Hilbert-Schmidts sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. oktober 2016; verifikation kræver 1 redigering .

Hilbert - Schmidt-sætningen udvider til fuldstændig kontinuerte symmetriske operatorer i et Hilbert-rum den velkendte kendsgerning om reduktionen af matrixen af en selvadjoint operator i et finit -dimensionelt euklidisk rum til en diagonal form på en ortonormal basis .

Udtalelse af sætningen

For enhver fuldstændig kontinuert symmetrisk operator i et Hilbert-rum eksisterer der et ortonormalt system af egenelementer svarende til operatorens egenværdier, således at der for enhver er en repræsentation $EN$ $H$ $\{x_i\}$ $\{\lambda_n\}$ $EN$ $x\i H$

x=\sum_k\xi_k x_k+x_0,\ x_0\in\operatørnavn{Ker}\,A,\ Ax=\sum_k\lambda_k \xi_k x_k,

desuden kan summeringen være enten en endelig eller en uendelig række, afhængigt af antallet af egenelementer i operatoren . Hvis der er et uendeligt antal af dem, så . $EN$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0$

Hilbert-Schmidt-sætningen for integraloperatorer

Hilbert-Schmidt-sætningen kan bruges til at løse en ikke-homogen integralligning med en kontinuerlig (og også svagt polær) hermitisk kerne .

For integraloperatoren omformuleres sætningen som følger: hvis en funktion er kildemæssigt repræsentabel i form af en hermitisk kontinuert kerne (dvs. sådan at ), så konvergerer dens Fourier-række i forhold til kernens egenfunktioner absolut og ensartet til til denne funktion: $(Kg)(x)=\int\grænser_G\!K(x,y)g(y)\,dy$ $f(x)$ $K(x,y)$ $\eksisterer g(x)\i L^2(G)$ $f(x)=(Kg)(x)$ $K(x,y)$ $G$

f(x)=\sum_{k=1}^\infty(f,\varphi_k)\varphi_k(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(g,\varphi_k)}{\lambda_k }\varphi_k(x),

hvor og er kerneegenfunktionerne svarende til egenværdierne . $\varphi_k$ $\lambda_k$

Litteratur

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matematisk fysiks ligninger. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementer i teorien om funktioner og funktionel analyse. - 7. udgave - M . : FIZMATLIT, 2004. - S. 263-266. — 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .

Se også

Hilbert-Schmidt operatør

David Hilberts bidrag til videnskaben
mellemrum	Hilbert plads Pre-Hilbert plads Gilbert mursten
aksiomatik	Hilberts aksiomatiske
Sætninger	Hilberts sætning 90 Hilberts basissætning Hilberts nulsætning Hilbert-Schmidts sætning
Operatører	Hilbert transformation Hilbert-Schmidt operatør
Generel relativitetsteori	Einstein-Hilberts ligninger " Hilbert og gravitationsfeltligningerne "
Andet	Hilbert problemer Hilbert kurve Hilbert matrix Hilbert-Arnold problem Hilbert-serien og Hilbert-polynomiet Paradoks "Grand Hotel"