Kontinuitetsligning

Kontinuitetsligninger er en (stærk) lokal form for bevaringslove . Følgende er eksempler på kontinuitetsligninger, der udtrykker den samme idé om en kontinuerlig ændring i en vis mængde.

Differentialform

Differentialformen af den generelle kontinuitetsligning er:

${\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma ,$

hvor

\nabla \cdot

- divergens ,

\rho

- mængde pr. volumenenhed (mængdetæthed )

q

q

t

- tid,

j

er mængdens fluxtæthed (se nedenfor),

q

\sigma

- tillæg pr volumenhed pr tidsenhed. Medlemmer, der tilføjer ( ) eller fjerner ( ) , kaldes henholdsvis "kilder" og "dræn".

q

\sigma >0

\sigma <0

q

Denne generelle ligning kan bruges til at udlede enhver kontinuitetsligning, fra den simple kontinuitetsligning til Navier-Stokes-ligningen.

Hvis er en bevaret størrelse , der ikke kan skabes eller ødelægges (f.eks. energi ), så har , og kontinuitetsligningen formen $q$ $\sigma =0$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {j} =0.

Elektromagnetisme

I elektrodynamik er kontinuitetsligningen afledt af Maxwells ligninger . Den siger, at divergensen af strømtæthed er lig med ændringen i ladningstæthed med et minustegn,

\operatørnavn {div} \mathbf {j} +{\partial \rho \over \partial t}=0.

Konklusion

Ampères lov siger:

\operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t)).

Tager vi divergensen fra begge dele af udtrykket, får vi

\operatørnavn {div} \operatørnavn {rot} \mathbf {H} =\operatørnavn {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial t))\operatørnavn {div} \mathbf {D} ,

men rotordvergensen er således nul

\operatørnavn {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial t))\operatørnavn {div} \mathbf {D} =0.

Ved Gauss' sætning ,

\operatørnavn {div} \mathbf {D} =\rho .

Ved at indsætte dette udtryk i den foregående ligning opnår vi den ønskede kontinuitetsligning.

Fortolkning

Strømtæthed er bevægelsen af ladninger. Kontinuitetsligningen siger, at hvis ladningen forlader differentialvolumenet (dvs. strømtæthedsdivergensen er positiv), så falder mængden af ladning inde i volumenet. I dette tilfælde er ladningstæthedsstigningen negativ.

Bølgeteori

I teorien om bølger udtrykker kontinuitetsligningen loven om bevarelse af energi i et elementært volumen, hvor bølger af enhver art udbreder sig. Dens differentielle form

\operatornavn {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial w}{\partial t))=0,

hvor er energifluxtæthedsvektoren i punktet med koordinaterne på tidspunktet , er energitætheden. ${\mathbf {j}}={\mathbf {j}}(x,y,z,t)$ $\venstre(x,y,z\højre)$ $t$ $w=w(x,y,z,t)$

Konklusion

Per definition er energifluxtæthedsvektoren en vektor, hvis modul er lig med den energi, der overføres gennem en enhedsareal vinkelret på retningen for energioverførsel pr. tidsenhed, det vil sige , og dens retning falder sammen med retningen for energioverførsel. Derefter strømmer energien per tidsenhed fra et eller andet makroskopisk volumen V, $j={\frac {dW}{dtdS_{{\bot ))))$

\oint \limits _{S}\mathbf {j} \,d\mathbf {S} ={\frac {dW_{\text{out}}}{dt}}.

Ifølge loven om bevarelse af energi, , hvor er energien indeholdt i volumenet V . Per definition er energitætheden energien af en enhedsvolumen, så er den samlede energi indeholdt i et givet volumen lig med ${\frac {dW_{\text{out}}}{dt}}=-{\frac {dW_{\text{in}}}{dt}}$ $W_{\text{in))$

W_{\text{in}}=\int \limits _{V}w\,dV.

Så tager udtrykket for energifluxen formen

\oint \limits _{S}\mathbf {j} \,d\mathbf {S} =-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}w\,dV=- \int \limits _{V}{\frac {\partial w}{\partial t))\,dV.

