Paradoks "Grand Hotel"

Grand Hotel-paradokset er et tankeeksperiment , der illustrerer egenskaberne ved uendelige mængder . Han viser et hotel med et uendeligt antal værelser, som hver især er gæst. Samtidig kan du altid tilføje flere besøgende til hotellet, selvom der er uendeligt mange af dem. Paradokset blev første gang formuleret af den tyske matematiker David Hilbert i 1924 og populariseret i Georgy Gamows bog One, Two, Three... Infinity i 1947 [1] [2] .

Paradoks

Forestil dig et hotel med et tælleligt antal værelser, som hver har en gæst. Ved første øjekast er det umuligt at tage imod nye besøgende på hotellet, som var det et almindeligt hotel med et begrænset antal værelser.

Ny besøgende

For at kunne indkvartere en ny person bliver vi nødt til at forlade et værelse. For at gøre dette flytter vi gæsten fra værelse nummer 1 til værelse nummer 2, gæsten fra værelse nummer 2 flytter til værelse nummer 3, og så videre. Generelt vil en gæst fra værelse n flytte til værelse n+1. Dermed frigiver vi det første værelse, hvor det vil være muligt at indkvartere en ny gæst.

Uendeligt antal nye besøgende

I dette tilfælde bliver vi nødt til at frigøre et uendeligt antal værelser: vi flytter gæsten fra værelse 1 til værelse 2, fra værelse 2 til værelse 4, i det generelle tilfælde vil vi flytte fra værelse n til værelse 2n. Således frigiver vi alle ulige rum, hvor antallet også er et tælleligt sæt.

Et uendeligt antal busser med et uendeligt antal passagerer

Der er flere måder at tage imod et uendeligt antal passagerer fra et uendeligt antal busser. De fleste af metoderne forudsætter, at hver passager har et sædenummer, hvor han sidder i sin bus. I det følgende angiver vi sædets nummer med variablen n, og nummeret på den bus, som passageren sidder i, med variablen c.

Prime Power Method

Til at begynde med vil vi flytte alle gæster fra deres værelser til værelser af grad 2. Dermed vil personen fra rummet nu være i rummet . Vi vil indkvartere alle passagerer fra den første bus i lokaler under nummeret , fra den anden bus ind i værelser under nummeret . Passagerer fra bussen vil blive indkvarteret i værelser , hvor er et ulige primtal . Ifølge aritmetikkens grundsætning (se artiklen Fundamental teorem of aritmetic ) vil tallene ikke stemme overens. Denne løsning efterlader frie rum, hvis tal ikke er en potens af et primtal , det vil sige de fleste ikke-primtal: 6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22 osv. $jeg$ $2^i$ $3^n$ $5^n$ $c$ $p^{n}$ $s$ $c$

Heltalsfaktoriseringsmetode

Hver gæst, der sidder på et sæde i bussen , kan indkvarteres på et værelse (hotellet kan udpeges som en nulbus). Eksempelvis var gæsten fra værelse 2592 ( ) på 4. bus og sad på 5. sæde. Da hvert nummer har en unik udvidelse til et produkt af primfaktorer, vil ingen af gæsterne stå uden et værelse, og ingen vil blive placeret i et optaget rum. Som i den foregående metode er der i dette tilfælde frie værelser. $n$ $c$ $2^n3^c$ $2^{5}\ gange 3^{4}$

Alterneringsmetode

For hver gæst sammenlignes længden af hans busnumre og pladser i ethvert positionsnummersystem . Hvis et af tallene er kortere, tilføjes indledende nuller til det, indtil begge tal har det samme antal cifre. Skiftende med numrene på disse numre får vi værelsesnummeret. For eksempel vil en passager på sæde 6917 på bus 843 modtage værelsesnummer 6 0 9 8 1 4 7 3 , hvilket er 60981473.

I modsætning til løsningen med potenser af primtal fylder alterneringsmetoden hotellet fuldstændigt og efterlader ingen tomme rum.

