Hilberts femte problem

Hilberts femte problem  er et af de problemer , som David Hilbert stillede i sin rapport [1] [2] ved II International Congress of Mathematicians i Paris i 1900. Hilberts femte problem vedrører teorien om topologiske transformationsgrupper og Lie-grupper . Løsninger til vigtige specialsager blev opnået i 1933 og 1934, endelig løst i 1952.

Udtalelse af problemet

En topologisk transformationsgruppe består af en topologisk gruppe , et topologisk rum og en kontinuerlig handling af gruppen på , hvilket er en kontinuerlig kortlægning

har følgende to egenskaber:

  1. for alle , hvor  er identitetselementet fra ,
  2. for alle og for alle .

En topologisk gruppe er en Lie-gruppe, hvis  er en reel analytisk manifold, og multiplikation  er et reelt analytisk kort. Derefter, ved den implicitte funktionssætning, er afbildningen realanalytisk. Hvis  er en Lie-gruppe,  er en reel analytisk mangfoldighed, og gruppens handling  er reel analytisk, så har vi en gruppe af reelle analytiske transformationer.

Lad være  en lokalt euklidisk topologisk gruppe. Så opstår spørgsmålet, om det altid er muligt at udstyre med en realanalytisk struktur, således at multiplikationen

vil være real-analytisk? Dette spørgsmål, som efterfølgende blev besvaret bekræftende, betragtes i dag som Hilberts femte problem. [3]

Problemløsning

For kompakte grupper blev det femte problem løst af von Neumann [4] i 1933. For lokalt kompakte kommutative grupper og nogle andre særlige tilfælde blev problemet løst af Pontryagin [3] [5] [6] i 1934. Disse beviser blev opnået ved hjælp af et resultat af den ungarske matematiker Alfred Haar [7] , som konstruerede et invariant mål på en lokalt kompakt topologisk gruppe [8] .

Det centrale i det generelle bevis viste sig at være spørgsmålet om eksistensen af ​​"små" undergrupper i et vilkårligt lille kvarter af enheden (bortset fra selve enheden). Løgngrupper har ingen sådanne undergrupper. Et væsentligt bidrag til løsningen blev ydet af Gleason (Gleason) [9] , som beviste, at enhver finitdimensional lokalt kompakt topologisk gruppe , som ikke har små undergrupper, er en Lie-gruppe.

Den endelige løsning blev opnået i 1952 af Montgomery og Zippin , som beviste, at en lokalt forbundet finit-dimensional lokalt kompakt topologisk gruppe ikke har små undergrupper. [10] . Da hver lokalt euklidisk topologisk gruppe er lokalt forbundet, lokalt kompakt og finitdimensional, indebærer disse to resultater følgende påstand.

Sætning . Hver lokalt euklidisk gruppe er en Lie gruppe .

Som Glushkov senere viste , indrømmer denne teorem generaliseringer [11] .

Dette resultat betragtes ofte som en løsning på Hilberts femte problem, men Hilberts spørgsmål var bredere og vedrørte transformationsgrupper for det tilfælde, hvor mangfoldigheden ikke falder sammen med [3] [12] .

Svaret på Hilberts generelle spørgsmål i tilfælde af topologiske kontinuerlige handlinger viste sig at være negativt selv for den trivielle gruppe . Der er topologiske manifolder, der ikke har nogen glat struktur, og derfor ikke har en realanalytisk struktur [13] .

Noter

  1. ↑ David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (tysk)  (utilgængeligt link) . — Tekst til rapporten læst af Hilbert den 8. august 1900 ved den II Internationale Mathematicians Congress i Paris. Hentet 27. august 2009. Arkiveret fra originalen 8. april 2012.
  2. ↑ Oversættelse af Hilberts rapport fra tysk - M. G. Shestopal og A. V. Dorofeev , udgivet i bogen Hilberts problemer / red. P.S. Alexandrova . - M . : Nauka, 1969. - S. 36-37. - 240 sek. — 10.700 eksemplarer. Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Hentet 26. oktober 2014. Arkiveret fra originalen 17. oktober 2011. 
  3. ↑ 1 2 3 Hilberts femte problem: En anmeldelse .
  4. ↑ Neumann J. von Die Einfuhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen// Ann. Matematik. - 1933. - 34. - C. 170-190
  5. ↑ Hilbert-problemer og sovjetisk matematik (utilgængeligt link) . Hentet 26. oktober 2014. Arkiveret fra originalen 26. oktober 2014. 
  6. ↑ Pontryagin LS Topologiske grupper. Princeton: Univ. Tryk, 1939
  7. ↑ Der Maasbegriff in der Theorie der Kontinuerlichen Gruppen (Mértékfogalom a folytonos csoportok elméletében), 1933.
  8. ↑ Pontryagin L. S. Biografi om L. S. Pontryagin, en matematiker udarbejdet af ham selv. Fødsel 1908, Moskva . - M. : Prima V, 1998. - 340 s.
  9. ↑ Gleason AM-grupper uden små undergrupper // Ann. Matematik. - 1952. - 56. - S. 193-212.
  10. ↑ Montgomery D., Zippin L. Små undergrupper af finit-dimensionelle grupper // Ann. Matematik. - 1952. - 56. - S. 213-241.
  11. ↑ V. M. Glushkov. Strukturen af ​​lokalt kompakte grupper og Hilberts femte problem , Uspekhi Mat. Nauk, 1957, bind 12, udgave 2(74), 3-41.
  12. ↑ Montgomery D. Topologiske transformationsgrupper // Proc. Int. kongr. Matematik. - 1954. - Bd. III. — Groningen-Amsterdam. - 1956. - S. 185-188 (RZhMat, 1958, 8602).
  13. ↑ Kervaire MA En manifold, der ikke tillader nogen differentierbar struktur // Kommentar. Matematik. Helv. - 1960. - 34. - S. 257-270.

Litteratur

 Hilbert problemer