Gaussisk krumning

Gaussisk krumning er et mål for krumningen af en overflade i nærheden af nogen af dens punkter. Gaussisk krumning er et objekt af den indre geometri af overflader, det vil sige, at den ikke ændres under isometriske bøjninger.

Definition

Gaussisk krumning for en todimensionel overflade

Lad os betegne de normale krumninger i hovedretningerne ( hovedkrumninger ) ved det betragtede punkt på overfladen og . Størrelse: $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

kaldet den Gaussiske krumning , den totale krumning eller blot overfladens krumning . Der er også begrebet krumningsskalar , som antyder resultatet af foldning af krumningstensoren ; i dette tilfælde er krumningen skalar dobbelt så stor som den Gaussiske krumning.

Gaussisk krumning kan beregnes i form af overflademetrikken , og derfor er det et objekt for indre geometri (bemærk, at principielle krumninger ikke gælder for indre geometri). Ved krumningstegnet kan du klassificere overfladens punkter (se figur). Planets krumning er nul. Krumningen af en kugle med radius R er overalt lig med . Der er også en overflade med konstant negativ krumning - pseudosfære . ${\frac {1}{R^{2}}}$

Gaussisk krumning for en hyperoverflade

Krumningen af en n-dimensionel hyperoverflade i et punkt er fuldstændig beskrevet af dens hovedkrumninger og de tilsvarende hovedretninger . $k^{{(1)}},k^{{(2)}},\dots ,k^{{(n)}}$

Overvej (op til fortegn) symmetriske polynomier sammensat af tal

(1)\qquad k^{{(1)}},k^{{(2)}},\dots,k^{{(n)}}:

(2)\qquad \left\{{\begin{array}{rcl}K^{{[1]}}&=&-(k^{{(1)}}+k^{{(2)} }+\dots +k^{{(n)}})=-\sum \limits _{{i}}k^{{(i)}}\\K^{{[2]}}&=&k ^{{(1)}}k^{{(2)}}+k^{{(1)}}k^{{(3)}}+\dots +k^{{(n-1)} }k^{{(n)}}=\sum \limits _{{i<j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}\\\cdots &\cdots &\ cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\K^{{[n]}}&=&(-1)^{n}k^{{(1)}}k^{{ (2)}}\cdots k^{{(n)}}\\\end{array}}\right.

Lad os kalde ovenstående værdier den Gaussiske krumning af den tilsvarende grad. Den generelle formel for den Gaussiske krumning af grad m er skrevet som følger:

(3)\qquad K^{{[m]}}=\sum _{{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{m}}}k^{{(i_{1})} }k^{{(i_{2})}}\cdots k^{{(i_{m})}}

De Gaussiske krumninger er koefficienterne for det karakteristiske polynomium for den totale krumningstensormatrix af hyperoverfladen:

(4)\qquad \det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}+K^{{[1]}}\lambda ^ {{n-1}}+\dots +K^{{[n-1]}}\lambda +K^{{[n]}}

Tensorformel for Gaussisk krumning

Formel (3) definerer den Gaussiske krumning gennem egenværdierne af hypersurface total curvature tensor . Lad os prøve at udtrykke disse størrelser i form af komponenterne i selve tensoren i ethvert koordinatsystem. For at beregne determinanten for en vilkårlig tensor af anden rang har vi følgende formel ved hjælp af den metriske matryoshka-tensor (se absolut antisymmetrisk enhedstensor ): $b_{{ij}}$ $b_{{ij}}$

(5)\qquad \det(a_{j}^{i})={1 \over n!}g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}}^{{i_{1 }i_{2}\dots i_{n}}}a_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}a_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}\ cdots a_{{i_{n}}}^{{j_{n}}}

Erstat i denne formel for at beregne det venstre udtryk for formel (4), så har vi: $a_{j}^{i}=\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i}$

(6)\qquad n!\det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{n} }}^{{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}(\lambda \delta _{{i_{1}}}^{{j_{1}}}-b_{{i_{ 1}}}^{{j_{1}}})\cdots (\lambda \delta _{{i_{n}}}^{{j_{n}}}-b_{{i_{n}}}^ {{j_{n}}})

Lad os åbne parenteserne i formel (6). Da den metriske matryoshka-tensor ikke ændres med en synkron permutation af de øvre og nedre indekser, så vil alle termer med samme grad være de samme (deres antal er lig med den binomiale koefficient ), og vi får: $g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}}^{{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}$ $\lambda ^{m}$ $C_{n}^{m}$

