Gauss, Carl Friedrich

Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss
Navn ved fødslen tysk  Johann Carl Friedrich Gauss
Fødselsdato 30. april 1777( 30-04-1777 ) [1] [2] [3] […]
Fødselssted
Dødsdato 23. februar 1855( 23-02-1855 ) [1] [2] [3] […] (77 år)
Et dødssted
Land
Videnskabelig sfære matematik , mekanik , fysik , astronomi , geodæsi
Arbejdsplads
Alma Mater Universitetet i Göttingen
Akademisk grad PhD [9] ( 1799 )
videnskabelig rådgiver Pfaff, Johann Friedrich [10]
Studerende Farkas Bolyai , August Ferdinand Möbius , Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Gustav Robert Kirchhoff , Heinrich Christian Schumacher [9] og Gustav Swanberg [d] [9]
Priser og præmier Lalande-prisen for Videnskabsakademiet i Paris (1810)
Copley-medalje (1838)
Autograf
Wikisource logo Arbejder hos Wikisource
 Mediefiler på Wikimedia Commons

Johann Karl Friedrich Gauss ( tysk :  Johann Carl Friedrich Gauß ; 30. april 1777 , Braunschweig  - 23. februar 1855 , Göttingen ) var en tysk matematiker , mekaniker , fysiker , astronom og landmåler [11] . Betragtet som en af ​​de største matematikere gennem tiderne, "kongen af ​​matematikere" [12] .

Vinder af Copley-medaljen (1838), medlem af Royal Society of London (1804) [13] , udenlandsk medlem af Paris (1820) [14] og svenske (1821) videnskabsakademier, udenlandsk tilsvarende medlem (1802) og udenlandsk æresmedlem (1824) af Sankt Petersborgs Videnskabsakademi [15] .

Biografi

1777-1798

Født i det tyske hertugdømme Brunswick . Gauss farfar var en fattig bonde; far, Gebhard Dietrich Gauss, gartner, murer, kanalpasser; mor, Dorothea Benz, datter af en murer. Da moderen var analfabet, skrev moderen ikke sin søns fødselsdato ned, idet hun kun huskede, at han blev født onsdag, otte dage før Kristi Himmelfartsdag , som fejres 40 dage efter påske . I 1799 beregnede Gauss den nøjagtige dato for sin fødsel ved at udvikle en metode til at bestemme datoen for påsken for ethvert år [16] .

Allerede i en alder af to viste drengen sig som et vidunderbarn . I en alder af tre kunne han læse og skrive, endda rette på sin fars regnefejl. Der er en historie, hvor unge Gauss udførte nogle aritmetiske beregninger meget hurtigere end alle sine klassekammerater; normalt når denne episode præsenteres, nævnes beregningen af ​​summen af ​​tal fra 1 til 100 , men den oprindelige kilde til dette er ukendt [17] . Indtil alderdommen plejede han at lave de fleste beregninger i tankerne.

Han var heldig med læreren: M. Bartels (senere Lobachevskys lærer ) værdsatte den unge Gauss enestående talent og formåede at skaffe ham et stipendium fra hertugen af ​​Brunsvig . Dette hjalp Gauss til at dimittere fra Collegium Carolinum i Braunschweig (1792-1795).

Gauss tøvede i nogen tid mellem filologi og matematik, men foretrak det sidste. Han var meget glad for det latinske sprog og skrev en betydelig del af sine værker på latin; elskede engelsk og fransk litteratur, som han læste i originalen. I en alder af 62 begyndte Gauss at studere russisk for at gøre sig bekendt med Lobachevskys værker , og det lykkedes ganske godt i denne sag.

På college studerede Gauss værker af Newton , Euler , Lagrange . Allerede der gjorde han adskillige opdagelser inden for talteori, herunder beviser loven om gensidighed af kvadratiske rester . Legendre opdagede ganske vist denne vigtigste lov tidligere, men formåede ikke at bevise den strengt; Euler fejlede også. Derudover skabte Gauss " mindste kvadraters metode " (også uafhængigt opdaget af Legendre ) og begyndte forskning inden for " normalfordeling af fejl ".