Ved at anvende Gauss-Ostrogradsky-formlen til venstre side af udtrykket får vi

\int \limits _{V}\operatørnavn {div} \mathbf {j} \,dV=-\int \limits _{V}{\frac {\partial w}{\partial t))\, dV.

På grund af vilkårligheden af det valgte volumen konkluderer vi, at integranderne er ens, hvorfra vi får kontinuitetsligningens differentialform.

Hydrodynamik og mekanik af et deformerbart fast stof

Navnevariationer

I den hydrodynamiske litteratur , for eksempel, i værker af Zhukovsky [1] , Chaplygin [2] , Kochin [3] , Loitsyansky [4] kaldes ligningen, der udtrykker loven om bevarelse af masse, kontinuitetsligningen ( kontinuitetsbetingelse ) , mens der i den fysiske litteratur for eksempel i løbet af Landau og Lifshitz [5] , Zel'dovich og Raiser [6] , russisk oversættelse af Feynmans kursus [7] , bruges udtrykket kontinuitetsligning . I den gamle litteratur var der også navnet på kontinuitetsligningen [8] . Alle tre navne er forskellige oversættelser af navnet på ligningen introduceret af Euler [9] på vesteuropæiske sprog ( engelsk continuity equation , fransk equation de continuité og lignende).

Forskellige former for skrivning

Ligningen udtrykker loven om bevarelse af masse i et elementært volumen, det vil sige forholdet mellem den rumlige ændring i massestrømmen af en væske eller gas og hastigheden af ændring i tæthed over tid. Dens differentielle form

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operatørnavn {div} \rho \mathbf {v} ={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\rho \operatørnavn {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \operatørnavn {grad} \rho =0,

hvor er massefylden af væsken (eller gassen), er væskens (eller gassens) hastighedsvektor i punktet med koordinater til tiden . $\rho =\rho (x,y,z,t)$ $\mathbf {v} =\mathbf {v} (x,y,z,t)$ $(x,y,z)$ $t$

Vektoren kaldes væskestrømstætheden . Dens retning falder sammen med væskestrømmens retning, og den absolutte værdi bestemmer mængden af stof, der strømmer per tidsenhed gennem en enhedsareal placeret vinkelret på hastighedsvektoren. $\mathbf {j} =\rho \mathbf {v}$

Til homogene inkompressible væsker . Derfor bliver ligningen $\rho ={\text{const))$

\operatørnavn {div} \mathbf {v} =0,

hvorfra følger hastighedsfeltets solenoidalitet .

For strømninger i kanaler (strømme i rør, blodkar osv.) kan kontinuitetsligningen skrives i form af gennemsnitsværdier over kanaltværsnittet. For eksempel, for et flow i en kanal med en kendt afhængighed af tværsnitsarealet af koordinaten langs kanalen, har den (omtrentlige) kontinuitetsligning formen $S$ $x$ $S=S(x)$

S{\frac {\partial \rho }{\partial t))+{\frac {\partial }{\partial x))(\rho vS)=0,

hvor og er gennemsnitsværdierne af tætheden og den aksiale projektion af hastigheden over tværsnittet. Her antages det, at kanalens tværsnitsareal ændrer sig ret langsomt (den såkaldte hydrauliske tilnærmelse ), hvilket gør det muligt, når man udleder ligningen, at erstatte den gennemsnitlige værdi fra produktet med produktet fra gennemsnittet. I det særlige tilfælde af en stationær strømning giver dette kontinuitetsligningen i formen $\rho =\rho (x,t)$ $v=v(x,t)$

\rho vS={\text{const)),

som har den åbenlyse fysiske betydning af massestrømmens konstanthed, og i tilfælde af et medium med konstant tæthed ligningen

vS={\text{const)),

udtrykker volumenstrømmens konstanthed.

