Firkant

Firkant
$S$ , fra fr. overfladisk
Dimension	l²
Enheder
SI	m²
GHS	cm²
Noter
skalar

Areal - i snæver forstand, arealet af en figur - en numerisk karakteristik introduceret for en bestemt klasse af flade geometriske figurer (historisk, for polygoner , så blev begrebet udvidet til kvadratiske figurer) og har egenskaberne som en område [1] . Intuitivt følger det af disse egenskaber, at et større areal af en figur svarer til dens "større størrelse" (for eksempel kan en firkant med et større areal skåret ud af papir fuldstændigt dække en mindre firkant), og arealet af en figur kan estimeres ved at overlejre et gitter af linjer, der danner identiske linjer på tegningen. kvadrater ( arealenheder ) og tælle antallet af kvadrater og deres andele, der faldt inden for figuren [2](billedet til højre). I bred forstand er begrebet område generaliseret [1] til k - dimensionelle overflader i n -dimensionelle rum ( Euklidisk eller Riemann ), især til en todimensionel overflade i tredimensionelt rum .

Historisk set blev arealberegningen kaldt kvadratur . Områdets specifikke værdi for simple figurer følger klart af de praktisk vigtige krav til dette koncept ( se nedenfor ). Figurer med samme areal kaldes lige store arealer.

En generel metode til beregning af arealet af geometriske figurer gav integralregning . En generalisering af begrebet areal er blevet teorien om sætmål , egnet til en bredere klasse af geometriske objekter.

Til en omtrentlig beregning af området bruger de i praksis en palet eller en speciel måleanordning - et planimeter .

Definition af begrebet område

Egenskaber

Area er en funktion, der har følgende egenskaber [3] [1] :

Positivitet, det vil sige, at området er en ikke-negativ ( skalær ) størrelse;
Additivitet , det vil sige, at arealet af figuren er lig med summen af områderne af dens konstituerende figurer uden fælles indre punkter;
Invarians, det vil sige, at arealerne af kongruente figurer er lige store;
Normaliseret, det vil sige, at arealet af et enhedskvadrat er 1.

Fra denne definition af området følger dets monotoni, det vil sige, at arealet af en del af figuren er mindre end arealet af hele figuren [3] .

Kvadratfigurer

Oprindeligt blev definitionen af område formuleret for polygoner , derefter blev den udvidet til kvadratiske figurer. En figur, der kan indskrives i en polygon, og som en polygon kan indskrives i, kaldes en kvadratisk figur, og arealet af begge polygoner adskiller sig med en vilkårlig lille mængde. Sådanne tal kaldes også Jordan målbare [1] . For figurer i planet, der ikke består af et helt antal enhedskvadrater , bestemmes arealet ved hjælp af passagen til grænsen ; det kræves, at både figuren og dens afgrænsning er stykkevis glat [4] . Der er ikke-kvadratiske planfigurer [1] . Den aksiomatiske definition af området foreslået ovenfor i tilfælde af flade figurer suppleres normalt med en konstruktiv, hvor selve beregningen af arealet udføres ved hjælp af en palet. Samtidig bruges paletter til mere nøjagtige beregninger i efterfølgende trin, hvor længden af siden af kvadratet er ti gange mindre end længden af den forrige palet [5] .

Arealet af den kvadratiske plan figur eksisterer og er unik. Begrebet areal, udvidet til mere generelle sæt, førte til definitionen af Lebesgue målbare sæt , som er målteoriens bekymring . I fremtiden opstår der mere generelle klasser, for hvilke områdets egenskaber ikke garanterer dets enestående [1] .

Generel metode til bestemmelse af areal

Arealet af en plan figur

I praksis er det oftest nødvendigt at bestemme arealet af en afgrænset figur med en stykkevis glat grænse. Matematisk analyse tilbyder en universel metode til at løse sådanne problemer.