Fra 1795 til 1798 studerede Gauss ved universitetet i Göttingen , hvor A. G. Kestner [18] var hans lærer . Dette er den mest frugtbare periode i Gauss liv.

1796 : Gauss beviste muligheden for at konstruere en regulær syttenagon ved hjælp af et kompas og en ligekant . Desuden løste han problemet med at konstruere regulære polygoner til slutningen og fandt et kriterium for muligheden for at konstruere en regulær n - gon ved hjælp af et kompas og en lineal:

Gauss elskede denne opdagelse meget og testamenterede til at afbilde en regulær syttensidet indskrevet i en cirkel på hans grav.

Fra 1796 førte Gauss en kort dagbog over sine opdagelser. Han udgav, ligesom Newton , ikke meget, selvom disse var resultater af usædvanlig betydning ( elliptiske funktioner , ikke-euklidisk geometri osv.). Han forklarede sine venner, at han kun offentliggør de resultater, som han er tilfreds med og betragter som fuldstændige. Mange ideer, som han havde kastet eller forladt, blev senere genoplivet i værker af Abel , Jacobi , Cauchy , Lobachevsky og andre. Han opdagede også quaternions 30 år før Hamilton (kalder dem "mutationer").

Alle de talrige offentliggjorte værker af Gauss indeholder betydelige resultater, der var ikke et eneste råt og forbigående værk.

1798: Mesterværket " Arithmetical Investigations " ( lat.  Disquisitiones Arithmeticae ) færdigt, først trykt i 1801.

I dette arbejde er teorien om kongruenser detaljeret i moderne (introduceret af ham) notation, sammenligninger af en vilkårlig rækkefølge er løst, kvadratiske former studeres dybt , komplekse rødder af enhed bruges til at konstruere regulære n-goner, egenskaber af kvadratiske rester er angivet, gives et bevis for den kvadratiske gensidighedslov osv. e. Gauss kunne godt lide at sige, at matematik er videnskabens dronning, og talteorien  er matematikkens dronning.

1798-1816

I 1798 vendte Gauss tilbage til Braunschweig og boede der indtil 1807.

Hertugen fortsatte med at formynde det unge geni. Han betalte for trykningen af ​​sin doktorafhandling ( 1799 ) og bevilgede ham et godt stipendium. I sin doktorafhandling beviste Gauss for første gang algebraens grundlæggende teorem . Før Gauss var der mange forsøg på at gøre dette, d'Alembert kom tættest på målet . Gauss vendte gentagne gange tilbage til denne sætning og gav 4 forskellige beviser for den.

Fra 1799 var Gauss privatdozent ved universitetet i Braunschweig.

1801: Valgt til et tilsvarende medlem af St. Petersborgs Videnskabsakademi .

Efter 1801, uden at bryde med talteorien, udvidede Gauss sin interessekreds til at omfatte naturvidenskaberne, primært astronomi. Årsagen var opdagelsen af ​​den mindre planet Ceres ( 1801 ), tabt kort efter opdagelsen. Den 24-årige Gauss lavede (på få timer) de mest komplekse beregninger ved hjælp af en ny beregningsmetode udviklet af ham [11] , og angav med stor nøjagtighed det sted, hvor han skulle lede efter den "flygtige"; der var hun, til almindelig glæde, og blev hurtigt opdaget.

Gauss herlighed bliver paneuropæisk. Mange videnskabelige selskaber i Europa vælger Gauss som deres medlem, hertugen øger godtgørelsen, og Gauss' interesse for astronomi vokser endnu mere.

1805: Gauss giftede sig med Johanna Osthof. De fik tre børn, to overlevede - sønnen Josef og datteren Minna.

1806: Hans generøse protektor, hertugen, dør af et sår modtaget i krigen med Napoleon . Flere lande kappes med hinanden om at invitere Gauss til at tjene (inklusive i St. Petersborg ). Efter anbefaling af Alexander von Humboldt blev Gauss udnævnt til professor ved Göttingen og direktør for Göttingen Observatorium. Denne stilling beklædte han indtil sin død.

