: $\omega_m$

$N=\int dN_{k}=\int _{0}^{\omega _{m))A\omega ^{2}d\omega =A{\frac {\omega _{m}^ {3}}{3}}=3N_{A},$

$dN_{k}=9N_{A}{\frac {\omega ^{2}d\omega }{\omega _{m}^{3))}.$

Derfor den indre energi af en muldvarp:

$U_{M}=\int \langle \varepsilon \rangle dN_{k}=\int _{0}^{\omega _{m))\hbar \omega \left({\frac {1}{ e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}-1}}+{\frac {1}{2}}\right)9N_{A}{\frac {\omega ^{2 }d\omega }{\omega _{m}^{3}}},$

hvor er den gennemsnitlige energi af en kvanteoscillator (se Einsteins varmekapacitetsmodel ), $\langle \varepsilon \rangle$

$k_B$ er Boltzmann konstanten,

$N_A$ er Avogadros nummer.

I det sidste udtryk foretager vi følgende ændring af variable:

$X={\frac {\hbar \omega }{k_{B}T))$ ; ; ; $\hbar \omega _{m}=k_{B}\Theta$ $X_{m}={\frac {\hbar \omega _{m}}{k_{B}T}}=\Theta /T$ ${\frac {\omega }{\omega _{m))}=X{\frac {k_{B}T}{\hbar }}{\frac {\hbar }{k_{B}\Theta }}=X{\frac {T}{\Theta }}=X{\frac {k_{B}T}{\hbar \omega _{m}}},$

$\Theta$ er Debye-temperaturen .

Nu får vi ${\displaystyle U_{M))$

$U_{M}=9N_{A}\hbar \int _{0}^{\omega _{m}}\left({\frac {1}{e^{X}-1}}+{ \frac {1}{2}}\right){\frac {\omega ^{3}d\omega }{\omega _{m}^{3}}}=9N_{A}\hbar \left({ \frac {T}{\Theta }}\right)^{3}{\frac {k_{B}T}{\hbar }}\int _{0}^{\frac {\Theta }{T}} \left({\frac {1}{e^{x}-1}}+{\frac {1}{2}}\right)x^{3}dx=$

$=9RT\left({\frac {T}{\Theta }}\right)^{3}\int _{0}^{\frac {\Theta}{T}}\left({\frac {1}{e^{x}-1}}+{\frac {1}{2}}\right)x^{3}dx=9R\Theta \left[{\frac {1}{8}} +\venstre({\frac {T}{\Theta }}\right)^{4}\int _{0}^{\frac {\Theta}{T}}{\frac {x^{3}dx }{e^{x}-1}}\højre].$

Til sidst, for den molære varmekapacitet , får vi

C={\frac {dU_{M}}{dT}}=3R\venstre[12{\left({\frac {T}{\Theta }}\right)}^{3}\int _ {0}^{\Theta /T}{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx-{\frac {3\Theta /T}{e^{\Theta /T }-1}}\right].

Det er nemt at kontrollere det under betingelse af varmekapacitet og under betingelse af varmekapacitet $T\to \infty$ $C\to 3R$ $T\to 0$ $C\to {\frac {12\pi ^{4}}{5}}\cdot R\cdot \left({\frac {T}{\Theta }}\right)^{3}\sim T^{3}.$

Integralet kan tages ved hjælp af metoder til teorien om funktioner af en kompleks variabel, eller ved at bruge Riemann zeta-funktionen . Således stemmer Debyes teori overens med de eksperimentelle resultater. $\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx={\frac {\pi ^{4}}{15} }$

Noter

↑ Blatt F. Fysik af elektronisk ledningsevne i faste stoffer. - M., Mir, 1971. - s. 64

Litteratur

Landau L. D. , Lifshitz E. M. Statistisk fysik. Del 1. - Udgave 5. — M .: Fizmatlit , 2005. — 616 s. - (" Teoretisk fysik ", bind V). — ISBN 5-9221-0054-8 .