Windowed Fourier Transform

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. september 2018; checks kræver 15 redigeringer .

Den windowed Fourier-transformation er en variation af Fourier-transformationen defineret som følger:

F(t,\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau) W(\tau-t) e^{-i\omega \tau}\,d\tau,

hvor er nogle vinduesfunktioner . I tilfælde af en diskret transformation bruges vinduesfunktionen på samme måde: $W(\tau-t)$

F(m,\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f[n]w[nm]e^{-j \omega n}

Der er mange matematiske formler, der visuelt forbedrer frekvensspektret ved brud på vinduesgrænserne. Til dette anvendes transformationer: trekantet (Barlett), sinusvindue, sinus i terninger, sinus til 4. potens, Parzen, Welch, Gauss, Hanning, hævet cosinus (Hamming), Chebyshev, med pulsationer, Rosenfield, Blackman-Harris transformation, vandret og flad top. Der er også en teknik til overlappende vinduer, i hvilket tilfælde du normalt kan vælge, hvor mange prøver fra det forrige vindue, der skal beregnes som gennemsnit med det aktuelle vindue.

Ansøgning

I praksis er det ikke muligt at modtage et signal på et uendeligt interval, da der ikke er nogen måde at vide, hvad signalet var, før du tændte for enheden, og hvad det vil være i fremtiden. Begrænsning af analyseintervallet svarer til produktet af det oprindelige signal med en rektangulær vinduesfunktion. Resultatet af den windowed Fourier-transformation er således ikke spektret af det oprindelige signal, men spektret af produktet af signalet og vinduesfunktionen. Som et resultat er der en effekt kaldet spredning af signalspektret. Faren er, at sidesløjfer med højere amplitude kan maskere tilstedeværelsen af andre signaler med lavere amplitude.

For at bekæmpe spektrumspredning anvendes en glattere vinduesfunktion, hvis spektrum har en bredere hovedlap og et lavt niveau af sidelapper. Spektret opnået ved anvendelse af den vinduesbelagte Fourier-transformation er foldningen af spektret af det oprindelige ideelle signal og spektret af vinduesfunktionen.

Den forvrængning, der indføres ved brug af vinduer, er bestemt af vinduets størrelse og dets form. Der skelnes mellem følgende hovedegenskaber ved vinduesfunktioner: bredden af hovedsløjfen på niveauet -3 dB, bredden af hovedsløjfen ved nul-niveauet, det maksimale niveau af sidelapperne, dæmpningskoefficienten for vinduesfunktionen .

Den windowed Fourier-transformation bruges i kommunikation til syntese af frekvensfiltre, for eksempel i metoden til frekvensmultipleksing med flere bærebølger ved brug af banken (kammen) af frekvensfiltre FBMC [1] .

Tidsfrekvensopløsning

Ved brug af den vinduesbaserede Fourier-transformation er det umuligt at give god tid og frekvensopløsning på samme tid. Jo smallere vinduet er, jo højere tidsopløsning og jo lavere frekvensopløsning.

Akseopløsningen er konstant. Dette er uønsket for en række problemer, hvor information er ujævnt fordelt over frekvenser. I sådanne problemer, som et alternativ til den vinduesbelagte Fourier-transformation, kan wavelet -transformationen anvendes , hvis tidsmæssige opløsning øges med frekvensen (frekvensen falder).

Typer af vinduesfunktioner

Rektangulært vindue

w(n)=\venstre\{ \begin{matrix} 1 , & n\in[0,N-1] \\ 0, & n\notin[0,N-1]\\ \end{matrix} \ ret.

Opnås automatisk, når prøven er begrænset til N prøver. Maksimal frekvensgang sidesløjfer: -13 dB.

Hanns (Hannings) vindue

w(n) = 0,5\; \left(1 - \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) \right)

hvor N er vinduets bredde. Sidelobe niveau: -31,5 dB.

Hamming vindue

w(n)=0,53836 - 0,46164\; \cos \left ( \frac{2\pi n}{N-1} \right)

Sidelobe niveau: -42 dB.

Blackman vindue

w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) + a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \ ret)

a_{0}={\frac {1-\alpha }{2));\quad a_{1}={\frac {1}{2));\quad a_{2}={\frac {\alpha }{2}}

Sidelobe niveau: -58 dB (α=0,16).

Kaiser-vindue

w(n) = \frac { | I _0 \left ( \beta \sqrt {1 - \left ( \frac{2n-N+1}{N-1} \right )^2} \right ) | } { | I_0 (\beta) | }

hvor er den modificerede Bessel-funktion af den første slags nulte orden; er koefficienten, der bestemmer brøkdelen af energi koncentreret i hovedlappen af vinduesfunktionens spektrum . Jo mere , jo større andel af energi, og jo bredere er hovedlappen, og jo lavere niveau er sidelapperne. I praksis bruges værdier fra 4 til 9. $I_0$ $\beta$ $\beta$

Implementering

For den vinduesbelagte Fourier-transformation i digital form kan ikke kun vægtningen af hver digital prøve i foldningsdannelsesprocessen, men også den ækvivalent vægtede summering af Fourier-transformationssvarene [1] bruges .

For eksempel kan vægtningen af Hann (Hanning) vinduet og Hamming vinduet repræsenteres som:

w={\frac {U_{1}+\beta U_{2}+U_{3}}{\beta }}

hvor , , er de indledende svar af Fourier-transformationen, er resultatet af den windowed transformation, svarer til Hann (Hanning) vinduet, - til Hamming -vinduet [1] [2] . $U_{1}$ $U_{2}$ $U_{3}$ $w$ $\beta=2$ $\beta =0.53836/0.23082$

Implementeringen af den specificerede vægtning udføres i den glidende vinduestilstand på rækken af svar fra Fourier-transformationen.

Se også

Noter

↑ 1 2 3 Slyusar V.I. Moderne trends inden for radiorelækommunikation. //Teknologier og kommunikationsmidler. - 2014. - Nr. 4. - S. 32 - 36. [https://web.archive.org/web/20200110062028/https://slyusar.kiev.ua/TSS_4_2014_1.pdf Arkiveret kopi af 10. januar 2020 på Wayback-maskine ]
↑ Slyusar V. I., Korolev N. A. Vashchenko P. A. En metode til at øge frekvensselektiviteten af cellulære kommunikationssystemer ved hjælp af digital beamforming. // Sammendrag af rapporter XIV NTK. Del 1. - Zhitomir: ZHVIRE. - 2004. - S. 77. [1] Arkivkopi dateret 14. januar 2020 på Wayback Machine

Eksterne links

Nogle vinduesfunktioner og deres parametre Arkiveret 8. maj 2017 på Wayback Machine
Brug af vinduesfunktioner i problemer med digital spektralanalyse. Eksempler og anbefalinger Arkiveret 17. februar 2017 på Wayback Machine