1807: Napoleonske tropper indtager Göttingen . Alle borgere er underlagt en godtgørelse, herunder et enormt beløb - 2000 francs - der skal betales til Gauss. Olbers og Laplace kommer ham straks til hjælp, men Gauss afviser deres penge; så sender en ukendt fra Frankfurt ham 1000 gylden , og denne gave skal accepteres. Først meget senere erfarede de, at den ukendte var kurfyrsten af ​​Mainz, en ven af ​​Goethe (ifølge andre kilder, biskoppen af ​​Frankfurt ).

1809: nyt mesterværk, Theory of the Motion of Celestial Bodys. Den kanoniske teori om at tage højde for forstyrrelser af baner præsenteres.

Netop på den fjerde bryllupsdag døde Johanna, kort efter fødslen af ​​sit tredje barn. Dette år var det sværeste for Gauss. Året efter, i 1810, giftede han sig igen - med Wilhelmina (" Minna ") Waldeck, en ven af ​​Johanna. Antallet af Gauss' børn steg hurtigt til fem.

1810: ny hæder. Gauss modtager en pris fra Paris Academy of Sciences og en guldmedalje fra Royal Society of London .

1811: En ny komet dukkede op . Gauss beregnede hurtigt og meget præcist sin bane. Påbegyndte arbejdet med kompleks analyse , opdager (men offentliggør ikke) en sætning, der senere blev genopdaget af Cauchy og Weierstrass : integralet af en analytisk funktion over en lukket kontur er nul.

1812: undersøgelse af den hypergeometriske serie, generalisering af udvidelsen af ​​næsten alle funktioner kendt på det tidspunkt.

Den berømte komet "Fire of Moscow" (1812) observeres overalt ved hjælp af Gauss beregninger.

1815: Udgiver det første strenge bevis på Algebras grundlæggende sætning .

1816-1855

1820: Gauss får til opgave at undersøge Hannover . For at gøre dette udviklede han de passende beregningsmetoder (herunder metoden til praktisk anvendelse af hans metode med mindste kvadrater ), som førte til skabelsen af ​​en ny videnskabelig retning - højere geodæsi , og organiserede undersøgelsen af ​​terrænet og kompileringen af kort [11] .

1821: I forbindelse med arbejdet med geodæsi begynder Gauss en historisk cyklus af arbejde med teorien om overflader . Begrebet " Gaussisk krumning " kommer ind i videnskaben . Begyndelsen af ​​differentialgeometri er lagt . Det var Gauss resultater, der inspirerede Riemann til at skrive sin klassiske afhandling om " Riemannsk geometri ".

Resultatet af Gauss' forskning var værket "Investigations on Curved Surfaces" ( 1822 ). Det brugte frit almindelige krumlinjede koordinater på overfladen. Gauss udviklede metoden til konform kortlægning far , som i kartografi bevarer vinkler (men forvrænger afstande); det bruges også i aerodynamik, hydrodynamik og elektrostatik.

1824: Valgt til udenlandsk æresmedlem af St. Petersburgs Videnskabsakademi .

1825: Opdager de Gaussiske komplekse heltal , bygger en teori om delelighed og kongruenser for dem. Anvender dem med succes til at løse sammenligninger af høje grader.

1829: I det bemærkelsesværdige værk "On a New General Law of Mechanics" , der kun består af fire sider, underbygger Gauss [19] et nyt variationsprincip for mekanikken  - princippet om mindste begrænsning . Princippet gælder for mekaniske systemer med ideelle forbindelser og formuleret af Gauss som følger: "bevægelsen af ​​et system af materielle punkter, indbyrdes forbundet på en vilkårlig måde og underlagt enhver påvirkning, sker til enhver tid på den mest perfekte måde som muligt, i i overensstemmelse med den bevægelse, at disse punkter, hvis de alle blev frie, det vil sige, det sker med mindst mulig tvang, hvis vi som et mål for tvang anvendt i et uendeligt lille øjeblik tager summen af ​​produkterne af massen af ​​hver punkt og kvadratet af dets afvigelse fra den position, den ville indtage, hvis den var fri" [20] .