Den trekantede talmetode

I begyndelsen vil hver enkelt beboer på hotellet blive flyttet fra værelse til værelse (dvs. det - . trekanttal , ). Yderligere vil gæster, der sidder på bussen , blive indkvarteret i et værelse . På denne måde vil alle værelser være optaget, og der vil kun være én beboer i hvert værelse. $n$ $T_{n}$ $n$ ${\frac {n(n+1)}{2}}$ $n$ $c$ $T_{c+n-1}+n$

Højere niveauer af uendelighed

Lad os sige, at hotellet ligger på stranden. Et uendeligt antal bilfærger ankommer til kysten, hver med et uendeligt antal busser, hver med et uendeligt antal passagerer. Denne situation, der involverer tre "niveauer" af uendelighed, løses ved at udvide en af ovenstående metoder. I dette tilfælde forudsættes det også, at færgerne har løbenumre.

Endvidere vil angivelsen af passagerens adresse i formen "sæde-bus-færge" blive brugt. For eksempel er 768-85-7252 adressen på passageren på sæde 768 på bus 85 på færge 7252.

Heltalsfaktoriseringsmetoden kan anvendes ved at tilføje et nyt primtal: en passager, der sidder på et sæde på en færgebus , vil blive placeret i et rum . Denne metode returnerer meget store tal for små input. For eksempel vil en passager med adressen 10-45-26 tage værelse 4507923441392263334111022949218750000000000 ( ). Som tidligere nævnt efterlader metoden et stort antal rum tomme. $n$ $c$ $f$ ${\displaystyle 2^{n}3^{c}5^{f))$ $2^{10}\times 3^{45}\times 5^{26}$

Alterneringsmetoden kan bruges ved at skifte ikke to cifre, men tre. Så en passager med adresse 1-2-3 vil indtage værelse 123, og en passager med adresse 42609-233-7092 vil indtage værelse 400207620039932.

Foregribende muligheden for ethvert niveau af uendelighed, vil hotelledelsen ønske at tildele værelser på en sådan måde, at beboerne ikke behøver at blive flyttet, når nye gæster ankommer. En mulig løsning er at give gæster et binært tal, hvor enere adskiller grupper af nuller, i hver gruppe er antallet af nuller lig med det tilsvarende tal fra gæstens adresse, for hvert niveau af uendelighed. For eksempel vil en gæst med adressen 2-5-4-3-1 blive placeret i lokale 10010000010000100010, hvilket svarer til decimaltallet 590882.

Som en tilføjelse til denne metode fjernes et nul fra hver gruppe af nuller. En gæst med adressen 2-5-4-3-1 vil således blive tildelt rum 101000010001001, hvilket svarer til decimal 10308. Denne tilføjelse sikrer, at hvert værelse er befolket af gæster.

Analyse

Hilberts paradoks er i sandhed et paradoks. Udtrykkene "hvert værelse har en gæst" og "gæster kan ikke længere indkvarteres" mister deres ækvivalens, når det drejer sig om et uendeligt antal værelser.

Egenskaberne for endelige og uendelige mængder er væsentligt forskellige. "Grand Hotel"-paradokset kan forstås ved hjælp af Cantors teori om transfinite tal . På et normalt (ikke-uendeligt) hotel med mere end et værelse er antallet af ulige værelser naturligvis mindre end det samlede antal værelser. Men i Grand Hotel Gilbert er antallet af ulige værelser ikke mindre end det samlede antal værelser. I matematiske termer er kardinaliteten af en delmængde , der indeholder ulige rum, lig med kardinaliteten af sættet af alle rum. Faktisk er uendelige mængder karakteriseret som mængder, der har korrekte delmængder af den samme kardinalitet.

Se også

Noter

↑ Kragh, Helge. Den sande (?) historie om Hilberts uendelige hotel (neopr.) . – 2014.
↑ Gamow, George. One Two Three... Infinity: Facts and Speculations of Science (engelsk) . - New York: Viking Press , 1947. - S. 17.

David Hilberts bidrag til videnskaben
mellemrum	Hilbert plads Pre-Hilbert plads Gilbert mursten
aksiomatik	Hilberts aksiomatiske
Sætninger	Hilberts sætning 90 Hilberts basissætning Hilberts nulsætning Hilbert-Schmidts sætning
Operatører	Hilbert transformation Hilbert-Schmidt operatør
Generel relativitetsteori	Einstein-Hilberts ligninger " Hilbert og gravitationsfeltligningerne "
Andet	Hilbert problemer Hilbert kurve Hilbert matrix Hilbert-Arnold problem Hilbert-serien og Hilbert-polynomiet Paradoks "Grand Hotel"