Kartesiske koordinater

Arealet indesluttet mellem grafen for en kontinuerlig funktion på intervallet og den vandrette akse kan beregnes som et bestemt integral af denne funktion: $[a,b]$

S=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx

Området indesluttet mellem graferne for to kontinuerlige funktioner på intervallet findes som forskellen mellem visse integraler af disse funktioner: $f(x),\,g(x)$ $[a,b]$

$S=\int \limits _{a}^{b}\venstre|f(x)-g(x)\right|\,dx$

Polære koordinater

I polære koordinater : området afgrænset af grafen for funktionen og strålerne beregnes ved formlen: $r=r(\theta )$ $\theta =\theta _{1},\theta =\theta _{2},\theta _{1}<\theta _{2}$

S={1 \over 2}\int \limits _{{\theta _{1}}}^{{\theta _{2}}}r^{2}(\theta )\,d\theta

Overfladeareal

For at bestemme arealet af en stykkevis glat overflade i tredimensionelt rum bruges ortogonale projektioner til tangentplanerne ved hvert punkt, hvorefter passagen til grænsen udføres. Som et resultat er arealet af den buede overflade A , givet af vektorfunktionen , givet af dobbeltintegralet [1] : ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u,v),$

S=\iint \limits _{A}\left|{\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\mathbf {r}}}{ \partial v}}\right|\,du\,dv.

Det samme i koordinater:

S=\iint \limits _{A}{\sqrt {\venstre({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\højre)^{2}+\venstre({\ frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\højre)^{2}+\venstre({\frac {D(z,x)}{D(u,v)))\ højre)^{2))\;{\mathrm {d}}\,u\,{\mathrm {d}}\,v

Her . ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_ {v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v }\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)))={\begin{vmatrix ) }x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$

Områdeteori

Områdeteori beskæftiger sig med studiet af generaliseringer relateret til at udvide definitionen af k-dimensionelt areal fra en stykkevis jævn nedsænkning til mere generelle rum. For en stykkevis jævn nedsænkning f bestemmes arealet på en måde svarende til den ovenfor angivne, mens området bevarer egenskaber som positivitet, additivitet , normalisering samt en række nye.

Arealenheder

Metriske enheder

Kvadratmeter , en afledt enhed af det internationale system af enheder (SI) ; 1 m² = 1 sa ( santiar );
Kvadratkilometer , 1 km² = 1.000.000 m²;
Hektar , 1 ha = 10.000 m²;
Ar (vævning), 1 a \u003d 100 m²:
Kvadratdecimeter , 100 dm² = 1 m²;
Kvadratcentimeter , 10.000 cm² = 1 m²;
Kvadratmillimeter , 1.000.000 mm² = 1 m²;
Lad , 1 b \u003d 10 −28 m².

Russisk forældet

Kvadrat verst = 1,13806 km²
Tiende = 10925,4 m²
Hø = 0,1 tiende - høslåning blev målt i hø
Firkantet sazhen = 4,55224 m²

Målene for jord i skatteberegninger var hyl, plov, obzha , hvis størrelse afhang af jordens kvalitet og ejerens sociale status. Der var også forskellige lokale mål af jord: kasser, reb, partier osv.

Ancient

Andre

Hektar
Paradise = 1600 m² (40 m × 40 m).
kvadratisk parsec
Planck areal ( ) ≈ 2,612099 10 −70 m 2 $S_{P},{\ell }_{{P}}^{{2}}$

