Kanonisk konvertering

I Hamiltonsk mekanik er en kanonisk transformation (også en kontakttransformation ) en transformation af kanoniske variabler, der ikke ændrer den generelle form af Hamiltons ligninger for nogen Hamiltonianer. Kanoniske transformationer kan også indføres i kvantetilfældet, da de ikke ændrer formen på Heisenberg-ligningerne . De gør det muligt at reducere et problem med en bestemt Hamiltonianer til et problem med en enklere Hamiltonianer i både det klassiske og kvantetilfælde. Kanoniske transformationer danner gruppen .

Definition

Transformationer

Q_{i}=Q_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots,p_{s},t),

P_{i}=P_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots,p_{s},t),

j=1,\ldots ,s,

, hvor er antallet af frihedsgrader ,

s

{\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{s};P_{1},\ldots,P_{s})}{\partial (q_{1},\ldots,q_ {s};q_{1},\ldots ,q_{s})}}\neq 0,

siges at være kanonisk , hvis denne transformation oversætter Hamilton-ligningerne med Hamilton- funktionen : $H$

{\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},

{\dot {q}}_{i}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},

ind i Hamilton-ligningerne med Hamilton-funktionen : ${\mathcal {H}}$

{\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial Q_{i}}},

{\dot {Q}}_{i}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial P_{i}}}.

Variablerne og kaldes henholdsvis nye koordinater og momenta, mens og kaldes gamle koordinater og momentum. $Q_{i}$ $P_{i}$ $q_{i}$ $p_{i}$

Generering af funktioner

Fra invariansen af Poincaré-Cartan-integralet og Lee Hua-chungs sætning om dets unikke karakter kan man opnå:

\sum \limits _{i=1}^{s}P_{i}dQ_{i}-{\mathcal {H}}dt-c\left(\sum \limits _{i=1}^ {s}p_{i}dq_{i}-Hdt\right)=-dF,

hvor konstanten kaldes valensen af den kanoniske transformation, er den totale differential af en eller anden funktion (det antages, at og er også udtrykt i form af de gamle variabler). Det kaldes den genererende funktion af den kanoniske transformation. Kanoniske transformationer er en-til-en bestemt af genereringsfunktionen og valensen. $c\neq 0$ $dF$ $F(q_{1},\ldots,q_{s},p_{1},\ldots,p_{s},t)$ $P_{i}$ $Q_{i}$

Kanoniske transformationer, som kaldes univalente . Da de forskellige for en given genererende funktion ændrer udtrykkene for nye koordinater gennem de gamle, og også for Hamiltonianeren kun ved en konstant, betragtes der ofte kun univalente kanoniske transformationer. $c=1$ $c$

Den genererende funktion kan ofte udtrykkes ikke i form af de gamle koordinater og momenta, men i form af to af de fire variable , og valget er uafhængigt for hver . Det viser sig at være praktisk at udtrykke det på en sådan måde, at for hver variabel er ny, og den anden er gammel. Der er et lemma om, at dette altid kan lade sig gøre. En funktions differentiale har en eksplicit form af en total differential, når den udtrykkes i form af gamle og nye koordinater . Når du bruger andre koordinatpar, er det praktisk at gå videre til funktioner, hvis differentiale vil have en eksplicit form af den samlede differentiale for de tilsvarende variable. For at gøre dette skal du lave Legendre-transformationer af den originale funktion . De resulterende funktioner kaldes de genererende funktioner af den kanoniske transformation i de tilsvarende koordinater. I det tilfælde, hvor valget af koordinater er det samme for alle , er der fire muligheder for at vælge variable, de tilsvarende funktioner er normalt angivet med tal: ${\displaystyle p_{i},q_{i},Q_{i},P_{i))$ $i=1,\cdots ,s$ $jeg$ $F$ $F=F(q,p(q,Q,t),t)=F_{1}(q,Q,t)$ $F$ $jeg$

