Hilbert matrix

I lineær algebra er Hilbert-matricen (introduceret af David Hilbert i 1894 ) en kvadratisk matrix H med indgange:

H_{ij}={\frac {1}{i+j-1)),i,j=1,2,3,...,n

For eksempel er en 5×5 Hilbert-matrix:

H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5 }}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}} &{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{ \frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1 }{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.

Hilbert-matricen kan ses som opnået fra integraler:

H_{{ij}}=\int _{{0}}^{{1}}x^{{i+j-2}}\,dx,

det vil sige som på Gram-matricen for potenserne x . Det opstår, når man tilnærmer funktioner ved polynomier ved hjælp af mindste kvadraters metode .

Hilbert -matricer er et standardeksempel på dårligt konditionerede matricer, hvilket gør dem vanskelige at beregne med beregningsmæssigt ustabile metoder. For eksempel er betingelsestallet i forhold til - normen for ovenstående matrix 4,8 · 10 5 . $\left\|\cdot \right\|_{2}$

Historie

Hilbert (1894) introducerede Hilbert-matricen, mens han studerede følgende spørgsmål: "Antag, at I = [ a , b ] er et reelt interval. Er det så muligt at finde et ikke-nul polynomium P med heltalskoefficienter således, at integralet

\int _{a}^{b}P(x)^{2}\,dx

ville være mindre end et givet tal ε > 0?" For at besvare dette spørgsmål udledte Hilbert en nøjagtig formel for determinanten af Hilbert-matricer og studerede deres asymptotik. Han kom til den konklusion, at svaret er positivt, hvis længden af intervallet b − a < 4 .

Egenskaber

Hilbert-matricen er en symmetrisk positiv bestemt matrix. Desuden er Hilbert-matrixen en fuldstændig positiv matrix.

Hilbert-matricen er et eksempel på en Hankel-matrix .

Hilbert-matrixdeterminanten kan udtrykkes eksplicit som et særligt tilfælde af Cauchy - determinanten . Determinanten af en n × n Hilbert matrix er

\det(H)={{c_{n}^{{\;4}}} \over {c_{{2n}}}},

hvor

c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{ni}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.

Hilbert bemærkede allerede det mærkelige faktum, at determinanten af Hilbert-matricen er den reciproke af et heltal (se sekvens A005249 i OEIS ). Det følger af ligestillingen

{1 \over \det(H)}={{c_{{2n}}} \over {c_{n}^{{\;4}}}}=n!\cdot \prod _{{i=1 }}^{{2n-1}}{i \vælg [i/2]}.

Ved hjælp af Stirling-formlen kan vi etablere følgende asymptotiske resultat:

\det(H)\approx a_{n}\,n^{{-1/4}}(2\pi )^{n}\,4^{{-n^{2}}}

hvor en n konvergerer til en konstant ved , hvor A er Glaisher-Kinkelin konstanten . $e^{{1/4}}2^{{1/12}}A^{{-3}}\ca. 0,6450$ $n\højrepil\infty$

Matrixen inverse til Hilbert-matricen kan udtrykkes eksplicit i form af binomiale koefficienter :

(H^{{-1}})_{{ij}}=(-1)^{{i+j}}(i+j-1){n+i-1 \vælg nj}{n+j -1 \vælg ni}{i+j-2 \vælg i-1}^{2}

hvor n er rækkefølgen af matricen. Elementerne i den inverse matrix er således heltal. $H^{{-1}}$

Betingelsestallet for en n × n Hilbert-matrix stiger som . $O((1+{\sqrt {2}})^{{4n}}/{\sqrt {n}})$

Se også

David Hilberts bidrag til videnskaben
mellemrum	Hilbert plads Pre-Hilbert plads Gilbert mursten
aksiomatik	Hilberts aksiomatiske
Sætninger	Hilberts sætning 90 Hilberts basissætning Hilberts nulsætning Hilbert-Schmidts sætning
Operatører	Hilbert transformation Hilbert-Schmidt operatør
Generel relativitetsteori	Einstein-Hilberts ligninger " Hilbert og gravitationsfeltligningerne "
Andet	Hilbert problemer Hilbert kurve Hilbert matrix Hilbert-Arnold problem Hilbert-serien og Hilbert-polynomiet Paradoks "Grand Hotel"

Hilbert matrix

Historie

Egenskaber

Se også

Links