1831: Anden kone dør, Gauss lider af svær søvnløshed. Den 27-årige talentfulde fysiker Wilhelm Weber , som Gauss mødte i 1828, mens han besøgte Humboldt, kom til Göttingen, inviteret på initiativ af Gauss . Begge videnskabsentusiaster blev venner på trods af aldersforskellen og begynder en cyklus af forskning i elektromagnetisme.

1832: "Teorien om biquadratiske rester" . Ved at bruge de samme komplekse heltal Gaussiske tal, bevises vigtige aritmetiske sætninger ikke kun for komplekse tal, men også for reelle tal. Gauss giver her en geometrisk fortolkning af komplekse tal, som fra det øjeblik bliver almindeligt accepteret.

1833: Gauss opfinder den elektriske telegraf og bygger (med Weber ) en arbejdsmodel af den.

1837: Weber bliver fyret for at nægte at aflægge troskabsed til den nye konge af Hannover. Gauss er efterladt alene igen.

1839: 62-årige Gauss mestrer det russiske sprog og beder i breve til Skt. Petersborgs Akademi om at sende ham russiske blade og bøger, især Pushkins Kaptajnens datter. Det menes, at dette skyldes Gauss' interesse for Lobachevskys værker , som i 1842 på anbefaling af Gauss blev valgt til et udenlandsk korresponderende medlem af Göttingen Royal Society.

I samme 1839 skitserede Gauss i sit essay "The General Theory of Attractive and Repulsive Forces Acting inversely as the Square of Distance," grundlaget for potentiel teori , herunder en række fundamentale bestemmelser og teoremer - for eksempel den fundamentale sætning af elektrostatik ( Gauss ' sætning ) [21] .

1840: I sine Dioptric Investigations udviklede Gauss teorien om billeddannelse i komplekse optiske systemer [21] .

Gauss døde den 23. februar 1855 i Göttingen. Kong George V af Hannover beordrede en medalje, der skulle præges til ære for Gauss, hvorpå et portræt af Gauss og ærestitlen " Mathematicorum Princeps " - "Konge af Mathematicians" var indgraveret.

Videnskabelig aktivitet

Grundlæggende forskning er forbundet med navnet Gauss i næsten alle større områder af matematikken: i algebra , talteori , differentiel og ikke-euklidisk geometri , matematisk analyse , teorien om funktioner af en kompleks variabel , sandsynlighedsteori , såvel som i analytisk og himmelmekanik , astronomi , fysik og geodæsi [11] . ”På alle områder var dybden af ​​indtrængen i materialet, tankegangens dristighed og betydningen af ​​resultatet forbløffende. Gauss blev kaldt "kongen af ​​matematikere" [22] ( lat.  Princeps mathematicorum ).

Gauss var ekstremt streng med hensyn til sine offentliggjorte værker og offentliggjorde aldrig selv fremragende resultater, hvis han anså sit arbejde om dette emne for at være ufuldstændigt. Hans personlige segl viste et træ med flere frugter under mottoet: "Pauca sed matura" ( lidt, men modent ) [23] . En undersøgelse af Gauss' arkiv viste, at han var langsom til at offentliggøre en række af sine opdagelser, og som følge heraf var andre matematikere foran ham. Her er en ufuldstændig liste over prioriteter, han savnede.

Flere studerende, elever af Gauss, blev fremtrædende matematikere, for eksempel: Riemann , Dedekind , Bessel , Möbius .

Algebra

Gauss gav de første strenge, selv efter moderne kriterier, beviser for Algebras grundlæggende sætning .

Han opdagede ringen af ​​komplekse Gaussiske heltal , skabte teorien om delelighed for dem , og med deres hjælp løste han mange algebraiske problemer. Han påpegede den nu velkendte geometriske model af komplekse tal og operationer med dem.

Gauss gav den klassiske teori om kongruenser , opdagede det endelige felt af rester modulo prime, trængte dybt ind i resternes egenskaber.