F_{1}(q,Q,t),\;F_{2}(q,P,t),\;F_{3}(p,Q,t),\;F_{4}( p,P,t),

hvor for nemheds skyld er vektorerne for de gamle koordinater og momenta , , introduceret, og tilsvarende for de nye koordinater og momenta. Sådanne genereringsfunktioner omtales som genererende funktioner af henholdsvis 1., 2., 3. eller 4. type. $q=(q_{1},\cdots ,q_{2})$ $p=(p_{1},\cdots ,p_{2})$

Genereringsfunktion af 1. type

Lad være en vilkårlig ikke-degenereret funktion af gamle koordinater, nye koordinater og tid: $F_{1}(q,Q,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial q\,\partial Q}}\right)\neq 0,

derudover gives et vist tal , så definerer parret en kanonisk transformation i henhold til reglen $c\neq 0$ $(F_{1},c)$

p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{1}}{\partial q)),

P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}.

Forbindelse med den oprindelige genereringsfunktion:

F_{1}(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).

Den kanoniske transformation kan opnås med en funktion som denne, hvis Jacobian er ikke-nul :

\det \left({\frac {\partial Q}{\partial p))\right)\neq 0.

Kanoniske transformationer suppleret med denne betingelse kaldes gratis .

Genereringsfunktion af 2. type

Lad være en vilkårlig ikke-degenereret funktion af gamle koordinater, nye impulser og tid: $F_{2}(q,P,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial q\,\partial P}}\right)\neq 0.

derudover gives et vist tal , så definerer parret en kanonisk transformation i henhold til reglen $c\neq 0$ $(F_{2},c)$

p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{2}}{\partial q)),

Q={\frac {\partial F_{2}}{\partial P)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}.

Forbindelse med den oprindelige genereringsfunktion:

F_{2}(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).

Den kanoniske transformation kan opnås med en funktion som denne, hvis Jacobian er ikke-nul :

\det \left({\frac {\partial P}{\partial p))\right)\neq 0.

Genererende funktion af den 3. type

Lad være en vilkårlig ikke-degenereret funktion af gamle momenta, nye koordinater og tid: $F_{3}(p,Q,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial p\,\partial Q}}\right)\neq 0.

derudover gives et vist tal , så definerer parret en kanonisk transformation i henhold til reglen $c\neq 0$ $(F_{3},c)$

q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{3}}{\partial p)),

P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{3}}{\partial t}}.

Forbindelse med den oprindelige genereringsfunktion:

F_{3}(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)-cpq(p,Q,t).

Den kanoniske transformation kan opnås med en funktion som denne, hvis Jacobian er ikke-nul :

\det \left({\frac {\partial Q}{\partial q))\right)\neq 0.

Genereringsfunktion af 4. type

Lad være en vilkårlig ikke-degenereret funktion af gamle impulser, nye impulser og tid: $F_{4}(p,P,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{4}}{\partial p\,\partial P}}\right)\neq 0.

derudover gives et vist tal , så definerer parret en kanonisk transformation i henhold til reglen $c\neq 0$ $(F_{4},c)$

q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{4}}{\partial p)),

Q={\frac {\partial F_{4)){\partial P)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{4}}{\partial t}}.

Forbindelse med den oprindelige genereringsfunktion:

F_{4}(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)-cpq(p ,P,t).

Den kanoniske transformation kan opnås med en funktion som denne, hvis Jacobian er ikke-nul :

\det \left({\frac {\partial P}{\partial q}}\right)\neq 0.

Eksempler

1. Identitetstransformation

Q=q,

P=p,

{\mathcal {H}}=H

kan fås hos:

F_{2}=qP,\quad c=1.

2. Hvis du indstiller

F_{1}=-\beta qQ,\quad c=-\alpha \beta ,

så vil den resulterende transformation se ud:

Q=\alpha p,

P=\beta q.

{\mathcal {H}}=-\alpha \beta H

Således er opdelingen af kanoniske variable i koordinater og momenta betinget fra et matematisk synspunkt.

3. Transformer inversion

Q=-q,

P=-p,

{\mathcal {H}}=H

kan fås hos:

F_{2}=-qP,\quad c=1.

