Hilbert problemer

Hilberts problemer  er en liste over 23 kardinalproblemer i matematik præsenteret af David Hilbert ved II International Congress of Mathematicians i Paris i 1900. En komplet liste med 23 problemer blev offentliggjort senere, især i en engelsk oversættelse fra 1902 af Mary Francis Winston Newson i Bulletin of the American Mathematical Society [1] . Derefter disse problemer (der dækker grundlaget for matematik, algebra , talteori , geometri , topologi , algebraisk geometri, Lie-grupper , reel og kompleks analyse, differentialligninger, matematisk fysik og sandsynlighedsteori , såvel som variationsregningen ) er ikke blevet løst. Nogle af dem havde stor indflydelse på matematikken i det 20. århundrede.

I øjeblikket er 16 ud af 23 problemer løst. To mere er ikke korrekte matematiske problemer (den ene er formuleret for vagt til at forstå, om den er løst eller ej, den anden, langt fra at være løst, er fysisk, ikke matematisk) . Af de resterende fem problemer er to slet ikke løst, og tre løses kun i nogle tilfælde.

Siden 1900 har matematikere og matematiske organisationer udgivet lister over problemer, men med sjældne undtagelser har disse samlinger ikke haft nær den samme effekt eller produceret så meget arbejde som Hilberts problemer. En undtagelse er repræsenteret af tre hypoteser fremsat af André Weil i slutningen af ​​1940'erne ( Weyl-hypoteserne ). Pal Erdős kompilerede en liste over hundredvis, hvis ikke tusindvis af matematiske problemer, mange af dem dybe. Erdős tilbød ofte kontante belønninger; vederlagets størrelse afhang af opgavens forventede kompleksitet.

Liste over problemer

Ingen. Status Kort formulering Resultat Beslutningens år
en løst [2] Cantors problem om styrken af ​​kontinuum ( Continuum hypothesis ) Problemet har vist sig at være uafgørligt i ZFC . Der er ingen konsensus om, hvorvidt dette er en løsning på problemet. 1940, 1963
2 ingen konsensus [3] Konsistens af aritmetikkens aksiomer . Kræver en afklaring af ordlyden
3 løst Ækvivalens af polyedre med samme areal Afkræftet 1900
fire for vagt Angiv de metrikker , hvori linjerne er geodætiske[ afklare ] Kræver præcisering af ordlyden [4]
5 løst Er alle sammenhængende grupper Lie-grupper ? Ja 1953
6 delvist løst [5] Matematisk undersøgelse af fysikkens aksiomer Afhænger af fortolkningen af ​​den oprindelige problemformulering [6]
7 løst Er tallet transcendent (eller i det mindste irrationelt ) [7] Ja 1934
otte ikke løst, men der er fremskridt [8] Primtalsproblem ( Riemann-hypotese og Goldbach-problem ) Den ternære Goldbach-formodning blev bevist [9] [10] [11] [12] .
9 delvist løst [13] Bevis for den mest generelle lov om gensidighed i ethvert talfelt Bevist for den abelske sag
ti løst [14] Findes der en universel algoritme til løsning af diophantiske ligninger ? Ikke 1970
elleve delvist løst Undersøgelse af kvadratiske former med vilkårlige algebraiske numeriske koefficienter
12 ikke løst Udvidelse af Kronecker-sætningen om abelske felter til et vilkårligt algebraisk rationalitetsdomæne
13 løst Er det muligt at løse den generelle ligning af syvende grad ved hjælp af funktioner, der kun afhænger af to variable? Ja 1957
fjorten løst Bevis for den endelige generering af algebraen af ​​invarianter i en lineær algebraisk gruppe [15] Afkræftet 1959
femten delvist løst Strenge begrundelse for Schuberts opremsende geometri
16 delvist løst [16] Topologi af algebraiske kurver og overflader [17]
17 løst Kan visse former repræsenteres som en sum af kvadrater? Ja 1927
atten løst [18] [19]
  • Ja
  • Ja
  • Ja
 1911 (a)
1928 (b)
1998 (c)
19 løst Er løsninger på det almindelige variationsmæssige Lagrange-problem altid analytiske? Ja 1957
tyve løst [20] [21] [22] Har alle regulære variationsproblemer med bestemte randbetingelser løsninger, hvis selve løsningsbegrebet om nødvendigt får en udvidet fortolkning? Ja 1937-1962
21 løst Bevis for eksistensen af ​​lineære differentialligninger med en given monodromigruppe Om de eksisterer eller ej afhænger af mere præcise formuleringer af problemet. 1992
22 delvist løst Ensartethed af analytiske afhængigheder ved hjælp af automorfe funktioner
23 ikke løst, men der er fremskridt Udvikling af metoder til beregning af variationer Kræver en afklaring af ordlyden

Opgave 24

Hovedartikel: Hilberts 24. problem

Til at begynde med indeholdt listen 24 problemer, men i forbindelse med udarbejdelsen af ​​rapporten opgav Hilbert et af dem. Dette problem var relateret til bevisteorien om primalitetskriteriet og generelle metoder. Dette problem blev opdaget i Hilberts noter af den tyske videnskabshistoriker Rüdiger Thiele i 2000 [23] .