Geometri

Gauss begyndte først at studere overfladernes iboende geometri . Han opdagede en karakteristik af en overflade ( Gaussisk krumning ), der ikke ændrer sig under bøjninger, hvilket lagde grundlaget for Riemannsk geometri . I 1827 udgav han en komplet teori om overflader. Bevist Theorema Egregium  , overfladeteoriens grundlæggende teorem. Gauss' værker om differentialgeometri gav en kraftig impuls til udviklingen af ​​denne videnskab i hele det 19. århundrede. Undervejs skabte han en ny videnskab - højere geodæsi .

Gauss var den første (ifølge nogle kilder [11] , cirka i 1818) til at bygge grundlaget for ikke-euklidisk geometri og tro på dens mulige virkelighed [25] . Men gennem hele sit liv publicerede han ikke noget om dette emne, sandsynligvis af frygt for at blive misforstået, fordi de ideer, han udviklede, gik imod dogmet om det euklidiske rum i den dengang dominerende kantianske filosofi) [26] . Et brev fra Gauss til Lobatsjovskij overlever dog , som tydeligt udtrykker hans følelse af solidaritet, og i personlige breve udgivet efter hans død beundrer Gauss Lobatsjovskijs arbejde. I 1817 skrev han til astronomen W. Olbers [27] :

Jeg bliver mere og mere overbevist om, at nødvendigheden af ​​vores geometri ikke kan bevises, i hvert fald ikke af menneskelig fornuft og af menneskelig fornuft. Måske vil vi i et andet liv komme til syn på rummets natur, som nu er utilgængelige for os. Hidtil har geometrien ikke skullet placeres på samme niveau med aritmetik, som eksisterer rent a priori, men snarere med mekanik.

I hans papirer blev der fundet betydelige noter om emnet, der senere blev kaldt topologi . Desuden forudsagde han den grundlæggende betydning af dette emne.

Det ældgamle problem med at konstruere regulære polygoner med kompas og ligekant blev endelig løst af Gauss (se Gauss-Wanzels sætning ).

Matematisk analyse

Gauss avancerede teorien om specielle funktioner , serier, numeriske metoder, problemløsning i matematisk fysik. Skabte den matematiske teori om potentiale .

Han beskæftigede sig meget og med succes med elliptiske funktioner , selvom han af en eller anden grund ikke udgav noget om dette emne.

Analytisk mekanik

Gauss' vigtigste bidrag til analytisk mekanik var hans princip om mindste begrænsning . For den analytiske formulering af dette princip var værket af G. Scheffler (1820-1903) "On the Gaussian fundamental law of mechanics" [29] , udgivet i 1858, af stor betydning [28] . Heri omdefinerede Scheffler [ 30] tvang ( tysk: Zwang ) som følgende (i moderne notation [31] ) udtryk:  

,

hvor  er antallet af punkter inkluderet i systemet,  er massen af ​​det th punkt,  er resultanten af ​​de aktive kræfter, der påføres det,  er den tilladte acceleration af et givet punkt (faktisk brugte Scheffler en skalar notation, og han ikke havde en faktor foran sumtegnet). Med "tilladelige accelerationer" mener vi her [32] sådanne accelerationer af systempunkter, der kan realiseres i en given tilstand af systemet uden at bryde forbindelser; reelle accelerationer (som opstår under påvirkning af kræfter, der faktisk påføres systemets punkter) er et særligt tilfælde af tilladte accelerationer.

Derefter fik Gauss-princippet den form, der bruges i dets præsentation og i moderne kurser i teoretisk mekanik: "I den faktiske bevægelse af et mekanisk system med ideelle begrænsninger, får begrænsningen den værdi, der er den mindste af alle mulige værdier for bevægelser, der er kompatible med overlejrede begrænsninger" [33] . Dette princip refererer [34] til antallet af differentielle variationsprincipper for mekanik . Det har en meget stor generalitet, da det er anvendeligt til en bred vifte af mekaniske systemer: konservativ og ikke-konservativ, holonomisk og ikke-holonomisk. Derfor bruges det især ofte [35] som udgangspunkt for at udlede bevægelsesligningerne for ikke-holonomiske systemer .