(7)\qquad n!\det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}g_{{s_{1}s_{2} \dots s_{n}}}^{{s_{1}s_{2}\dots s_{n}}}-C_{n}^{1}\lambda ^{{n-1}}g_{{js_ {2}\dots s_{n}}}^{{is_{2}\dots s_{n}}}b_{i}^{j}+C_{n}^{2}\lambda ^{{n- 2}}g_{{j_{1}j_{2}\dots s_{n}}}^{{i_{1}i_{2}\dots s_{n}}}b_{{i_{1}}} ^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}-\dots

Da successive viklinger af den metriske matryoshka-tensor er ens:

(8)\qquad g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{m}s_{{m+1}}s_{{m_{2}}}\dots s_{n}}}^{{ i_{1}i_{2}\dots i_{m}s_{{m+1}}s_{{m+2}}\dots s_{n}}}=(nm)!\,g_{{j_{ 1}\dots j_{m}}}^{{i_{1}\dots i_{m}}}

Derefter finder vi fra formel (7) og formlen for binomiale koefficienter følgende formel for det karakteristiske polynomium (ved at dividere begge sider af ligning (7) med ): $C_{n}^{m}={n! \over m!(nm)!}$ $n!$

(9)\qquad \det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}-{\lambda ^{{n-1)) \ over 1!}g_{j}^{i}b_{i}^{j}+{\lambda ^{{n-2}} \over 2!}g_{{j_{1}j_{2}}} ^{{i_{1}i_{2}}}b_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}- \prikker

Ved at sammenligne formlerne (9) og (4), finder vi følgende formel for den Gaussiske krumning:

(10)\qquad K^{{[m]}}={(-1)^{m} \over m!}g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{m}}}^{ {i_{1}i_{2}\dots i_{m}}}b_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2 }}}\dots b_{{i_{m}}}^{{j_{m}}}

Udtryk i form af Riemann-tensoren

For den skalære krumning af en hyperoverflade har vi følgende formel

(11)\qquad R=g^{{ik}}g^{{jl}}R_{{ijkl}}=2\sum _{{i<j}}k^{{(i)}}k^ {{(j)}}=2K^{{[2]}}

For at generalisere denne formel for højere magter, lad os prøve at erstatte produktet af to metriske tensorer i formel (11) med den fjerde rang metriske matryoshka-tensor:

(12)\qquad g^{{ijkl}}R_{{ijkl}}={\begin{vmatrix}g^{{ik}}&g^{{il}}\\g^{{jk}}&g^ {{jl}}\end{vmatrix}}R_{{ijkl}}=(g^{{ik}}g^{{jl}}-g^{{il}}g^{{jk}})R_ {{ijkl}}=2R=4K^{{[2]}}

For yderligere beregninger går vi videre til et lokalt kartesisk koordinatsystem i et af punkterne i manifolden P og orienterer det langs hyperfladens hovedretninger. Ved punkt P vil matrixen for den metriske tensor være enhed:

(13)\qquad g_{{ij}}=\delta _{{ij}}={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}

og derfor kan vi ikke numerisk skelne mellem kovariante og tilsvarende kontravariante komponenter af tensorer (øvre og nedre indeks). Riemann-tensoren på et punkt vil i en eller anden forstand være diagonal, nemlig dens ikke-nul-komponenter vil være ens: $P$

(14)\qquad R_{{ijij}}=-R_{{ijji}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}}\qquad (i\neq j)

og alle disse komponenter er lig med nul , hvor det andet indekspar ikke falder sammen med op til en permutation i parret. $R_{{ijkl}}$ $(kl)$ $(ij)$

Den venstre side af formel (12) er en lineær form af Riemann-tensoren, og komponenterne i den metriske matryoshka-tensor tjener som koefficienterne for denne form. En indlysende generalisering er overvejelsen af den bilineære form og højere gradsformer af komponenten af Riemann-tensoren. Lad os beregne formel (12) igen og på en sådan måde, at disse beregninger let kan generaliseres. Vi har, givet diagonaliteten af Riemann-tensoren:

(15)\qquad g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}=\sum _{{i,j}}\left(\sum _{{k, l}}g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}\right)=\sum _{{i,j}}\left(g_{{ij}} ^{{ij}}R_{{ij}}^{{ij}}+g_{{ji}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{ji}}\right)

Yderligere er de to udtryk på højre side af formel (15) de samme på grund af antisymmetrien i indekser inde i parret af både den metriske matryoshka-tensor og Riemann-tensoren. Derudover er den diagonale komponent af den metriske rededukke lig med én, fordi (i følgende formel udføres addition over de samme indekser ikke, og indeksene er forskellige): $i,j$