Andre berømte problemlister

Præcis hundrede år efter offentliggørelsen af ​​Hilbert-listen foreslog den amerikanske matematiker Stephen Smale en ny liste over moderne uløste problemer (nogle af dem er allerede blevet løst). Smales problemer har ikke fået meget opmærksomhed fra medierne, og det er ikke klart, hvor meget opmærksomhed de får fra det matematiske miljø. Clay Mathematical Institute offentliggjorde sin liste . Hver prisudgave inkluderer en millionbelønning. I 2008 annoncerede det amerikanske forsvarsministerium for Advanced Research Projects Agency sin egen liste over 23 problemer, som det håbede kunne føre til store matematiske gennembrud, "derved styrkede det amerikanske forsvarsministeriums videnskabelige og teknologiske evner " [24] [25] .

Noter

  1. ↑ Hilbert, David. Matematiske problemer  (engelsk)  // Bulletin of the American Mathematical Society  : tidsskrift. - 1902. - Bd. 8 , nr. 10 . - S. 437-479 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . Tidligere publikationer (på den originale tysk) udkom i Hilbert, David. Mathematische Probleme  (neopr.)  // Göttinger Nachrichten. - 1900. - S. 253-297 . og Hilbert, David. [ingen titel citeret]  (neopr.)  // Archiv der Mathematik und Physik. - 1901. - T. 1, 3 . - S. 44-63, 213-237 .
  2. ↑ Gödel og Cohens resultater viser, at hverken kontinuumhypotesen eller dens negation modsiger Zermelo-Fraenkel- aksiomsystemet (mængdeteoriens standardaksiomsystem). Kontinuumshypotesen i dette system af aksiomer kan således hverken bevises eller tilbagevises (forudsat at dette system af aksiomer er konsistent).
  3. ↑ Kurt Gödel beviste , at konsistensen af ​​aritmetikkens aksiomer ikke kan bevises ud fra selve aritmetikkens aksiomer. I 1936 beviste Gerhard Gentzen konsistensen af ​​aritmetik ved hjælp af primitiv rekursiv aritmetik med et ekstra aksiom for transfinit induktion til ordinalen ε 0 .
  4. ↑ Ifølge Rowe og Gray (se nedenfor) er de fleste af problemerne løst. Nogle af dem var ikke formuleret præcist nok, men de opnåede resultater giver os mulighed for at betragte dem som "løste". Rov og Gray taler om det fjerde problem som et, der er for vagt til at bedømme, om det er blevet løst eller ej.
  5. ↑ L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894-1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), nr. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141 .
  6. ↑ Desuden kan løsningen på problemet med at udlede dynamikken i kontinuum fra en atomistisk beskrivelse være negativ: Marshall Slemrod, Hilberts sjette problem og fiaskoen i Boltzmann til Euler-grænsen, Phil. Trans. R. Soc. A 2018 376 (2118), 2018, 20170222, doi : 10.1098/rsta.2017.0222
  7. ↑ Løst af Siegel og Gelfond (og uafhængigt af Schneider) i en mere generel form: hvis a ≠ 0, 1 er et algebraisk tal , og b  er et algebraisk irrationelt tal, så er a b  et transcendentalt tal
  8. ↑ Opgave #8 indeholder to kendte problemer, hvoraf det første slet ikke er løst, og det andet er delvist løst. Den første af disse, Riemann-hypotesen , er et af de syv årtusindproblemer , der er blevet betegnet som "Hilbert-problemerne" i det 21. århundrede.
  9. ↑ Terence Tao - Google+ - Travl dag i analytisk talteori; Harald Helfgott har… . Hentet 21. juni 2013. Arkiveret fra originalen 8. august 2013.
  10. ↑ Store buer for Goldbachs sætning Arkiveret 29. juli 2013 på Wayback Machine , HA Helfgott // arxiv 1305.2897
  11. ↑ Goldbach Variations Arkiveret 16. december 2013 på Wayback Machine // SciAm blogs, Evelyn Lamb, 15. maj 2013
  12. ↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory Arkiveret 23. juni 2013 på Wayback Machine // Science 24. maj 2013: Vol. 340 nr. 6135 s. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
  13. ↑ Opgave #9 blev løst for Abelian-tilfældet; den ikke-Abelske sag forbliver uopklaret.
