Permutationsmatrix

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. marts 2020; checks kræver 3 redigeringer .

En permutations- (eller permutations- ) matrix er en kvadratisk binær matrix , i hver række og kolonne, hvoraf der er præcis ét identitetselement. Hver permutationsmatrix af størrelse er en matrixrepræsentation af en permutation af elementerne. $n\ gange n$ $n$

Definition

Lad en permutation af elementer gives: $\sigma$ $n$

{\begin{pmatrix}1&&2&&\ldots &&n\\\sigma (1)&&\sigma (2)&&\ldots &&\sigma (n)\end{pmatrix))

Den tilsvarende permutationsmatrix er en matrix af formen: $n\ gange n$

P_{\sigma }={\begin{pmatrix}{\mathbf {e}}_{{\sigma (1)}}\\{\mathbf {e}}_{{\sigma (2)))\\ \vdots \\{\mathbf {e}}_{{\sigma (n)}}\end{pmatrix}},

hvor er en vektor af dimension , hvis th element er lig med 1, og resten er lig med nul. ${\mathbf {e}}_{{i}}$ $n$ $jeg$

Eksempel

Permutation:

\pi ={\begin{pmatrix}1&&2&&3&&4\\4&&2&&1&&3\end{pmatrix}}

Tilsvarende matrix:

P={\begin{pmatrix}0&&0&&0&&1\\0&&1&&0&0\\\1&&0&&0&&0\\0&&0&&1&&0\\\end{pmatrix}}

Egenskaber

For alle to permutationer har deres matricer egenskaben: $\sigma ,\pi$ $P_{\pi }P_{\sigma }=P_{\sigma \circ \pi }.$
Permutationsmatricer er ortogonale , så for hver sådan matrix er der en invers: $P_{\sigma }^{-1}=P_{\sigma }^{T}.$
Multiplicering af en vilkårlig matrix med en permutationsmatrix bytter dens kolonner i overensstemmelse hermed. $M$
Multiplicer en permutationsmatrix med en vilkårlig en bytter rækker ind . $M$ $M$
Determinanten for en permutationsmatrix er lig med pariteten af permutationen. Determinanten for en lige permutation er 1, determinanten for en ulige permutation er -1.