Hilberts enogtyvende problem

Hilberts enogtyvende problem ( Riemann-Hilbert-problemet ) er et af de 23 problemer , som David Hilbert foreslog den 8. august 1900 på II International Congress of Mathematicians , som bestod i at bekræfte eller afkræfte hypotesen om eksistensen af ​​et system med lineære differentialligninger for et vilkårligt givet system af singulære punkter og en given monodromimatrix .

Løst ved at konstruere et modeksempel i 1989 af Andrei Bolibrukh [1] . Samtidig blev det i lang tid anset for at være løst i 1908 af Josip Plemel , men i sin positive løsning i 1970'erne opdagede Yuli Ilyashenko en fejl - Plemels konstruktion gjorde det kun muligt at bygge det nødvendige system, hvis mindst én af monodromi-matricerne var diagonaliserbar) [ 2] .

Original formulering:

21. Bevis for eksistensen af ​​lineære differentialligninger med en given monodromigruppe. <...> Der eksisterer altid en lineær Fuchsisk differentialligning med givne entalspunkter og en given monodromigruppe. <…> [3]

Originaltekst  (tysk)[ Visskjule] 21. Beweis der Existenz linearer Differentialgleichungen mit vorgeschriebener Monodromiegruppe. Problem hinweisen, welches wohl bereits Riemann im Sinne gehabt hat, und welches darin besteht, zu zeigen, daß es stets einetellechung der Fuchsen Schen einer gegebenen Monodromiegruppe giebt. Die Aufgabe verlangt also die Auffindung von n Functionen der Variabeln z, die sich überall in der complexen z-Ebene regulär verhalten, außer etwa in den gegebenen singulären Stellen: in diesen dürfen sie nur von endlich hoher Ordnung unendlich werden und der Beim Ubelz um dieselben erfahren sie die gegebenen linearen Substitutionen. Die Existenz solcher Differentialgleichungen ist durch Constantenzählung wahrscheinlich gemacht worden, doch gelang der strenge Beweis bisher nur in dem besonderen Falle, wo die Wurzeln der Fundamentalgleichungen der gegebenen Substitutionen sämtlich vom absoluten Betrage 1 sind. Diesen Beweis hat L. Schlesinger {Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Bd. 2, Teil 2 Nr. 366} auf Grund der Poincaréschen Theorie der Fuchsschen zeta-Functionen erbracht. Es würde offenbar die Theorie der linearen Diferentialgleichungen ein wesentlich abgeschlosseneres Billed zeigen, wenn die allgemeine Erledigung des bezeichneten Problemer gelænge. [4] .


Noter

  1. ↑ A. A. Bolibrukh, "Riemann-Hilbert-problemet på den komplekse projektive linje" , Mat. notes, 46:3 (1989), 118-120
  2. ↑ Yu. S. Ilyashenko, " Ikke-lineær Riemann-Hilbert problem ", Differentialligninger med reel og kompleks tid, Samling af artikler, Tr. MIAN, 213, Nauka, M., 1997, s. 10-34.
  3. ↑ Oversættelse af Hilberts rapport fra tysk - M. G. Shestopal og A. V. Dorofeev , udgivet i bogen Hilberts problemer / red. P.S. Alexandrova . - M. : Nauka, 1969. - S. 39. - 240 s. — 10.700 eksemplarer. Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Hentet 30. december 2009. Arkiveret fra originalen 17. oktober 2011. 
  4. ↑ David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (tysk) . — Tekst til rapporten læst af Hilbert den 8. august 1900 ved den II Internationale Mathematicians Congress i Paris. Hentet 27. august 2009. Arkiveret fra originalen 8. april 2012.

Litteratur

 Hilbert problemer