  14. ↑ Yuri Matiyasevich i 1970 beviste den algoritmiske uløselighed af spørgsmålet om, hvorvidt en vilkårlig diophantinsk ligning har mindst én løsning. I første omgang blev problemet formuleret af Hilbert ikke som et dilemma, men som en søgen efter en algoritme: på det tidspunkt troede de tilsyneladende ikke engang, at der kunne være en negativ løsning på sådanne problemer.
  15. ↑ Påstanden om, at algebraen af ​​invarianter er endeligt genereret, er bevist for arbitrære handlinger af reduktive grupper på affine algebraiske varianter. Nagata i 1958 konstruerede et eksempel på en lineær handling af en unipotent gruppe på et 32-dimensionelt vektorrum, for hvilket den invariante algebra ikke er endeligt genereret. VL Popov beviste, at hvis algebraen af ​​invarianter af enhver handling af en algebraisk gruppe G på en affin algebraisk sort er endeligt genereret, så er gruppen G reduktiv.
  16. ↑ Den første (algebraiske) del af opgave nr. 16 er mere præcist formuleret som følger. Harnack beviste, at det maksimale antal ovaler er , og at sådanne kurver findes - de kaldes M -kurver. Hvordan kan M -kurvens ovaler arrangeres? Dette problem er løst op til inklusiv grad, og man kender ret meget til graden. Derudover er der generelle udsagn, der begrænser, hvordan ovaler af M -kurver kan placeres - se værkerne af Gudkov, Arnold, Roon, Hilbert selv (det skal dog huskes, at Hilberts bevis for indeholder en fejl: en af sagerne, som han anser for umulige, viste sig at være mulige og blev bygget af Gudkov). Den anden (differentielle) del forbliver åben selv for kvadratiske vektorfelter - det vides ikke engang hvor mange der kan være, og at der findes en øvre grænse. Selv den individuelle endelighedssætning (at hvert polynomisk vektorfelt har et endeligt antal grænsecyklusser) er først for nylig blevet bevist. Det blev anset for bevist af Dulac , men der blev opdaget en fejl i hans bevis, og til sidst blev denne sætning bevist af Ilyashenko og Ekal, som hver af dem skulle skrive en bog for.
  17. ↑ Oversættelsen af ​​den originale titel på problemet givet af Hilbert er givet: "16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen Arkiveret fra originalen den 8. april 2012.  (tysk) . Mere præcist kunne dets indhold (som det betragtes i dag) imidlertid formidles med følgende navn: "Antallet og arrangementet af ovaler af en reel algebraisk kurve af en given grad på et plan; antallet og arrangementet af grænsecyklusser for et polynomisk vektorfelt af en given grad på planet”. Sandsynligvis (som det kan ses af den engelske oversættelse af teksten til meddelelsen Arkiveret den 25. august 2018 på Wayback Machine  (engelsk) ), mente Hilbert, at den differentielle del (i virkeligheden viste sig at være meget vanskeligere end den algebraiske) ) ville være modtagelig for løsning med de samme metoder som den algebraiske. Derfor har jeg ikke inkluderet det i titlen.
  18. ↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400-412.
  19. ↑ Rov og Gray omtaler også problem nr. 18 som "åben" i deres bog fra 2000, fordi problemet med boldpakning (også kendt som Kepler-problemet) ikke var løst på det tidspunkt, men der er nu beviser på, at det allerede er blevet løst. løst. løst (se nedenfor). Fremskridt med at løse problem #16 er blevet gjort for nylig og også i 1990'erne.
  20. ↑ Young L. Forelæsninger om variationsregning og optimal kontrolteori. - M., Mir, 1974
  21. ↑ MacShane generaliserede kurver. Duke matematik. J. 6 (1940), 513-536
  22. ↑ Gamkrelidze R. V. On glidende optimale regimer // DAN SSSR, 143 (1962), 1243-1245
  23. ↑ Hilberts fireogtyvende problem Arkiveret 3. marts 2016 på Wayback Machine . Rudiger Thiele, American Mathematical Monthly, januar 2003.
  24. ↑ cdate=2008-09-29 Verdens 23 sværeste matematikspørgsmål . Hentet 23. november 2019. Arkiveret fra originalen 9. februar 2014.
  25. ↑ Opfordring til DARPA Mathematics Challenge (26. september 2008). Hentet 23. november 2019. Arkiveret fra originalen 12. januar 2019.

Litteratur

Links

  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier
I bibliografiske kataloger
 Hilbert problemer