Astronomi

I astronomi var Gauss primært interesseret i himmelmekanik , hvor han studerede mindre planeters kredsløb og deres forstyrrelser. Han foreslog en teori om perturbationsregnskab og beviste gentagne gange dens effektivitet i praksis.

I 1809 fandt Gauss en måde at bestemme elementerne i en bane ud fra tre komplette observationer (hvis tid, ret opstigning og deklination er kendt for de tre dimensioner ).

Andre præstationer

For at minimere indflydelsen af ​​målefejl brugte Gauss sin mindste kvadraters metode , som nu er meget brugt i statistik . Selvom Gauss ikke var den første til at opdage normalfordelingsloven, der er almindelig i naturen , studerede han den så grundigt, at fordelingsgrafen siden ofte er blevet kaldt Gaussisk .

I fysik udviklede Gauss teorien om kapillaritet , teorien om et linsesystem. Han lagde grundlaget for den matematiske teori om elektromagnetisme og var samtidig den første til at introducere begrebet elektrisk feltpotentiale , og i 1845 kom han til ideen om en endelig udbredelseshastighed af elektromagnetiske interaktioner. I 1832 skabte han et absolut system af foranstaltninger, der introducerede tre grundlæggende enheder: en længdeenhed - 1 mm, en tidsenhed - 1 s, en masseenhed - 1 mg; dette system tjente som en prototype på CGS -systemet af enheder . Sammen med Weber byggede Gauss Tysklands første elektromagnetiske telegraf . Mens han studerede jordmagnetisme, opfandt Gauss et unipolært magnetometer i 1837 og et bifilært magnetometer i 1838 [21] .

Højtideligholdelse

Opkaldt efter Gauss:

Mange sætninger og videnskabelige termer inden for matematik, astronomi og fysik er forbundet med Gauss navn, se Liste over objekter opkaldt efter Gauss . Nogle af dem:

I litteratur og film

Gauss og Alexander von Humboldts liv er dedikeret til filmen " Measuring the World " (" Die Vermessung der Welt ", 2012, Tyskland). Filmen er baseret på romanen af ​​samme navn af forfatteren Daniel Kelman [37] .