Formler til beregning af arealer af de enkleste figurer

Polygoner

Figur	Formel	Variabler
retvinklet trekant	$a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$-en$ - længden af trekantens side
retvinklet trekant	${\frac {ab}{2))$	$-en$ og - trekantens ben $b$
Vilkårlig trekant	${\frac {1}{2}}ah$	$-en$ - trekantens side, - højden tegnet til denne side $h$
	${\frac {1}{2}}ab\sin \alpha$	$-en$ og - alle to sider, - vinklen mellem dem $b$ $\alfa$
	${\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))$ ( Heirens formel )	$-en$ , og er siderne af trekanten, er semiperimeteren $b$ $c$ $s$ $\left(p={\frac {a+b+c}{2}}\right)$
	${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{ vmatrix}}$	$(x_{0};y_{0})$ . _ _ $(x_{1};y_{1})$ $(x_{2};y_{2})$
Firkant	$a^2$	$-en$ - kvadratets sidelængde
Rektangel	$ab$	$-en$ og er længderne af rektanglets sider (dets længde og bredde) $b$
Rhombus	${\frac {1}{2}}cd$	$c$ og er længderne af rombens diagonaler $d$
Parallelogram	$Ah$	$-en$ og - henholdsvis længden af siden og højden sænket på den $h$
Parallelogram	$ab\sin\alfa$	$-en$ og - tilstødende sider af parallelogrammet, - vinklen mellem dem $b$ $\alfa$
Trapeze	${\frac {1}{2}}(a+b)h$	$-en$ og - trapezets basis, - trapezets højde $b$ $h$
Vilkårlig firkant	${\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos \alpha }}$ ( Brahmagupta formel )	$-en$ , , , er siderne af firkanten, er dens halvperimeter, er halvsummen af firkantens modsatte vinkler $b$ $c$ $d$ $s$ $\alfa$
Regelmæssig sekskant	$a^{2}{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	$-en$ er længden af siden af sekskanten
Regelmæssig ottekant	$2a^{2}(1+{\sqrt {2)))$	$-en$ er længden af ottekantens side
regulær polygon	${\frac {P^{2}/n}{4\operatørnavn {tg}(\pi /n)))$	$P$ - omkreds, - antal sider $n$
Vilkårlig polygon (konveks og ikke-konveks)	${\frac {1}{2}}\left\|\sum _{{i=1}}^{{n}}(x_{{i+1}}-x_{i})(y_{{i+ 1 }}+y_{i})\right\|$ ( trapezformet metode )	$(x_{i};y_{i})$ er koordinaterne for polygonhjørnerne i den rækkefølge, de er forbigået, hvilket lukker den sidste med den første: ; hvis der er huller, er deres omløbsretning modsat omløbet af polygonens ydre grænse $(x_{{n+1}};y_{{n+1}})=(x_{1};y_{1})$
Vilkårlig polygon (konveks og ikke-konveks)	Beregning af arealer af polygoner efter Sarrons metode [6] . Der er en analytisk formel.	Givet længderne af polygonens sider og sidernes azimutvinkler

Arealer af en cirkel, dens dele, omskrevne og indskrevne figurer

Figur	Formel	Variabler
En cirkel	$\pi r^{2}$ eller ${\frac {\pi d^{2}}{4}}$	$r$ - radius , - cirkeldiameter $d$
cirkel sektor	${\frac {\alpha r^{2}}{2}}$	$r$ er cirklens radius, er sektorens centrale vinkel (i radianer ) $\alfa$
cirkelsegment	${\frac {r^{2}}{2}}(\alpha -\sin \alpha )$	$r$ er cirklens radius, er segmentets centrale vinkel (i radianer ) $\alfa$
Ellipse	$\pi ab$	$-en$ , er ellipsens store og mindre halvakser $b$
Trekant indskrevet i en cirkel	${\frac {abc}{4R))$	$-en$ , og er trekantens sider, er radius af den omskrevne cirkel $b$ $c$ $R$
Firkant indskrevet i en cirkel	${\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)))$ ( Brahmagupta formel )	$-en$ , , , er siderne af firkanten, er dens semiperimeter $b$ $c$ $d$ $s$
Polygon afgrænset omkring en cirkel	${\frac {1}{2}}Pr$	$r$ - radius af cirklen indskrevet i polygonen - polygonens omkreds $P$
Rektangulær trapez afgrænset omkring en cirkel	$ab$	$-en$ , - baser af trapez $b$

Overfladearealer af kroppe i rummet

Legeme	Formel	Variabler
Fuld overflade af en ret cirkulær cylinder	$2\pi r(r+h)$	$r$ og er henholdsvis radius og højde $h$
Sideflade af en ret cirkulær cylinder	$2\pi rh$	$r$ og er henholdsvis radius og højde $h$
Fuld overflade af en ret cirkulær kegle	$\pi r(l+r)$	$r$ og er henholdsvis radius og generatrix af sidefladen $l$
Sideflade af en ret cirkulær kegle	$\pi rl$
Overflade af en kugle ( kugle )	$4\pi r^{2}$ eller $\pi d^{2}$	$r$ og er henholdsvis radius og diameter $d$
Sideflade af et lige prisme	$Ph$	$P$ - base omkreds, - højde $h$
Samlet overflade af et vilkårligt prisme	${\displaystyle 2A_{1}+A_{2))$	$A_{1}$ - basisareal - lateral overfladeareal $A_{2}$

Historisk disposition

Areal af flyfigurer

I mange år blev området betragtet som et primært begreb, der ikke krævede definition. Matematikernes hovedopgave var at beregne arealet, mens områdets grundlæggende egenskaber var kendte [3] . I det gamle Egypten blev de nøjagtige regler for beregning af arealet af rektangler, retvinklede trekanter og trapezer brugt, arealet af en vilkårlig firkant blev bestemt omtrent som produktet af halve summer af par af modsatte sider. Brugen af en sådan omtrentlig formel skyldes, at de områder, hvis areal skulle måles, for det meste var tæt på rektangulære, og fejlen i dette tilfælde forblev lille. Matematikhistorikeren A.P. Yushkevich antyder, at egypterne måske ikke vidste, at de brugte en omtrentlig formel. Opgave 50 af Rhind-papyrusen indeholder en formel til beregning af arealet af en cirkel, som blev betragtet som lig med arealet af en firkant med en side på 8/9 af cirklens diameter [7] . De samme formler blev brugt i Babylon , men for arealet af en cirkel var tilnærmelsen mindre nøjagtig. Derudover kunne babylonierne tilnærmelsesvis beregne arealet af de regulære fem-, seks- og sekskanter med en side lig med én. I det sexagesimale system svarede de til henholdsvis 1.40 , 2.37.20 og 3.41 [8] .

Hovedmetoden til at beregne arealet i dette tilfælde var konstruktionen af en firkant, hvis areal er lig med arealet af den givne polygonal figur, især i Euklids bog I 's Beginnings , som er viet til planimetrien af retlinede figurer, er det bevist, at en trekant er lig med et halvt rektangel, der har lige baser og højde med sig [9] . Ekspansionsmetoden, baseret på, at to ligeligt sammensatte figurer er lige store, gjorde det også muligt at beregne arealer af parallelogrammer og eventuelle polygoner [5] .

Det næste trin var at beregne arealer af cirklen, cirkulær sektor, huller og andre figurer. Grundlaget for beregningerne i dette tilfælde var metoden til udtømning af polygoner [1] [5] , hvorfra teorien om grænser stammer fra . Metoden består i at konstruere en sekvens af områder, som med en gradvis stigning "udtømmer" det nødvendige areal. Udmattelsesmetoden, som først fik sit navn i det 17. århundrede, er baseret på Eudoxus-Archimedes aksiom for kontinuitet og tilskrives Eudoxus af Cnidus , som med den viste, at cirklernes områder er relateret til hinanden som kvadraterne af deres diametre. Metoden er beskrevet i Euklids elementer: Eudoxus' aksiom er formuleret i bog V, og selve udmattelsesmetoden og relationerne baseret på den er i bog XII [9] . Arkimedes opnåede særlig perfektion i anvendelsen af metoden , som med sin hjælp beregnede arealet af et segment af en parabel og andre [10] [11] . Archimedes' værk "Om spiraler" omfatter mange udsagn om områderne af forskellige vindinger af spiralen og deres forhold [12] . Archimedes kom op med ideen om at bruge områder eller volumener af både indskrevne og omskrevne figurer til at bestemme det nødvendige areal eller volumen [13] .

Indianerne brugte først den samme formel til beregning af firkanter som egypterne og grækerne. Brahmagupta brugte formlen for arealet af firkanter, udtrykt i form af dens semi-perimeter, hvilket er sandt for en firkant indskrevet i en cirkel. Formlerne til beregning af arealet blev normalt ikke bevist, men blev demonstreret med visuelle tegninger [14] . Brahmaguptas formel er en analog af Herons formel for arealet af en trekant, som han citerede i sin "Metrics" [15] .

Udviklingen og generaliseringen af udmattelsesmetoden fandt først sted i det 17. århundrede. I 1604 gør Valerio i sine Three Books on the Center of Gravity of Bodies udstrakt brug af sætningen, ifølge hvilken forskellen mellem arealer af de indskrevne og omskrevne figurer sammensat af parallelogrammer kan gøres mindre end et givet område [16] . Det virkelige gennembrud blev lavet af Kepler , som havde brug for at kunne beregne arealet af en ellipse til astronomiske beregninger. Kepler betragtede området som en "sum af linjer", og ved at styre ellipsen i trin på én grad, viste [17] at . Cavalieri , der underbygger en lignende metode, kaldet " metoden af udelelige ", sammenlignede områderne af plane figurer ved at bruge udsnittet af figurer med parallelle linjer [18] . At bruge antiderivatet til at finde arealet af en flyfigur er den mest alsidige metode. Ved hjælp af antiderivatet bevises Cavalieri-princippet , ifølge hvilket to flade figurer har et lige stort areal, hvis der, når hver af dem skærer en lige linje parallelt med en fast, opnås segmenter af samme længde. Princippet var kendt længe før dannelsen af integralregningen [1] [5] . $\int \limits _{0}^{\varphi }\sin xdx=1-\cos \varphi$

Overfladeareal

Archimedes var engageret i at beregne arealer af buede overflader efter at have bestemt, især overfladearealet af en bold [13] . I det generelle tilfælde, for at bestemme overfladearealet, kan du hverken bruge et sweep (ikke egnet til en kugle) eller tilnærmelsen af polyedriske overflader, det vil sige en analog af udmattelsesmetoden. Sidstnævnte blev vist af Schwartz ved at konstruere sekvenser for sidesekvensen af en cylinder, der fører til forskellige resultater (den såkaldte Schwartz boot ) [1] [19] .

En generel metode til beregning af overfladearealet ved overgangen til det 19.-20. århundrede blev foreslået af Minkowski , som byggede et "omsluttende lag" med lille konstant tykkelse for hver overflade, så vil overfladearealet være omtrent lig med volumenet af denne lag divideret med dets tykkelse. Passagen til grænsen, når tykkelsen har tendens til nul, giver den nøjagtige værdi af området. Men ifølge Minkowski er additivitetsegenskaben ikke altid opfyldt for området. Generaliseringen af denne definition fører til begrebet en linje ifølge Minkowski og andre [20] .

Noter

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Område // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 4.
↑ Chirkova, Natalya Ivanovna og Valentina Nikolaevna Zinovieva. Dannelse af ideer om området for objekter og dets måling hos folkeskolebørn Arkivkopi dateret 28. april 2019 på Wayback Machine // Bulletin of Kaluga University 1 (2017): 92-97.
↑ 1 2 3 Geometry, 1966 , s. 7-13.
↑ Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - Ed. 6. - M. : FIZMATLIT, 1966. - T. 2. - S. 186-224. - 800 sek.
↑ 1 2 3 4 Boltyansky V. Om begreberne areal og volumen. Arkiveret 5. maj 2017 på Wayback Machine Kvant , nr. 5, 1977, s.2-9
↑ Khrenov L. S. Beregning af arealer af polygoner ved hjælp af Sarron-metoden // Matem. uddannelse. 1936. Hefte 6. S. 12-15
↑ History of mathematics, bind I, 1970 , s. 30-32.
↑ History of mathematics, bind I, 1970 , s. 47-53.
↑ 1 2 Mathematics historie, bind I, 1970 , s. 111-114.
↑ Udmattelsesmetode // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 2.
↑ History of mathematics, bind I, 1970 , s. 101-105.
↑ Boyer & Merzbach, 2010 , s. 127-128.
↑ 1 2 Mathematics historie, bind I, 1970 , s. 117-124.
↑ History of mathematics, bind I, 1970 , s. 197-198.
↑ Boyer & Merzbach, 2010 , s. 172, 219.
↑ History of mathematics, bind II, 1970 , s. 131-135.
↑ History of mathematics, bind II, 1970 , s. 166-171.
↑ History of mathematics, bind II, 1970 , s. 174-181.
↑ V. N. Dubrovsky, På jagt efter at bestemme overfladearealet Arkiveksemplar af 27. juni 2017 på Wayback Machine . Kvante . 1978. nr. 5. S. 31-34.
↑ V. N. Dubrovsky, Overfladeareal ifølge Minkowski Arkiveret 15. februar 2017 på Wayback Machine . Kvante . 1979. nr. 4. S.33-35.

Litteratur

Encyklopædi af elementær matematik. Bog fem. Geometri / redigeret af P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich og A. Ya. Khinchin. — M .: Nauka, 1966. — 624 s.
Rashevsky PK Riemann geometri og tensoranalyse. Ed. 3., M.: Nauka, 1967.
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - M. : FIZMATLIT, 1960. - T. 2. - 680 s. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Matematikkens historie: i 3 bind / redigeret af A.P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. I: Fra oldtiden til begyndelsen af den nye tidsalder.
Matematikkens historie: i 3 bind / redigeret af A. P. Yushkevich. - M . : Nauka, 1970. - T. II: Matematik i det 17. århundrede.
Boyer CB, Merzbach UC A History of Mathematics . — John Wiley & Sons, 2010. — 640 s. Arkiveret 9. juli 2019 på Wayback Machine