Kronecker-Webers sætning

Kronecker-Weber-sætningen er et udsagn inden for algebraisk talteori , ifølge hvilken enhver endelig abelsk udvidelse af feltet af rationelle tal , eller med andre ord, hvert algebraisk talfelt , hvis Galois-gruppe over er Abelian , er et underfelt af nogle cirkulært felt , det vil sige det felt, der opnås ved at lægge enhedsroden til de rationelle tal. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Opkaldt efter Leopold Kronecker og Heinrich Martin Weber udførte Kronecker størstedelen af beviset i 1853 , i 1886 udfyldte Weber og Hilbert nogle af de logiske huller. Sætningen kan bevises ved direkte algebraiske konstruktioner, men er også en simpel konsekvens af resultater fra klassefeltteori .

For en given abelsk feltudvidelse kan man definere et minimalt cirkulært felt indeholdende . For en given kan man definere et sådant mindste heltal , der er et underfelt af feltet, der genereres af roden til enhed af den th grad. For eksempel for kvadratiske felter er dette tal den absolutte værdi af deres diskriminant . $K$ $\mathbb {Q}$ $K$ $K$ $n$ $K$ $n$

Spørgsmålet om at udvide sætningen til et vilkårligt talfelt er et af Hilberts problemer ( 12. ), fra 2022 forbliver problemet uløst.

Litteratur

Greenberg, MJ Et elementært bevis på Kronecker-Weber-sætningen // American Mathematical Monthly : tidsskrift . — The American Mathematical Monthly, Vol. 81, nr. 6, 1974. Vol. 81 , nr. 6 . - s. 601-607 . - doi : 10.2307/2319208 .