Oversættelser af værker til russisk

Noter

  1. ↑ 1 2 3 4 verschiedene Autoren Allgemeine Deutsche Biographie  (tysk) / Hrsg.: Historische Commission bei der königl. Akademie der Wissenschaften - L : Duncker & Humblot , 1875.
  2. ↑ 1 2 MacTutor History of Mathematics Archive
  3. ↑ 1 2 Carl Friedrich Gauss // RKDartists  (hollandsk)
  4. ↑ 1 2 Gauss Karl Friedrich // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / ed. A. M. Prokhorov - 3. udg. - M .: Soviet Encyclopedia , 1971. - T. 6: Gaslift - Gogolevo. - S. 144-145.
  5. ↑ www.accademiadellescienze.it  (italiensk)
  6. ↑ http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00207160.2012.689826
  7. ↑ http://www.maa.org/publications/maa-reviews/50th-imo-50-years-of-international-mathematical-olympiads
  8. ↑ http://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-3-642-14565-0_3.pdf
  9. ↑ 1 2 3 Matematisk genealogi  (engelsk) - 1997.
  10. ↑ Matematisk genealogi  (engelsk) - 1997.
  11. ↑ 1 2 3 4 5 Bogolyubov, 1983 , s. 121-123.
  12. ↑ Gindikin S. G. Historier om fysikere og matematikere. Arkiveret kopi af 11. juli 2020 på Wayback Machine  - M . : MTsNMO, 2001. Kapitel "The King of Mathematicians".
  13. ↑ Gauss; Karl Friedrich (1777 - 1855) // websted for Royal Society of London  (engelsk)
  14. ↑ Les membres du passé dont le nom commence par G Arkiveret 5. august 2020 på Wayback Machine  (FR)
  15. ↑ Gauss, Carl Friedrich på den officielle hjemmeside for det russiske videnskabsakademi
  16. ↑ Mind Over Mathematics: Hvordan Gauss bestemte sin fødselsdato . Hentet 11. november 2019. Arkiveret fra originalen 6. februar 2022.
  17. ↑ Brian Hayes. Gauss' Regnskabsdag . American Scientist (2006). doi : 10.1511/2006.59.200 . Hentet 15. oktober 2019. Arkiveret fra originalen 12. januar 2012.
  18. ↑ Bogolyubov, 1983 , s. 219.
  19. ↑ Tyulina, 1979 , s. 178.
  20. ↑ Gauss K. On a New General Principle of Mechanics ( Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik ) / Journal für Reine und Angewandte Mathematik. 1829. Bd. IV. - S. 232-235.) // Mekanikkens variationsprincipper: Lør. artikler / red. L. S. Polak. - M. : Fizmatgiz, 1959. - 932 s. - S. 170-172.
  21. ↑ 1 2 3 Khramov, 1983 , s. 76.
  22. ↑ Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.) Matematik i det 19. århundrede. T. 1. - M . : Nauka, 1978. - S. 52.
  23. ↑ Derbyshire J. En simpel besættelse. Bernhard Riemann og det største uløste problem i matematik. - M .: Astrel, 2010. - ISBN 978-5-271-25422-2 . - S. 76-77.
  24. ↑ Om geometriens grundlag. En samling af klassiske værker om Lobachevskys geometri og udviklingen af ​​dens ideer. Moskva: Gostekhizdat, 1956, s. 119-120.
  25. ↑ Gauss C.F. Brev og udkast til uddrag vedrørende ikke-euklidisk geometri Arkiveret 5. marts 2014 på Wayback Machine // Foundations of Geometry. — M. : GITTL, 1956.
  26. ↑ Man siger normalt, at han var bange for at blive misforstået. Ja, i et brev, som berører spørgsmålet om det femte postulat og ikke-euklidisk geometri, skriver Gauss: "Vær bange for boeotianernes råb "<...> Måske dog en anden forklaring på Gauss' tavshed: han var en af ​​de få, der forstod, at uanset hvor mange interessante sætninger af ikke-euklidisk geometri, der ikke er blevet udledt, beviser dette stadig intet - der er altid en teoretisk mulighed for, at en selvmodsigende udtalelse vil blive opnået som yderligere konsekvenser. Eller måske forstod (eller følte) Gauss, at der på det tidspunkt (første halvdel af det 19. århundrede) endnu ikke var fundet matematiske begreber, der ville gøre det muligt præcist at opstille og løse dette problem. // Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, kap. XII, stk. 2, - Fizmatlit, Moskva, 2009.
  27. ↑ Om geometriens grundlag. En samling af klassiske værker om Lobachevskys geometri og udviklingen af ​​dens ideer. - M . : Gostekhizdat, 1956. - S. 103.
  28. ↑ Moiseev, 1961 , s. 334.
  29. ↑ Göttinger Digitalisierungszentrum: Seitenansicht
  30. ↑ Tyulina, 1979 , s. 179-180.
  31. ↑ Markeev, 1990 , s. 90.
  32. ↑ Golubev, 2000 , s. 417.
  33. ↑ Drong V.I., Dubinin V.V., Ilyin M.M. et al. Kursus i Teoretisk Mekanik / Ed. K. S. Kolesnikova. - M . : Forlag af MSTU im. N. E. Bauman, 2011. - 758 s. — ISBN 978-5-7038-3490-9 . - S. 526.
  34. ↑ Markeev, 1990 , s. 89.
  35. ↑ Golubev, 2000 , s. 427.
  36. ↑ Gaussisk heliotrop . Dato for adgang: 17. januar 2017. Arkiveret fra originalen 27. december 2016.
  37. ↑ Måling af verden (utilgængeligt link) . Hentet 27. juni 2013. Arkiveret fra originalen 8. januar 2014. 

Litteratur

Links

  Gå til Wikidata-elementet  Foto, video og lyd
Tematiske steder
Ordbøger og encyklopædier
Slægtsforskning og nekropolis
 Vindere af Lalande-prisen fra Paris Academy of Sciences for Astronomy