Hilbert-Arnold problem

Hilbert-Arnold-problemet i teorien om dynamiske systemer hører til klassen af problemer relateret til estimering af antallet af grænsecyklusser . Det er påkrævet at bevise, at i en typisk finite-parameter familie af glatte vektorfelter på en kugle med en kompakt base af parametre, er antallet af grænsecyklusser ensartet afgrænset over alle værdier af parameteren. Dette problem er historisk relateret til Hilberts 16. problem . I øjeblikket (2009) er kun nogle forenklede versioner af Hilbert- Arnold -problemet blevet løst .

Matematisk kontekst og problemformulering

Husk en af varianterne af Hilberts 16. problem. Overvej et system af polynomielle differentialligninger i planet

{\begin{cases}{\dot x}=P_{n}(x,y),\\{\dot y}=Q_{n}(x,y),\end{cases))\quad (x ,y)\in {\mathbb R}^{2},

(*)

hvor og er polynomier af højst grad . $P_{n}$ $Q_{n}$ $n$

Opgave (Hilberts eksistentielle problem). Bevis, at der for hver findes et tal , således at ethvert system af formen (*) højst har grænsecyklusser.

n\in \mathbb {N}

H(n)<\infty

H(n)

Tallene kaldes Hilbert-numre for grænsecyklusser . $H(n)$

Til det følgende vil det være praktisk for os at gå over til et kompakt faserum og en kompakt parameterbase. For at gøre dette bruger vi et trick kendt som Poincaré-komprimering . Ved at udvide det polynomielle vektorfelt på planet til et analytisk retningsfelt på det projektive plan komprimerer vi parameterbasen, og derefter ved hjælp af den centrale projektion af kuglen på det projektive plan får vi det analytiske retningsfelt på kuglen (med en begrænset antal ental punkter). I rummet af alle analytiske retningsfelter på kuglen udskilles en finit-parameter familie af felter med en kompakt base af parametre genereret af polynomielle systemer af en given grad. I dette tilfælde bliver Hilberts eksistentielle problem et specialtilfælde af følgende (stærkere) hypotese:

Problem (Problem med global endelighed). I enhver finit-parametrisk analytisk familie af analytiske vektorfelter på en kugle med en kompakt parameterbase er antallet af grænsecyklusser ensartet afgrænset for alle værdier af parameteren .

B

\varepsilon \i B

Polynomiske vektorfelter er et naturligt eksempel på en finit parameterfamilie, og på tidspunktet for Hilberts 16. problem var dette sandsynligvis den eneste eksplicitte familie af sin slags kendte. Men tilgange ændrede sig over tid, og matematikernes opmærksomhed begyndte at blive tiltrukket af spørgsmål, ikke om en bestemt familie, men om egenskaberne for typiske familier fra en bestemt klasse. I løbet af arbejdet med gennemgangen [ AAIS ] (1986) foreslog V. I. Arnold at overveje familier med finite parameter af glatte vektorfelter og formulerede adskillige formodninger om dette emne.

Hvilke meningsfulde spørgsmål kan stilles om grænsecyklusser i typiske finite-parameter familier? Det er klart, at en direkte analog til Hilberts 16. problem ikke giver mening i dette tilfælde: et typisk glat system på en kugle kan have et vilkårligt stort antal hyperbolske grænsecyklusser, der ikke ødelægges af en lille forstyrrelse, hvilket betyder, at man spørger om en øvre grænse. på antallet af grænsecyklusser i en typisk familie meningsløst. En glat analog af den globale finitetsformodning giver dog mening. Det blev formuleret eksplicit af Yu. S. Ilyashenko [ I94 ] og blev kaldt Hilbert-Arnold-problemet :

Problem (Hilbert-Arnold problem). I enhver typisk finite-parameter familie af glatte vektorfelter på en kugle med en kompakt parameterbase er antallet af grænsecyklusser ensartet afgrænset for alle værdier af parameteren.

Analytiske familier er meget vanskelige at studere - for eksempel tillader de ikke lokale forstyrrelser i nærheden af et punkt, så der er ingen grund til at tro, at løsningen af Hilbert-Arnold-problemet alene vil give os mulighed for at bevise den globale finitetshypotese , og dermed det 16. Hilbert-problem. Forskerne mener dog, at studiet af glatte vektorfelter kan give nyttige ideer om det 16. problem og også repræsenterer et selvstændigt meningsfuldt problem.

Det lokale Hilbert-Arnold problem

På grund af kompaktheden af parameterbasen og faserummet kan vi reducere Hilbert-Arnold-problemet til det lokale problem med at studere bifurkationer af specielle degenererede vektorfelter. Lad os huske de nødvendige definitioner.