(16)\qquad g_{{ij}}^{{ij}}={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{i}&\delta _{j}^{i}\\\delta _ {i}^{j}&\delta _{j}^{j}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}=1

Under hensyntagen til ovenstående og formel (14), transformerer vi formel (15) yderligere:

(17)\qquad g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}=2\sum _{{i\neq j}}1\cdot k^{{( i)}}k^{{(j)}}=2\cdot 2!\sum _{{i<j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}=2\ cdot 2!K^{{[2]}}

Lad os nu gå videre til beregningen af følgende kvadratiske form:

(18)\qquad \Phi _{2}(R)=g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}}}^{{i_{1}j_{1}i_{2 }j_{2}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}}}^{{k_ {2}l_{2}}}

Koefficienterne for denne form er komponenterne i den ottende rang metriske matryoshka-tensor. Denne tensor har to grupper af indekser og er antisymmetrisk med hensyn til permutationen af indekser inden for disse grupper. Vi beregner på samme måde som formel (15).

(19)\qquad \Phi _{2}(R)=\sum _{{i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}}}\left(\sum _{{k_ {1},l_{1},k_{2},l_{2}}}g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}}}^{{i_{1}j_{ 1}i_{2}j_{2}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}} }^{{k_{2}l_{2}}}\right)=2^{2}\sum _{{i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}}}g_ {{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}}}^{{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}}}R_{{i_{1}j_{ 1}}}^{{i_{1}j_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}}}^{{i_{2}j_{2}}}

Lad os betegne indeksene som for enkelhed af notation: $i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}$ $i,j,k,l$

(19a)\qquad \Phi _{2}(R)=2^{2}\sum _{{i,j,k,l}}g_{{ijkl}}^{{ijkl}}R_{{ij }}^{{ij}}R_{{kl}}^{{kl}}=2^{2}4!\sum _{{i,j,k,l \over alle\;forskellige}}g_{ {ijkl}}^{{ijkl}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}

Alle fire indekser skal være parvis forskellige, da komponenterne i den metriske matryoshka-tensor er lig med nul, hvis der er to identiske indekser i samme gruppe. Den rigtige sum af formel (19a) indeholder de diagonale komponenter af den metriske matryoshka-tensor, som er lig med én (på samme måde som formel 16). $i,j,k,l$

(19b)\qquad \Phi _{2}(R)=2^{2}\sum _{{i,j,k,l \over alle\;forskellige}}k^{{(i)}}k ^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}=2^{2}\cdot 4!\sum _{{i<j<k<l}} k^{{(i)}}k^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}=2^{2}\cdot 4!K^{{ [fire]}}

Multiplikator 4! når man går over til den anden sum i formel (19a), opstod på grund af det faktum, at for et led i den rigtige sum, karakteriseret ved et fast sæt af fire forskellige tal , svarer til 4! = 24 lige store led i venstre sum, karakteriseret ved permutationer af disse fire tal. $i<j<k<l$

Formlerne (19), (19a), (19b) generaliseres let til former i højere grad. Således får vi en generel formel for at finde den Gaussiske krumning af pargraden : $2m$

(20)\qquad K^{{[2m]}}={1 \over 2^{m}(2m)!}g_{{k_{1}l_{1}\dots k_{m}l_{m} }}^{{i_{1}j_{1}\dots i_{m}j_{m}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}} }\cdots R_{{i_{m}j_{m}}}^{{k_{m}l_{m}}}

En alternativ afledning af den Gaussiske krumningsformel for parpotensen

Vi bruger følgende udtryk for Riemann-tensoren i form af den totale krumningstensor

(21)\qquad R_{{ij}}^{{kl}}=b_{i}^{k}b_{j}^{l}-b_{j}^{k}b_{i}^{l }

og start i formel (10) for at gruppere faktorerne med to, for eksempel startende fra de to første (her antager vi, at graden af Gaussisk krumning ikke er mindre end to ( ), og for at forenkle notationen udelader vi betegnelserne ): $2m$ $m\geq 1$ $m$

(22)\qquad (2m)!K=g_{{kl\dots }}^{{ij\dots }}b_{i}^{k}b_{j}^{l}\cdots =-g_{{ kl\dots }}^{{ji\dots }}b_{i}^{k}b_{j}^{l}\cdots

Den sidste transformation er gyldig på grund af antisymmetrien af den metriske matryoshka-tensor med hensyn til indekserne i den øvre gruppe. Skift derefter indeksene i det sidste udtryk : $i,j$

(23)\qquad (2m)!K=-g_{{kl\dots }}^{{ij\dots }}b_{j}^{k}b_{i}^{l}\cdots

Lad os nu tilføje ligning (22) og (23), mens vi tager højde for (21). Vi får, igen ved at ændre betegnelsen af indeksene:

