Teorema Egregium

Theorema Egregium (latin for " bemærkelsesværdig sætning ") er et historisk vigtigt resultat i differentialgeometri bevist af Gauss . I sin moderne formulering siger teoremet følgende:

Gaussisk krumning er en indre invariant af overfladen. Gaussisk krumning kan med andre ord bestemmes udelukkende ved at måle vinkler, afstande inden for selve overfladen og afhænger ikke af dens specifikke implementering i det tredimensionelle euklidiske rum.

Der er en eksplicit formel, der udtrykker den Gaussiske krumning i form af den første kvadratiske form , nemlig i form af dens koefficienter og deres partielle afledte af første og anden orden. Dette er den såkaldte Brioschi-formel [1] .

I nogle særlige tilfælde, for eksempel i semi-geodetiske koordinater , det vil sige i lokale koordinater med den første kvadratiske form af formen

du^{2}+b(u,v)dv^{2}

Gaussisk krumning er udtrykt ved en enklere formel

K=-{\tfrac {1}{b}}\cdot {\tfrac {\partial ^{2}}{\partial u^{2}}}b.

Dette er tilstrækkeligt til at udlede sætningen.

Sætningen følger af Gauss-Bonnet-formlen , når den anvendes på små geodætiske trekanter. Udtrykket for den Gaussiske krumning er dog normalt bevist op til Gauss-Bonnet-formlen.

Historie

Gauss formulerede sætningen som følger (oversat fra latin):

Således indebærer formlen fra den forrige artikel en vidunderlig sætning .

Hvis en buet overflade folder sig ud langs en hvilken som helst anden overflade, forbliver krumningsmålet ved hvert punkt uændret . Sætningen er "bemærkelsesværdig", fordi forfatterens definition af Gaussisk krumning bruger overfladens position i rummet. Derfor er det ret overraskende, at resultatet ikke på nogen måde afhænger af den isometriske deformation.

Litteratur

V. A. Toponogov . Differentiel geometri af kurver og overflader. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .

A.V. Chernavsky . Differentialgeometri, 2 kurser .

Carlo Friedrico Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas 1827

Noter

↑ Brioschi Formula på Wolfram MathWorld . Hentet 2. maj 2021. Arkiveret fra originalen 2. maj 2021. (ubestemt)