Definition. En polycyklus af et vektorfelt er et cyklisk nummereret sæt af entalspunkter (eventuelt med gentagelser) og et sæt buer af fasekurver (uden gentagelser), der successivt forbinder de angivne entalspunkter - det vil sige, buen forbinder punkterne og , hvor , .

p_{1},\ldots ,p_{n}

\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}

\gamma _{j}

p_{j}

p_{{j+1}}

p_{{n+1}}\equiv p_{1}

j=1,\ldots,n

Lad os definere "cykliciteten af en polycyklus", det vil sige antallet af grænsecyklusser, der fødes under dens bifurkation:

Definition. Overvej en familie af vektorfelter . Lad for systemet have en polycyklus . Cycliciteten af en polycyklus i en familie er et så minimalt tal , at der er et sådant kvarter af polycyklen og et sådant kvarter af den kritiske værdi af parameteren ( ), at der for alle i domænet samtidig ikke eksisterer mere end grænsecyklusser, og Hausdorff-afstanden mellem disse cyklusser og har en tendens til nul ved .

\{v_{\varepsilon }(x)\}_{{\varepsilon \in B^{k))}

\varepsilon=\varepsilon_{*}

\gamma

\gamma

\{v_{\varepsilon }\}

\mu

U\upset\gamma

V

{\mathbb R}^{k}\supset V\ni \varepsilon _{*}

\varepsilon \i V

U

\mu

\gamma

\varepsilon \to \varepsilon_{*}

Således afhænger cyklicitet ikke kun af vektorfeltet, der indeholder polycyklussen, men også af familien, hvori den er inkluderet.

Definition. Bifurkationstallet er den maksimale cyklicitet af en ikke-triviel polycyklus i en typisk -parametrisk familie af glatte vektorfelter på en kugle.

B(k)

k

Definitionen af bifurkationstallet afhænger ikke længere af familien, men kun af parameterrummets dimension. Lad os formulere det lokale Hilbert-Arnold problem :

En opgave. Bevis, at for hver der findes , og find en eksplicit øvre grænse.

k>0

B(k)<\infty

Det følger af kompakthedsovervejelser, at hvis antallet af grænsecyklusser i en bestemt familie ikke er begrænset, så skal de akkumuleres til en eller anden polycyklus, som dermed har uendelig cyklicitet. Løsningen af det lokale Hilbert-Arnold-problem medfører således løsningen af det globale.

Det lokale Hilbert-Arnold problem er løst for og ( , ). For der er en løsningsstrategi, men den er i øjeblikket ikke afsluttet. At anvende den samme strategi til evaluering synes at være en fuldstændig håbløs opgave. Hovedresultaterne på dette område for vilkårlige blev opnået for en forenklet version af det lokale Hilbert-Arnold-problem, hvor kun polycykler, der kun indeholder elementære entalspunkter, betragtes. $k=1$ $k=2$ $B(1)=1$ $B(2)=2$ $k=3$ $B(4)$ $k$

Definition. Et singulærpunkt kaldes elementært , hvis dets lineariseringsmatrix har mindst én egenværdi , der ikke er nul . En polycyklus kaldes elementær , hvis alle dens toppunkter er elementære entalspunkter.

Et elementært bifurkationsnummer er den maksimale cyklicitet af en elementær polycyklus i en typisk -parametrisk familie. $E(k)$ $k$

Sætning (Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Yakovenko, 1995 [ IYa ]). For alle eksisterer .

k>0

E(k)<\infty

Sætning (V. Yu. Kaloshin, 2003 [ K ]). For hver er estimatet sandt .

k>0

E(k)<25^{{k^{2}}}

Litteratur

[AAIS] V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Teori om bifurkationer // Dynamiske systemer-5. Resultater af videnskab og teknologi. Moderne matematikproblemer. grundlæggende retninger. - M .: VINITI , 1986. - T. 5 . - S. 5-218 . — ISSN 0233-6723 .
[I94] Yu. Iljasjenko. Normale former for lokale familier og ikke-lokale bifurkationer // Asterisk. - 1994. - Bd. bind 222. - S. 233-258 .
[IYa] Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Yakovenko. Endeligt glatte normale former for lokale familier af diffeomorfismer og vektorfelter // Uspekhi Mat . - 1991. - T. 46 , nr. 1 (277) . — s. 3–39 .
[K01] V. Yu. Kaloshin. Hilbert-Arnold-problemet og et skøn for cykliciteten af polycykler på planet og i rummet // Funktion. analyse og dens anvendelser. - 2001. - T. 35 , nr. 2 . — S. 78–81.
[IK] Ilyashenko, Yu., Kaloshin, V. Bifurkationer af plane og rumlige polycykler: Arnolds program og dets udvikling. // Fields Inst. commun. - 1999. - Bd. 24. - S. 241-271.
[K] V. Kaloshin. Det eksistentielle Hilbert 16. problem og et skøn over cyklicitet af elementære polycykler // Opfind. matematik. - 2003. - Bd. 151. - S. 451-512.

David Hilberts bidrag til videnskaben
mellemrum	Hilbert plads Pre-Hilbert plads Gilbert mursten
aksiomatik	Hilberts aksiomatiske
Sætninger	Hilberts sætning 90 Hilberts basissætning Hilberts nulsætning Hilbert-Schmidts sætning
Operatører	Hilbert transformation Hilbert-Schmidt operatør
Generel relativitetsteori	Einstein-Hilberts ligninger " Hilbert og gravitationsfeltligningerne "
Andet	Hilbert problemer Hilbert kurve Hilbert matrix Hilbert-Arnold problem Hilbert-serien og Hilbert-polynomiet Paradoks "Grand Hotel"