Lebesgue dimension

Lebesgue-dimensionen eller topologisk dimension er dimensionen defineret ved hjælp af dækninger, den vigtigste invariant af det topologiske rum . Lebesgue-dimensionen af et rum er normalt betegnet med . $x$ $\dim X$

Definition

For metriske mellemrum

For et kompakt metrisk rum er Lebesgue-dimensionen defineret som det mindste heltal , der har den egenskab, at der for enhver , eksisterer en endelig åben - dækning - der har multiplicitet ; $x$ $n$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$ $x$ $\leqslant n+1$

Hvori

$\varepsilon$ -et dæksel af et metrisk rum er et dæksel, hvis alle elementer har diameter , og $<\varepsilon$
multipliciteten af en endelig dækning af et rum er det største heltal, således at der findes et punkt i rummet indeholdt i elementerne i dette dæksel. $x$ $k$ $x$ $k$

For topologiske rum

For et vilkårligt normalt (især metrizable ) rum er Lebesgue-dimensionen det mindste heltal , således at der for hvert endeligt åbent dæksel af rummet eksisterer et (endeligt åbent) dæksel af multiplicitet indskrevet i det . $x$ $n$ $x$ $n+1$

Et dæksel siges at være indskrevet i et dæksel, hvis hvert element i dækslet er en delmængde af mindst ét element i dækslet . ${\mathcal P}$ $\mathcal Q$ ${\mathcal P}$ $\mathcal Q$

Eksempler

Nuldimensionelle rum: etpunktsrum, diskret rum , Kantorsæt .
- Se også nuldimensionelt rum .
Endimensionelle rum: cirkel , Sierpinski-trekant , Sierpinski- tæppe , Menger-svamp
- Se også Urysohn-kurven

Egenskaber

Ulighed $\dim(X\ gange Y)\leqslant \dim X+\dim Y.$

er opfyldt under et af følgende krav til topologiske rum og :

x

Y

metrizability,
kompakthed,
lokal kompakthed og parakompakthed.

Der er eksempler på par af rum, for hvilke denne ulighed er krænket; [1] denne ulighed kan også vise sig at være streng, for eksempel for nogle par af Pontryagin-overflader .

Lebesgue-dimensionen af et metrisk rum overstiger ikke dens Hausdorff-dimension .
- Desuden falder Lebesgue-dimensionen af et metriserbart adskilleligt rum sammen med infimum af Hausdorff-dimensionerne med hensyn til alle metrikker på . $x$ $x$
Ostrands farvede dimensionssætning: Et normalt rum har en dimension, hvis og kun hvis der for et lokalt endeligt åbent dæksel af rummet findes et indskrevet dæksel , der består af underfamilier , således at hver underfamilie består af usammenhængende mængder. $x$ $\dim X\leqslant n$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A))))$ $x$ ${\mathcal V}$ $n+1$ ${\mathcal {V}}_{1},{\mathcal {V}}_{2},\dots ,{\mathcal {V}}_{n+1}$ ${\mathcal {V}}_{i}$

Historie

Først introduceret af Henri Lebesgue . Han formodede, at dimensionen af en dimensionel terning er . Det beviste Leutzen Brouwer for første gang. En nøjagtig definition af en invariant (for klassen af metriske kompakte sæt) blev givet af Pavel Samuilovich Uryson . $n$ $n$ $\dim X$

Noter

↑ Wage, Michael L. Dimensionen af produktrum // Proc. Nat. Acad. sci. USA. - 1978. - T. 75 , nr. 10 . — S. 4671–4672 . - doi : 10.1073/pnas.75.10.4671 .

Litteratur

Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Introduktion til dimensionsteorien. Moskva: Nauka, 1973

fraktaler
Egenskaber	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion selv-lighed
De enkleste fraktaler	Fern Barnsley Kantor sæt dragekurve Koch kurve Svamp Menger Sierpinski tæppe Sierpinski trekant Rumudfyldende kurve
mærkelig attraktion	Multifraktal
L-system	Rumudfyldende kurve
Bifurkations fraktaler	Julia sæt Lyapunov fraktal Mandelbrot sæt Newtons pools
Tilfældige fraktaler	Brownsk bevægelse brunt træ fraktal overflade Perkolation teori
Mennesker	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
relaterede emner	Hvor lang er Storbritanniens kyst? » Kystlinjeparadoks

Dimension af rummet
Rum efter dimension	Nuldimensional endimensionel 2D 3D fire dimensionelle femdimensional Seksdimensional Syvdimensional oktal Ni-dimensional n-dimensionelle Negativ dimension
Polytoper og figurer	Simplex hyperkube tesseract Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkube Cross-polytope hypersfære
Typer af rum	et endeligt dimensionelt rum Euklidisk rum affint rum projektivt rum Gratis modul Manifold Dimension af en algebraisk variabel rumtid
Andre dimensionelle begreber	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Fraktionel dimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader af frihed
Matematik