4. Punkttransformationer (transformationer, hvor de nye koordinater kun udtrykkes i form af de gamle koordinater og tid, men ikke de gamle impulser.)

De kan altid indstilles med:

F_{2}=\varphi (q,t)P,\quad c=1,

derefter

Q=\varphi(q,t).

Især hvis

F_{2}=(Aq,P),\quad c=1,

hvor er en ortogonal matrix : $EN,$

A^{T}A=E,

derefter

Q=Aq,

P=A^{T}s.

Funktionen fører også til punkttransformationer:

F_{3}=\phi (Q,t)p,\quad c=1,

derefter

q=-\phi (Q,t).

Især funktionen

F_{3}=-p_{x}\rho \cos \varphi -p_{y}\rho \sin \phi -p_{z}z,\quad c=1,

indstiller overgangen fra kartesiske til cylindriske koordinater .

5. Lineære transformationer af systemvariable med én frihedsgrad: $(p,q)$

Q=\alpha q+\beta p

P=\gamma q+\delta p

er en univalent kanonisk transformation for

\alpha \delta -\beta \gamma =1,

genererende funktion:

F=-\beta \gamma pq-{\frac {1}{2}}\alpha \gamma q^{2}-{\frac {1}{2}}\beta \delta p^{2 }.

Sådanne transformationer danner en speciel lineær gruppe . $SL(2,\mathbb {R} )$

Handling som en genererende funktion

Handling udtrykt som en funktion af slutpunktets koordinater og momenta

{\mathcal {S}}=\int pdq-Hdt

definerer en kanonisk transformation af det Hamiltonske system.

Poisson og Lagrange parenteser

En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at transformationer kan være kanoniske kan skrives ved hjælp af Poisson-parenteser :

\lbrace P_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =0,

\lbrace Q_{i}(q,p,t),Q_{k}(q,p,t)\rbrace =0,

\lbrace Q_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =c\delta _{ik}.

Derudover er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for transformationens kanonicitet opfyldelsen af vilkårlige funktioner og betingelserne: $f(Q,P,t)$ $g(Q,P,t)$

\lbrace f,g\rbrace _{pq}=c\lbrace f,g\rbrace _{PQ},

hvor og er Poisson-parenteserne i henholdsvis de gamle og nye koordinater. ${\displaystyle \lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{pq))$ ${\displaystyle \lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{PQ))$

I tilfælde af univalente kanoniske transformationer:

\lbrace f,g\rbrace _{pq}=\lbrace f,g\rbrace _{PQ}

og Poisson-parenteserne siges at være invariante under sådanne transformationer. Nogle gange defineres kanoniske transformationer på denne måde (i dette tilfælde betragtes kun univalente transformationer som kanoniske transformationer).

På samme måde kan en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for transformationers kanonicitet skrives ved hjælp af Lagrange-parenteser :

[p_{i},p_{k}]=0,

[q_{i},q_{k}]=0,

[q_{i},p_{k}]=c\delta _{ik}.

Litteratur

Arnold VI Klassisk mekaniks matematiske metoder. - 5. udg., stereotypisk. - M. : Redaktionel URSS, 2003. - 416 s. - 1500 eksemplarer. — ISBN 5-354-00341-5 .
Bogen i det elektroniske bibliotek på Mekhmat fra Moscow State University
Landau L. D., Lifshitz EM §46. Kanoniske transformationer. Kapitel VII. Kanoniske ligninger. // Mekanik. - 5. udg., stereotypisk. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 224 s. - 3000 eksemplarer. - ISBN 5-9221-0055-6 . Bogen i det elektroniske bibliotek på Mekhmat fra Moscow State University
Gantmakher F. R. Forelæsninger om analytisk mekanik. 3. udg. - M. : Fizmatlit, 2005. - 264 s. — ISBN 5-9221-0067-X . .
Olkhovsky II Kursus i teoretisk mekanik for fysikere. 4. udg. - Sankt Petersborg. : Lan, 2009. - 576 s. - ISBN 978-5-8114-0857-3 . .