(24)\qquad 2(2m)!K^{{[2m]}}=g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}\dots k_{m}l_{m}} }^{{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}\dots i_{m}j_{m}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{ 1}l_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{k_{2}}}\cdots b_{{i_{m}}}^{{k_{m}}}b_{{j_ {m}}}^{{l_{m}}}

Faktoren 2 på venstre side af ligning (24) fremkom som et resultat af gruppering af to faktorer . Det er klart, at vi på samme måde kan gruppere resten af faktorerne i par, så får vi på venstre side faktoren , og på højre - et udtryk, hvor kun Riemann-tensoren og den metriske matryoshka-tensor deltager, dvs. vi får formel (20). $b_{{i_{1}}}^{{k_{1}}}b_{{j_{1}}}^{{l_{1}}}$ $2^{m}$

Gaussisk krumning af ulige grad

Gaussisk krumning af en ulige grad er også relateret til Riemann-tensoren, men med mere komplekse formler end (20). Ud fra disse formler udtrykkes den Gaussiske krumning desuden tvetydigt.

Betydning af Gaussisk krumning

I begyndelsen blev definitionen af Gaussisk krumning kun givet for en hyperoverflade (formel 2, 3). Men formel (20), såvel som formler til at finde den Gaussiske krumning af en ulige grad, giver os mulighed for at udvide dette koncept til vilkårlige (abstrakte) manifolder . Således kan vi betragte de Gaussiske krumninger som skalære invarianter af Riemann-tensoren.

Manifoldens iboende krumning er fuldstændig beskrevet af Riemann-tensoren.

Den Gaussiske krumning som en skalar kan integreres over volumenet af hele manifolden (se artiklen Gaussiske integraler ). Integralet af K[n] er en topologisk invariant af en n - dimensional manifold (ændres ikke under kontinuerlig deformation af manifolden).

Brioschis formel for en todimensionel overflade

Den Gaussiske krumning af en todimensional overflade kan udtrykkes i form af koefficienterne for dens første kvadratiske form

ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}

og deres afledte af første og anden orden ifølge den såkaldte Brioschi - formel [1] :

K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{{vv}}+F_{{uv}}-{\frac {1}{2}}G_{{ uu))&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1} {2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}} E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{ u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}

I tilfældet (den såkaldte ortogonale parametrisering af overfladen) kan denne formel omskrives som $F=0$

K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG))))\venstre({\frac {\partial }{\partial u)){\frac {G_{u)){{\sqrt { EG))))+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}({\sqrt {EG}}}}\right).

Hvis overfladen er givet som en graf for en differentierbar funktion i et tredimensionelt euklidisk rum med metrisk , har denne formel formen $z=f(x,y)$ $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

K={\frac {f_{{xx}}\cdot f_{{yy}}-f_{{xy}}^{2}}{(1+f_{x}^{2}+f_{y}^ {2})^{2}}}

Hvis overfladen i tredimensionelt euklidisk rum med metrisk er givet ved ligningen , har formlen formen [2] $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ $f(x,y,z)=0$

K={\frac {[f_{z}(f_{{xx}}f_{z}-2f_{x}f_{{xz}})+f_{x}^{2}f_{{zz}}] [f_{z}(f_{{yy}}f_{z}-2f_{y}f_{{yz}})+f_{y}^{2}f_{{zz}}]-[f_{z} (-f_{x}f_{{yz}}+f_{{xy}}f_{z}-f_{{xz}}f_{y})+f_{x}f_{y}f_{{zz}} ]^{2}}{f_{z}^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+f_{z}^{2})^{2}}}

Hvis den første kvadratiske form er konformt ækvivalent med den euklidiske, det vil sige med en eller anden funktion og , har formlen for den Gaussiske krumning formen $E=G=e^{{u}}$ $u=u(x,y)$ $F=0$

K=-{\frac {1}{2e^{u}}}\Delta u,

hvor er Laplace-operatøren .

\Delta

Se også

Noter

↑ Brioschi Formula på Wolfram MathWorld . Hentet 24. juni 2020. Arkiveret fra originalen 2. maj 2021. (ubestemt)
↑ Gaussisk krumning på Wolfram MathWorld . Hentet 24. juni 2020. Arkiveret fra originalen 18. marts 2020. (ubestemt)

Litteratur

Pogorelov A. V. Differentialgeometri (6. udgave). Moskva: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Et kursus i differentialgeometri (3. udgave). M.-L.: GITTL, 1950.

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)