En lignende struktur har kontinuitetsligningen for strømme i kanaler med en fri overflade, som er meget brugt i hydraulik til at beskrive kanalstrømme (strømme i floder, kanaler osv., bevægelsen af mudderstrømme, laviner osv.), for at beskrive strømme i film osv. I det enkleste tilfælde af væskestrøm med konstant tæthed i en kanal med et rektangulært tværsnit har den nøjagtige kontinuitetsligning (nogle gange kaldet Saint-Venant-ligningen ) formen

{\frac {\partial h}{\partial t))+{\frac {\partial }{\partial x))(vh)=0,

hvor er væskens dybde, er væskens gennemsnitlige hastighed over tværsnittet. $h=h(x,t)$ $v=v(x,t)$

I mekanikken for et deformerbart fast legeme er det ofte praktisk at skrive kontinuitetsligningen i form af en forbindelse mellem den initiale og endelige tæthed af en materialepartikel [10] . For eksempel, i tilfælde af små stammer, har kontinuitetsligningen formen

\rho =\rho _{0}(1-\operatørnavn {div} \mathbf {w} ),

hvor , er henholdsvis den indledende og endelige tæthed af materialepartiklen, og er forskydningsvektoren (ved små forskydninger og deformationer kan divergensen tages med samme grad af nøjagtighed både i Euler- og Lagrangianske variable). $\rho _{0}$ $\rho$ $\mathbf {w}$

Kontinuitetsligningen har en universel karakter og er gyldig for ethvert kontinuerligt medium (uanset dets rheologi ). Der er generaliseringer af kontinuitetsligningen for bevægelser af multifase [11] og multikomponent [10] kontinuerlige medier.

Historisk baggrund

I særlige tilfælde, for eksempel for aksesymmetriske strømme af en inkompressibel væske, blev kontinuitetsligningen (i form af en partiel differentialligning ) først opnået af d'Alembert , i en generel form af Euler i 1750'erne. I form af en algebraisk relation, der udtrykker (i tilfælde af en inkompressibel væske) konstanten af volumenstrømmen langs strømrøret , blev kontinuitetsligningen først offentliggjort af Castelli i første halvdel af det 17. århundrede [12] .

Kvantemekanik

I ikke-relativistisk kvantemekanik fører bevarelsen af sandsynlighed også til en kontinuitetsligning . Lad være sandsynligheden tæthed , så vil ligningen blive skrevet i formen $P(x,t)$

\operatorname {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial t))P(x,t)=0,

hvor er sandsynligheden aktuel . $j$

Noter

↑ Zhukovsky N. E. Teoretisk mekanik. - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 691. - 812 s.
↑ Chaplygin S. A. Udvalgte værker om mekanik og matematik. - M. : GITTL, 1954. - S. 11. - 568 s.
↑ Kochin N. E., Kibel I. A., Rose N. V. Theoretical hydromechanics / Ed. I. A. Kibelya. - M. : GITTL, 1955. - T. 1. - S. 23, 24. - 560 s.
↑ Loitsyansky L. G. Mekanik af væske og gas. - M. : Nauka, 1970. - S. 79. - 904 s.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Hydrodynamics / Theoretical Physics. I 10 bind - M . : Nauka, 1986. - T. 6. - S. 15. - 736 s.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Fysik af stødbølger og hydrodynamiske fænomener ved høje temperaturer. - M. : Nauka, 1966. - S. 14. - 688 s.
↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Forelæsninger om fysik / Pr. fra engelsk. udg. Ya. A. Smorodinsky. - M .: Mir, 1966. - T. 7. Kontinuerlige mediers fysik. - S. 236. - 292 s.
↑ "Vi bruger her, efter A. A. Fridman , udtrykket "kontinuitetsligning". I russisk litteratur er udtrykket "kontinuitetsligning" også almindeligt" ( Frank F., Mises R. Differential and integral equations of matematisk fysik / Oversat fra tysk under redaktion af L. E. Gurevich. - L.-M .: ONTI. Glavn udg., almen faglitteratur, 1937. - T. 2. - S. 348 (red. anm.) - 1000 s. ).
↑ "Den resulterende ligning repræsenterer betingelsen for volumen-uvariabilitet. Euler kaldte det væskekontinuitetstilstanden ” (Zhukovsky, s. 691).
↑ 1 2 Sedov L.I. Kontinuummekanik. - M. : Nauka, 1970. - T. 1. - 492 s.
↑ Nigmatulin R.I. Fundamentals of mechanics of heterogene media. — M .: Nauka, 1978. — 336 s.
↑ Nogle gennemgangsartikler og primære kilder om historien om fluidmekaniske ligninger Arkiveret 3. december 2013 på Wayback Machine .

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner