Papyrus ahmes

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. september 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Ahmes' matematiske papyrus (også kendt som Rinda-papyrusen eller Rhind -papyrusen ) er en gammel egyptisk lærebog i aritmetik og geometri fra det tolvte dynasti i Mellemriget (1985-1795 f.Kr.), transskriberet i det 33. år af regeringsperioden Kong Apopi (ca. 1550). f.Kr.) af en skriver ved navn Ahmes på en papyrusrulle [ 1 ] . Individuelle forskere [ hvem? ] tyder på, at papyrusen fra XII-dynastiet kunne kompileres på grundlag af en endnu mere gammel tekst fra det III. årtusinde f.Kr. e. Sprog: Mellemægyptisk , skrift: hieratisk .

Ahmes papyrus blev opdaget i 1858 i Theben og kaldes ofte Rhind (Rhind) papyrus efter dens første ejer. I 1887 blev papyrus dechifreret, oversat og udgivet af G. Robinson og K. Schute [2] . Det meste af manuskriptet er nu på British Museum . Den består af to dele: BM 10057 (32 cm × 295,5 cm) og BM 10058 (32 cm × 199,5 cm). Mellem dem skulle der være et stykke ca. 18 cm langt, som gik tabt. Nogle fragmenter, der delvist udfylder dette hul, blev opdaget i 1922 i museet i New York Historical Society [3] .

Karakteristik af opgaver

Ahmes papyrus indeholder betingelser og løsninger på 84 problemer og er den mest komplette egyptiske problembog, der har overlevet den dag i dag. Moscow Mathematical Papyrus , der ligger i Pushkin State Museum of Fine Arts, er ringere end Ahmes-papyrusen i fuldstændighed (den består af 25 opgaver), men overgår den i alder.

I den indledende del af Ahmes papyrus forklares det, at den er dedikeret til "det perfekte og grundige studium af alle ting, forståelse af deres essens, viden om deres hemmeligheder." Alle de opgaver, der gives i teksten, er i en eller anden grad af praktisk karakter og vil kunne anvendes i byggeri, afgrænsning af jordlodder og andre livs- og produktionsområder. For det meste er disse opgaver til at finde arealer af en trekant, firkanter og en cirkel, forskellige handlinger med heltal og aliquotbrøker , proportional division, finde forhold. For at løse mange af dem blev der udviklet generelle regler.

Samtidig er der en række beviser i papyrusen for, at matematikken i det gamle Egypten voksede fra et udelukkende praktisk stadium og fik en teoretisk karakter. Så egyptiske matematikere var i stand til at slå rod og hæve til en magt var bekendt med aritmetisk og geometrisk progression (en af opgaverne for Ahmes-papyrusen er at finde summen af vilkårene for en geometrisk progression). En masse problemer, der kommer ned til at løse ligninger (inklusive kvadratiske) med én ukendt, er forbundet med brugen af et særligt hieroglyf "sæt" (analog af latin , traditionelt brugt i moderne algebra) til at betegne det ukendte, hvilket indikerer designet af algebras rudimenter . $x$

Ahmes-papyrusen viser ligesom Moskvas matematiske papyrus, at de gamle egyptere let klarede at måle arealet af en trekant og bestemte tilnærmelsen af tallet relativt nøjagtigt , mens det i hele det antikke nærøsten blev betragtet som lig med tre . Papyrusen vidner dog også om manglerne i egyptisk matematik. For eksempel beregnes arealet af en vilkårlig firkant i dem ved at multiplicere halvsummen af længderne af to par modsatte sider , hvilket kun er sandt i særlige tilfælde (for eksempel i et rektangel). For en trapezoid er denne formel forkert, men egypterne kendte og brugte den korrekte formel. Derudover henledes opmærksomheden også på, at den egyptiske matematiker kun bruger alikvotbrøker (af formen , hvor er et naturligt tal). I andre tilfælde blev artsfraktionen erstattet af produktet af et tal og en aliquotfraktion , hvilket ofte komplicerede beregninger, selvom det i nogle tilfælde kunne gøre dem lettere. $\pi$ ${\frac {256}{81}}\approx 3.16$ ${\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}$ ${\frac {1}{n}}$ $n$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ ${\frac {1}{n}}$

Egenskaber af egyptisk aritmetik. Grundlæggende vilkår

Egyptiske termer for aritmetiske operationer

Ægypterne udførte multiplikation og division gennem sum, fordobling og halvering . Subtraktion blev udført ved at tilføje subtrahenden til minuenden. [4] For at betegne alle disse handlinger på det egyptiske sprog , blev der brugt et verbum wAH

(læses betinget "wah" eller "wah" og betyder "sæt"; "fortsæt" osv.). Verbet xpr blev brugt til at angive resultatet af operationer med tal.

(betinget læst "heper", betyder "at dukke op") eller substantivet dmD

(betinget læst "demage", betyder "i alt"). Det ønskede tal blev betegnet med substantivet aHa

(betinget læst "aha", betyder "tal", "sæt").

Aritmetiske operationer

Før man evaluerer egypternes matematiske metoder, er det nødvendigt at tale om funktionerne i deres tænkning. De kommer godt til udtryk i følgende udtalelse: "På trods af det faktum, at grækerne tilskrev ægypterne filosoffernes visdom, havde ingen mennesker sådan en modvilje mod abstrakte refleksioner og var ikke så oprigtigt hengivne til materielle interesser som ægypterne." Af alle videnskaber er denne erklæring mest velegnet til egypternes matematik. Ægypteren taler eller tænker ikke på tallet "otte" som et abstrakt tal, han tænker på otte brød eller otte får. Han beregner hældningen af pyramidens side, slet ikke fordi det er interessant, men fordi han skal forklare mureren, hvordan stenen skal hugges (den såkaldte "hellige vinkel" på 52 grader er grænseværdi, hvor kalkstensbeklædningen ikke falder ned af pyramidens trin under sin egen vægt). Hvis han nedbrydes til , er det slet ikke fordi han kan lide det, men simpelthen fordi han før eller siden vil støde på en brøk, når han tilføjer, og da han ikke ved, hvordan man tilføjer brøker, hvis tæller er større end én, vil han have brug for nedbrydning angivet ovenfor. [5] ${\frac {2}{13}}$ ${\frac {1}{8}}+{\frac {1}{52}}+{\frac {1}{104}}$ ${\frac {2}{13}}$

Da de gamle egyptere endnu ikke kendte multiplikationstabellen , var alle beregninger ekstremt besværlige og blev udført i flere faser. For at udføre operationer såsom multiplikation eller division, blev følgende metode brugt [4] :

Multiplikation

For eksempel, 22 x 60 =?

Først blev en sådan talrække nedskrevet, at hvert efterfølgende tal blev opnået ved at fordoble det foregående, for eksempel: 1, 2, 4, 8, 16 ... Til nogle opgaver, for at forenkle optællingen, den første række af tal kunne begynde med et andet tal end et, men princippet om at fordoble det tidligere tal beholdt til senere uddannelse.
Modsat enheden blev det største tal fra sættet skrevet (i vores eksempel er dette tallet 60), derefter blev den samme progression skabt med dette tal, så hvert efterfølgende tal blev opnået ved at fordoble det forrige. Sådan en række tal blev skrevet over for det første. Følgelig blev modsat 2 skrevet 120 (det vil sige 60 x 2), modsat 4 - 240 (det vil sige 120 x 2), modsat 8 - 480 (det vil sige 240 x 2), modsat 16 - 960 (det vil sige, 480 x 2) ...
Det mindste tal (22 i vores eksempel) blev dekomponeret i det mindste antal tal fra den første række (1, 2, 4, 8, 16 ...). Til dette formål blev det tal, der var tættest på 22 i værdi, taget først, dette er 16, mens resten blev udført en lignende handling: 22 - 16 \u003d 6, tallet fra den første række, der er tættest på i værdi til 6 - 4 osv. ., indtil summen af tallene valgt fra den første række ikke var lig med 22, det vil sige det mindste tal i sættet. Vi får: 22 = 16 + 4 + 2.
Så blev tallene fra anden række udvalgt, som stod overfor de tal, vi tidligere havde valgt fra første række. Fra den første række valgte vi 16, 4 og 2, i den anden række svarer de til tallene 960, 240 og 120.
Produktet af tallene 22 og 60 var lig med summen af de valgte tal fra anden række, det vil sige 960 + 240 + 120 = 1320.

Division

For eksempel, 30/20 = ?

Først blev en sådan talrække nedskrevet, at hvert efterfølgende tal blev opnået ved at fordoble det foregående, for eksempel: 1, 2, 4 ... For nogle problemer, for at forenkle tællingen, kunne den første talrække begynde med en andet tal end et, men princippet om at fordoble det forrige tal for at danne det næste blev bevaret.
Modsat enheden blev det mindste tal skrevet, i vores tilfælde er det 20, så blev den samme progression skabt med dette tal, så hvert efterfølgende tal blev opnået ved at fordoble det forrige. Sådan en række tal blev skrevet over for det første. Følgelig blev modsat 2 skrevet 40 (det vil sige 20 x 2), modsat 4 - 80 (det vil sige 40 x 2) ...
Et tal blev valgt fra den anden række, som var tættest på 30 i værdi, det vil sige det største tal i vores eksempel. Det er 20.
Tallet 20 i første række svarede til tallet 1. Disse tal blev husket.
Da 30 var større end 20 og mindre end 40 (det vil sige summen af værdierne af cifrene fra anden række gav ikke 30), blev halvering brugt næste gang.
For at gøre dette blev en sådan række tal skrevet, begyndende med 1/2, at hvert efterfølgende tal var halvdelen af det foregående: 1/2, 1/4, 1/8 ... For andre eksempler kunne en anden brøk være brugt, men princippet om at dividere den foregående i halve tal til dannelsen af den efterfølgende blev gemt.
Tværtimod blev 1/2 skrevet halvdelen af det mindste tal (som om brøken blev ganget med et tal), i vores tilfælde 20/2 = 10, så blev den samme progression skabt med dette tal, således at hvert efterfølgende tal var halvdelen af den forrige. Sådan en række tal blev skrevet over for det første. I overensstemmelse hermed blev 1/4 derimod skrevet 5 (det vil sige 10/2) ... Hvis det var umuligt at dividere yderligere (der skulle kun være heltal i anden række!), så om nødvendigt (hvis løsningen endnu ikke var fundet), blev en ny lignende serie kompileret ved hjælp af samme eller andre brøker (f.eks. kunne 5 ikke divideres med 2, men kunne divideres med 5), indtil tallene fra anden række valgte resten af summen op til et større antal i henhold til problemets tilstand.
Dernæst var det nødvendigt at finde et sådant minimum antal tal fra den anden række, som sammen med det tidligere fundne tal 20 ville give 30, det vil sige det største tal i vores eksempel. Dette tal er 10 (20 + 10 = 30).
Tallet 10 fra anden række svarede til brøkdelen 1/2 fra første række.
Forholdet mellem 30 og 20 var lig med summen af de valgte tal fra den første række, det vil sige 1 + 1/2 (= 1,5)

Divisionen var ikke altid forbundet med søgningen efter brøktal, i dette tilfælde blev det mindste antal tal fra anden række valgt, hvilket i alt ville give det største tal givet af betingelserne for problemet, og løsningen af problemet i dette tilfælde ville være summen af de tilsvarende tal fra den første række.

Yderligere handlinger

Nogle gange blev der sammen med fordobling og division i halve brugt multiplikation og division med 5 og 10 samt med 50, 100 osv. (som en egenskab ved decimalmålesystemet).
I operationer med fraktioner blev der brugt kanoniske udvidelser af fraktioner af 2/n-typen (de skulle være kendt udenad, da de blev brugt meget ofte, for eksempel 1/3 + 1/3 = 1/2 + 1 /6; 1/9 + 1/9 = 1/6 + 1/18 osv.) såvel som "rødt tal"-metoden (yderligere tal tilføjet til brøken for at bringe den til en alikvotform blev skrevet med rødt blæk). Denne metode blev brugt til store fraktioner. [6] da:Rødt hjælpenummer For eksempel skulle 2/43 udtrykkes som en sum af alikvotbrøker (fordi de gamle egyptere kun brugte brøker med en tæller lig med en). For at gøre dette blev tælleren og nævneren ganget med 42 (det vil sige 43 - 1), det viste sig 84/1806. Ved hjælp af samme metode som ved multiplikation eller division blev de tal, der var multipla af nævneren (1806), bestemt og skrevet med rødt blæk: 43, 42, 21, 14, 7, 6, 4, 3, 2, 1, derefter minimumsantallet af sådanne røde tal, så deres sum er lig med tælleren (84), disse er 43, 21, 14 og 6. Endelig blev brøken 2/43 skrevet som (43 + 21 + 14 + 6)/ 1806 = 43/1806 + 21/1806 + 14/1806 + 6/1806 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. Nedbrydningen var afsluttet.

Egyptiske brøker

Egyptiske brøker blev formidlet af præpositionen r , som udtrykker et forhold. Hieroglyfisk blev denne præposition formidlet af tegnet

For eksempel blev det skrevet sådan: ${\frac {1}{4))$

Egyptiske fraktioner blev uddelt i alikvoter . Som en undtagelse havde de gamle egyptere to symboler for brøker og : ${\frac {3}{4))$ ${\frac {2}{3))$

henholdsvis.

Brøkudvidelse en:RMP 2/n tabel

2/3 = 1/2 + 1/6	2/5 = 1/3 + 1/15	2/7 = 1/4 + 1/28
2/9 = 1/6 + 1/18	2/11 = 1/6 + 1/66	2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
2/15 = 1/10 + 1/30	2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68	2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114
2/21= 1/14 + 1/42	2/23 = 1/12 + 1/276	2/25 = 1/15 + 1/75
2/27 = 1/18 + 1/54	2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232	2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155
2/33 = 1/22 + 1/66	2/35 = 1/30 + 1/42	2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296
2/39 = 1/26 + 1/78	2/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328	2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301
2/45 = 1/30 + 1/90	2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470	2/49 = 1/28 + 1/196
2/51 = 1/34 + 1/102	2/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795	2/55 = 1/30 + 1/330
2/57 = 1/38 + 1/114	2/59 = 1/36 + 1/236 + 1/531	2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610
2/63 = 1/42 + 1/126	2/65 = 1/39 + 1/195	2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536
2/69 = 1/46 + 1/138	2/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710	2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365
2/75 = 1/50 + 1/150	2/77 = 1/44 + 1/308	2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
2/81 = 1/54 + 1/162	2/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498	2/85 = 1/51 + 1/255
2/87 = 1/58 + 1/174	2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890	2/91 = 1/70 + 1/130
2/93 = 1/62 + 1/186	2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570	2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776
2/99 = 1/66 + 1/198	2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606

Processen med at tilføje brøker adskilte sig ikke fra den moderne måde at bringe dem til en fællesnævner. Resultatet af multiplikation med den største af de tilgængelige nævnere blev skrevet under brøken med rødt blæk, og det var ikke nødvendigt at få hele tal. Så lægges resultatet sammen.

Opgaver

Problemer #1-6

Det er nødvendigt at dele mellem 10 personer 1, 2, 6, 7, 8, 9 brød. Da gamle egyptiske brøker var alikvoter, blev alle brøker med en tæller større end 1 (med undtagelse af undtagelser) udtrykt som summen af brøker med 1 i tælleren. Ved at bruge ræsonnementet i papyrusen får vi følgende løsninger:

1/10 = 1/10, det vil sige, for at dele 1 brød mellem 10 personer, skal du dele det i 10 dele og give hver en.
2/10=1/5, altså for at dele 2 brød mellem 10 personer, skal du dele hvert brød i 5 dele og give hver et.
6/10=1/2+1/10, det vil sige, du skal dele 5 brød i to, og give hver halvdel, og derefter dele det resterende brød i 10 dele og give hver enkelt.
7/10=2/3+1/30, det vil sige, at du først skal dele hvert brød i 3 dele, og give hver to, og derefter dele den resterende tredjedel i 10 dele og give hver en.
8/10=2/3+1/10+1/30, det vil sige, du skal først dele 7 brød i 3 dele og give hver to, derefter dele det resterende brød i 10 dele og give hvert et, derefter dele resterende tredjedel i 10 dele og giv hver en.
9/10=2/3+1/5+1/30, det vil sige, du skal dele 7 brød i 3 dele, og give hver to, og derefter dele de resterende 2 brød i fem dele hver og give hver, så , skal du dele den resterende tredjedel i 10 dele og give hver en .

Problem # R26

Det ukendte tal ( aHa ) lægges til 1/4, som også indeholder aHa, og resultatet er 15, dvs. $x+{\frac {1}{4}}\cdot x=15.$

Første trin: den gamle matematiker erstatter 4 med "x". Dette tal er naturligvis ikke egnet til løsningen, : $4+{\frac {1}{4}}\cdot 4\not =15$

✔	en	fire
✔	1/4	en

	1+1/4	5

Resultat: 5.

Andet trin: I det første trin fik vi kun 5 i stedet for 15. Hvad er forholdet mellem disse to tal?

✔	en	5
✔	2	ti

	3	femten

Hvis vi multiplicerer 5 med 3, får vi 15. Vi multiplicerer tallet "4" taget vilkårligt og tallet "3", vi modtog, så vi får den ønskede aHa , det vil sige 4 x 3 = aHa .

Tredje trin: udregn 4 x 3:

	en	3
	2	6
✔	fire	12

	fire	12

Svar: 12.

Fjerde trin: Tjek resultaterne af vores beregninger, dvs. $12+{\frac {1}{4}}\cdot 12=15.$

✔	en	12
✔	1/4	3

	1+1/4	femten

Det ønskede tal aHa er 12.

Problem # R44

Opgave nr. R44 angiver, at egypterne kendte formlen til at finde rumfanget af et rektangulært parallelepipedum : hvor henholdsvis L , S og H , er længden, bredden og højden. $V=L\cdot S\cdot H,$

”Et eksempel på at beregne rumfanget af en firkantet kornlade. Dens længde er 10, bredde 10 og højde 10. Hvor mange korn passer til? Gang 10 med 10. Det er 100. Gang 100 med 10. Det er 1.000. Tag halvdelen af 1.000, det er 500. Det er 1.500. Du har mængden i poser. Gang 1/20 med 1500. Du får 75. Konverter denne mængde korn til heqats (det vil sige gang med 100), og du vil få svaret - 7500 heqats korn."

En pose eller "har" var lig med 75,56 liter og bestod af 10 heqats.

Problem # R48

	en	Kapitel 8
	2	Kapitel 16
	fire	32 sessioner
✔	otte	64 sessioner

✔	en	Kapitel 9
	2	Kapitel 18
	fire	Kapitel 36
✔	otte	72 sessioner

		81

En sechat eller arura (græsk navn) er lig med 100 kvadratmeter. albuer, det vil sige, det er 0,28 ha. I virkeligheden var dette et stykke jord ikke 10 x 10 alen, men 1 x 100 alen. En alen var lig med 52,5 cm og bestod til gengæld af 7 håndflader, og hver håndflade bestod af 4 fingre.

Kompleksiteten af denne opgave ligger i, at der ikke er angivet nogen forklarende tekster til den i papyrusen. Foran os er kun to tabeller med tal og en figur. Figuren viser en figur, der ligner en ottekant eller en cirkel indskrevet i en firkant.

Ifølge en teori viser figuren en firkant, hvis sider er lig med længden af diameteren af den indskrevne cirkel. Octagonens areal beregnes ved formlen: , i dette tilfælde skal arealet af cirklen være 64 [7] . $9^{2}-2\cdot 3^{2}=63$

Den anden teori, foreslået af Michel Guillemot, forklarer tegningen mere præcist. Teorien siger, at figuren viser en uregelmæssig ottekant, hvis areal skal være lig med en cirkel indskrevet i en firkant. Arealet af en sådan ottekant findes ved formlen: . Men Michel Guillemot gik videre og foreslog, at de gamle egyptere havde en idé om kvadratet af en cirkel og kunne bygge en lige firkant baseret på arealet af en given cirkel. $9^{2}-(3^{2}+2\cdot 4)=64$

Ludwig Borchardt fandt en meget lignende tegning på væggene i templet i Luxor.

Problem # R50

"Der er cirkler med 9 hatte. Hvad er arealet af cirklen? Du skal trække en fra 9. Den forbliver 8. Multiplicer 8 med 8. Dette vil være lig med 64. Her er svaret til dig - arealet af cirklen er 64 sektioner. En detaljeret beregningsproces:"

	1 x 9	= 9
✔	1/9 x 9	= 1

"Efter at have trukket fra, er det 8."

	1 x 8	= 8
	2 x 8	= 16
	4 x 8	= 32
✔	8 x 8	= 64

"Arealet af en cirkel er 64".

1 hat bestod af 100 alen og var lig med 52,5 m. En sechat var lig med 0,28 hektar.

I dette tilfælde blev der naturligvis brugt følgende formel: . Her fremgår det, at diameteren er 9 hatte. Det samme kunne dog skrives på en anden måde: . Den moderne formel til beregning af arealet af en cirkel er: eller . Forskere mener, at egypterne for deres tid opnåede stor succes i matematik - de bestemte forholdet mellem omkredsen af en cirkel og længden af dens diameter (eller ) lig med , det vil sige 3,1605. Dette er meget tæt på sandheden (nummer ). Men "Problem R50" indikerer, at egypterne ikke vidste om eksistensen af konstanten . $Aire=\left(d-\left({\frac {1}{9}}\right)\cdot d\right)^{2}$ $Aire={\frac {64}{81}}\cdot d^{2}$ $\pi \cdot r^{2}$ ${\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}$ $\pi$ ${\frac {256}{81}}$ $\pi =3.1415926535897932384626433832795...$ $\pi$

Problem # R51

Et eksempel på beregning af arealet af en trekant . Hvis nogen siger til dig: "Trekanten har en 'mryt' på 10 hatte og dens base er 4 hatte. Hvad er dens areal?" Du skal beregne halvdelen af 4. Gang derefter 10 med 2. Her er svaret.

Ordet "mryt" betyder sandsynligvis højde.

A={\frac {base}{2}}{mryt}

Ægypternes formel er identisk med den moderne:

S={\frac {ah}{2))

Problem # R52

Opgave R52 handler om at beregne arealet af et trapez .

"Hvad er arealet af en afkortet trekant, hvis dens højde er 20 hatte, dens base er 6 hatte, og dens øverste base er 4 hatte? Fold den nederste base af trapez med toppen. Få 10. Del 10 i to. Og gange så 5 med 20. Husk at 1 hat = 100 alen. Beregn dit svar."

	1 x 1000	= 1000
	1/2 x 1000	= 500


✔	1 x 1000	= 2000
	2 x 1000	= 4000
✔	4 x 1000	= 8000

		10000 (dvs. 100 sechat )

Denne løsning kan skrives i følgende formel: . $A={\frac {1}{2}}\cdot (4+6)\cdot 20$

Problem # R56

Opgaver R56, R57, R58 og R59 diskuterer i detaljer, hvordan man beregner hældningen af en pyramide.

Det gamle egyptiske udtryk " seked " betød fra et moderne synspunkt cotangensen af en vinkel ( ctg α ). I oldtiden blev det målt som længden af et segment langs goniometerets målelineal, som også blev kaldt "seked". Længden blev målt i håndflader og fingre (1 håndflade = 4 fingre). Matematisk blev det fundet gennem forholdet mellem halvdelen af basen og højden.

"Metode til at beregne en pyramide, hvis basis er 360 alen, og hvis højde er 250 alen. For at finde ud af hendes seked skal du tage halvdelen af 360, hvilket er 180. Så skal du dividere 180 med 250, vi får: 1/2, 1/5, 1/50 alen (det vil sige 0,72 alen). Da en alen er 7 håndflader, skal du gange resultatet med 7 (=5,04 håndflader)."

	1/2 x 7 ;	7/2 = 3 1/2 _ _ _
	1/5 x 7 ;	7/5 = 1 1/4 og 1 1/5 _ _ _ _
	1/50 x 7 ;	7/50 = 1/10 og 1/25 _ _ _ _ _ _

I dag, når vi løser dette problem, ville vi kigge efter cotangensen af vinklen, idet vi kender halvdelen af basen og apotem [8] . Generelt ser den egyptiske formel til beregning af seked af en pyramide sådan ud: hvor b er 1/2 af bunden af pyramiden, og h er dens højde. Selve vinklen i grader kan beregnes ved hjælp af den omvendte trigonometriske funktion af buetangensen eller - ifølge Bradis- tabellen . $Seqed={\frac {b}{h}}\cdot 7$

Forholdet mellem seket og hældningsvinklerne:

Seked, fingre	Seked, palmer	Vinkel, grader	Træd i grader pr. finger
femten	3,75	61,82°
16	fire	60,26°	1,56°
17	4,25	58,74°	1,52°
atten	4.5	57,26°	1,47°
19	4,75	55,84°	1,42°
tyve	5	54,46°	1,38°
21	5,25	53,13°	1,33°
22	5.5	51,84°	1,29°
23	5,75	50,60°	1,24°
24	6	49,40°	1,20°
25	6,25	48,24°	1,16°
26	6.5	47,12°	1,12°
27	6,75	46,04°	1,08°
28	7 (=1 alen)	45,00°	1,04°
29	7,25	43,99°	1,01°
tredive	7.5	43,03°	0,97°
31	7,75	42,09°	0,94°
32	otte	41,19°	0,90°
33	8,25	40,31°	0,87°
34	8.5	39,47°	0,84°
35	8,75	38,66°	0,81°

Problem # R64

Opgavenummer R64 fortæller os, at i det gamle Egypten blev aritmetisk progression brugt i beregninger .

"Et eksempel på opdeling i dele. Hvis nogen fortæller dig: vi har 10 heqat hvede til 10 personer, men der er forskel på dem i 1/8 heqat hvede. I gennemsnit er dette 1 heqat. Træk 1 fra 10 , får vi 9. Tag halvdelen af forskellen, altså 1/16. Gang med 9. Læg derefter 1/2 og 1/16 heqat til gennemsnitsværdien og træk 1/8 heqat fra hver efterfølgende person Her er beregningerne af hvad vi taler om: ".

	1 1/2 1/16
	1 1/4 1/8 1/16
	1 1/4 1/16
	1 1/8 1/16
	1 1/16
	1/2 1/4 1/8 1/16
	1/2 1/4 1/16
	1/2 1/8 1/16
	1/2 1/16
	1/4 1/8 1/16

	ti

Forklaring : Opgaven er at dele 10 heqat hvede på 10 personer. Lad os udpege personer: H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 og H10. S er den samlede mængde, dvs. 10 hekats hvede. N er antallet af dele. Alle har et forskelligt antal hekats. Samtidig har hver 1/8 mere heqat end den forrige. Lad H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 osv., sidstnævnte har mest hvede. Progressionstrinnet er R = 1/8.

Vi finder det gennemsnitlige antal hekat, der er fordelt til alle, det vil sige S/N = 10/10 = 1.

Derefter beregner vi forskellen, der er resultatet af den efterfølgende division. Det vil sige, N-1 = 10-1, er lig med 9. Så R/2 = 1/16, og R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Det største tal beregnes med formlen: R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.

Fordeling i 10 dele:

	H10 = 1 + 1/2 + 1/16.
	H9 = H10 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16
	H8 = H9 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/16
	H7 = H8 - 1/8 = 1 + 1/8 + 1/16
	H6 = H7 - 1/8 = 1 + 1/16
	H5 = H6 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
	H4 = H5 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/16
	H3 = H4 - 1/8 = 1/2 + 1/8 + 1/16
	H2 = H3 - 1/8 = 1/2 + 1/16
	H1 = H2 - 1/8 = 1/4 + 1/8 + 1/16

	I alt = 10

Det er meget muligt, at løsningen af dette problem havde en praktisk anvendelse.

Du kan skrive løsningen i form af formler:

$\ H_{N}=(S/N)+(N-1)*R/2$

$\ H_{n-1}=H_{n}-r$

Problem # R79

Opgavenummer R79 fortæller os, at i det gamle Egypten blev geometrisk progression brugt i beregninger . Men vi ved kun, at egypterne brugte tallene "2" og "1/2" til progressionen, det vil sige, at de kunne modtage sådanne værdier som: 1/2, 1/4, 1/8 ... og 2, 4, 8, 16 … Spørgsmålet om den praktiske brug af geometrisk progression i det gamle Egypten er også åbent.

✔	en	2801
✔	2	5602
✔	fire	11204

	7	19607

	huse	7
	katte	49
	Mus	343
	Malt	2401 (skriver skrev fejlagtigt 2301)
	Hekat	16807

		19607

Se også

Noter

↑ Rhindens matematiske papyrus . britishmuseum.org . Hentet 10. december 2019. Arkiveret fra originalen 12. november 2020.
↑ London, The British Museum Press, 1987
↑ BM 10058
↑ 1 2 I. Ya. Depman, aritmetikkens historie. En vejledning for lærere - M .: 1965 (anden udgave, revideret), s. 196
↑ S. Clark, R. Engelbach, Bygning og arkitektur i det gamle Egypten. ISBN 978-5-9524-4351-8
↑ Matematikkens historie fra oldtiden til begyndelsen af det 19. århundrede, red. A. P. Yushkevich.- M.: 1970, s. 25
↑ K. Vogel, Vorgriechische Mathematik , s.66
↑ Apotem - højden af sidefladen af en almindelig pyramide.

Litteratur

Bobynin V.V. Matematik af de gamle egyptere (baseret på papyrus Rinda). - M. , 1882.
Van der Waerden B.L. Awakening Science: Matematikken i det gamle Egypten, Babylon og Grækenland. — M .: Fizmatgiz , 1959. (Genoptryk: M .: URSS , 2007)
Vygodsky M. Ya. Aritmetik og algebra i den antikke verden. — M .: Nauka , 1967.
Raik A.E. Essays om matematikkens historie i antikken. - Saransk: Mordovisk stat. forlag, 1977.
Rinda papyrus // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
Gillings RJ Matematik i faraoernes tid. — Cambridge: MIT Press , 1972.
Peet T.E. The Rind matematisk papyrus. - Liverpool University Press, L .: Hodder & Stoughton, 1923.
Robins G., Shute CCD The Rhind matematisk papyrus: en gammel egyptisk tekst. — N. Y .: Dover, 1987.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4735890-7

Det gamle Egyptens sprog og skrift

Sprog	tidlig egyptisk gammel egypter Mellemægyptisk ny egyptisk demotisk Ptolemæisk koptisk
Brev	skrifttyper: hieroglyfer hieratik demotisk afledt af den egyptiske skrift: koptisk Meroitisk Gammel nubisk

Litteratur i det gamle Egypten

Lærdomme	vesirens instruktion Merikars undervisning Kagemnis lære Ptahhoteps lære Fortællingen om den veltalende bonde Hetis undervisning Amenemopes lære Amenemhats lære Harjedefs Lære Loyal undervisning Refleksioner af Hahaperraceneb
Legender, profetier, klagesange	Desillusioneredes samtale med hans Ånd Sinuhes fortælling Ipuver siger Indfangning af Yupa Digt Pentaura Unu-Amons rejser Historien om Neferkare og kommandanten Sisin Strid mellem Apepi og Seqenenre Stormstele Hunger Stele Stela Bentresh Profeti af Neferti Demotisk Chronicle lammets orakel Potters orakel
Eventyr, sange	Fortællingen om de skibbrudne dødsdømt prins Sangen om Harper En fortælling om to brødre Sandhed og Falskhed Fortællingen om Kong Cheops' hof Khonsemheb og spøgelset Tales of Prince Setna (Setna II)
Afhandlinger	papyrus ahmes papyrus gør ondt Bog Kemit Egyptisk matematisk læderrulle Moskva Matematisk Papyrus Matematisk papyrus fra Lahun Berlin Papyrus 6619 Ahmim Reisner Papyrus papyrus kahuna Papyrus Edwin Smith Papyrus Ebers Papyrus London Medical Papyrus Carlsberg Beatty Brooklyn Papyrus Papyrus Brugsha Papyrus Erman X Ramesseum onomasticon
Religiøse tekster	papyrus ani Amduat Salme til Aten Papyrus Golenishcheva de dødes bog Porternes Bog Bogen om den himmelske ko Sarkofagernes tekster Evigheds rejsebog Åndedræt bøger jorden bog hulernes bog Litaniet af Ra Stele Pyramide tekster
Dokumenterne	Torino kongelige papyrus Amarna Arkiv Torino retslige papyrus Papyrus Harris Papyrus Abbott Torino papyrus kort Ptolemæiske dekreter egyptisk-hettitisk fredsaftale Stele af Merneptah Store Karnak-inskription Sten fra South Saqqara
Diverse	liste over gamle egyptiske papyrus Ismet-Ahom inskription Stockholm papyrus Torino erotisk papyrus

Klassificering af egyptiske hieroglyffer (ifølge A. H. Gardiner)

A - en mand og hans erhverv

B - kvinde og hendes erhverv

C - antropomorfe guddomme

D - dele af den menneskelige krop

E - pattedyr

F - kropsdele af pattedyr

G - fugle

H - kropsdele af fugle

I - padder og krybdyr

K - fisk og fisk kropsdele

L - hvirvelløse dyr

M - træer og planter

N - himmel, jord, vand

O - bygninger og deres dele

P - skibe og dele af skibe

Q - husholdnings- og campingredskaber

R - tempelredskaber og hellige emblemer

S - kroner, tøj, stave mv.

T - militær, jagtvåben mv.

U - værktøj til landbrug og diverse håndværk

V - kurve, tasker, rebprodukter mv.

W - sten- og lerkar

X - brød af forskellige typer

Y - skrive- og spilleudstyr, musikinstrumenter

Z - forskellige linjer og geometriske former

Aa - uklassificerbar

grammatikker

"klassisk" - A. Erman
G. Lefebvre
A.H. Gardiner

"standard" - H. Ya. Polotsky

"moderne" - J. Allen
J. Borhouts
V. Schenkel