Dimensionsteori

Dimensionsteori er en del af den generelle topologi , hvor dimensioner studeres - numeriske topologiske invarianter af en bestemt type. Dimensionen defineres på den ene eller anden måde på en naturlig måde på en bred klasse af topologiske rum. Desuden, hvis der er et polyeder (især en manifold ), falder dimensionen sammen med antallet af dimensioner i betydningen elementær geometri. $x$ $x$

Dimensionstyper

Induktiv dimension - store og små induktive dimensioner og $\left(\operatørnavn {Ind}\right.$ $\venstre.\operatørnavn {ind}\højre)$
Lebesgue dimension $\left(\operatørnavn {dim}\right)$
Homologisk dimension
Kohomologisk dimension

Historie

Den første generelle definition af dimension (stor induktiv dimension ) blev givet af Brouwer (1913), baseret på ideen om Poincaré . I 1921 nåede Menger og Uryson , uafhængigt af Brouwer og af hinanden, frem til en lignende definition (den såkaldte lille induktive dimension ). En helt anden tilgang til dimensionsbegrebet stammer fra Lebesgue . $\operatørnavn {Ind}$ $\operatørnavn {ind}$

Hausdorff-dimensionen er en relateret definition for metriske rum . Denne definition blev givet af Hausdorff i 1919 .

Definition ifølge Uryson

En topologisk figur er nuldimensional, hvis der ikke er nogen forbundet figur, der indeholder mere end et punkt i den. Et sæt har dimension nul, hvis nogen af dets punkter har et vilkårligt lille relativ naboskab med en tom grænse [1] .

Et sæt har dimension et, hvis det ikke er nuldimensionelt, men ethvert af dets punkter har et vilkårligt lille relativ naboskab, hvis grænse er nuldimensional. Et sæt har dimension, hvis det ikke er , men ethvert af dets punkter har et vilkårligt lille relativ naboskab, hvis grænse er normal [2] . $n$ $n-1$

Et punkt i et sæt adskilles fra et punkt med et sæt, hvis der ikke er noget forbundet sæt i figuren , der indeholder punkterne og ikke skærer . $-en$ $x$ $b$ $EN$ $x$ $-en$ $b$ $EN$

En topologisk dimensionsfigur defineres som en figur, der ikke er en dimensionsfigur, og hvor ethvert punkt, sammen med dets naboskab, kan adskilles fra resten af figuren med et sæt dimensioner, der ikke overstiger [3] [4] . $n$ $n-1$ $n-1$

Noter

↑ Vilenkin, 1969 , s. 149.
↑ Vilenkin, 1969 , s. 151.
↑ Boltyansky, 1982 , s. 35.
↑ Vilenkin, 1969 , s. 152.

Litteratur

Gurevich V. , Volman G. Dimensionsteori. - IL, 1948.
Boltjanskij V.G. , Efremovich V.A. Visuel topologi. — M .: Nauka, 1982. — 160 s.
Vilenkin N.Ya. Sæt historier. - M. : Nauka, 1969. - 159 s.