Inverse trigonometriske funktioner

Inverse trigonometriske funktioner ( cirkulære funktioner , buefunktioner ) er matematiske funktioner , der er omvendt til trigonometriske funktioner . Inverse trigonometriske funktioner omfatter normalt seks funktioner:

bue (symbol: vinkel, hvis sinus er ) $\arcsin x;$ $x$
arccosinus (symbol: den vinkel, hvis cosinus er lig med osv.) $\arccos x;$ $x$
arctangens (symbol: ; i udenlandsk litteratur ) $\operatørnavn {arctg} x$ $\arctan x$
buetangens (symbol: ; i udenlandsk litteratur eller ) $\operatørnavn {arcctg} x$ $\operatørnavn {arccot} x$ $\operatørnavn {arccotan} x$
arcscanant (symbol: ) $\operatørnavn {arcsec} x$
arccosecant (symbol: ; i udenlandsk litteratur ) $\operatørnavn {arccosec} x$ $\operatørnavn {arccsc} x$

Navnet på den omvendte trigonometriske funktion er dannet ud fra navnet på den tilsvarende trigonometriske funktion ved at tilføje præfikset "arc-" (fra latin arc us - arc). Dette skyldes det faktum, at værdien af den omvendte trigonometriske funktion geometrisk kan associeres med længden af buen af en enhedscirkel (eller den vinkel, der ligger under denne bue) svarende til et eller andet segment. Så den sædvanlige sinus giver dig mulighed for at finde akkorden ved at trække den fra langs cirkelbuen, og den omvendte funktion løser det modsatte problem. Måden at udpege omvendte trigonometriske funktioner på denne måde dukkede op hos den østrigske matematiker fra det 18. århundrede, Karl Scherfer , og blev fastsat takket være Lagrange . For første gang blev et særligt symbol for den omvendte trigonometriske funktion brugt af Daniel Bernoulli i 1729. Indtil slutningen af det 19. århundrede tilbød de engelske og tyske matematiske skoler andre notationer: men de slog ikke rod [1] . Kun lejlighedsvis i udenlandsk litteratur, såvel som i videnskabelige/tekniske regnemaskiner, bruger de notationer som sin -1 , cos -1 for arcsine, arccosine osv. [2] - en sådan notation anses for ikke særlig bekvem, da forveksling er mulig med at hæve funktionen til potensen −1. $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin )),$

Trigonometriske funktioner er periodiske, så de funktioner, der er omvendt til dem, har flere værdier. Det vil sige, at værdien af buefunktionen er det sæt af vinkler ( buer ), for hvilke den tilsvarende direkte trigonometriske funktion er lig med et givet tal. For eksempel betyder et sæt vinkler , hvis sinus er . Fra sættet af værdier for hver buefunktion er dens hovedværdier udskilt (se grafer over hovedværdierne for buefunktionerne nedenfor), som normalt menes, når man taler om arcsine, arccosine osv. $\arcsin 1/2$ $\venstre ( \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6} \dots ~ (30 ^\cirkel, 150^\cirkel, 390^\cirkel, 510^\cirkel \dots) \right )$ $1/2$

I det generelle tilfælde, under betingelsen , kan alle løsninger af ligningen repræsenteres som [3] $-1\leqslant \alpha \leqslant 1$ $\sinx=\alpha$ $x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.$

Grundforhold

\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2))

\operatørnavn {arctg}\,x+\operatørnavn {arctg}\,x={\frac {\pi }{2))

arcsin funktion

Arcsinus for tallet x er værdien af vinklen y , udtrykt i radianer , for hvilken $\sin y=x,\quad -{\frac {\pi }{2))\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2)),\quad |x|\leqslant 1.$

Funktionen er kontinuerlig og afgrænset i hele sit definitionsdomæne. Det er strengt stigende. $y=\arcsin x$

$\sin(\arcsin x)=x\qquad$ på $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arcsin(\sin y)=y\qquad$ på $-{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},$
$D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad$ (domæne),
$E(\arcsin x)=\venstre[-{\frac {\pi }{2));{\frac {\pi}{2))\right]\qquad$ (værdiområde).

Egenskaber for arcsin-funktionen

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad$ (funktionen er ulige ).
$\arcsin x>0$ kl . $0<x\leqslant 1$
$\arcsin x=0$ på $x=0.$
$\arcsin x<0$ på $-1\leqslant x<0.$
$\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x.$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\arcsin x=\operatørnavn {arctg}{\frac {x}({\sqrt {1-x^{2))))}$
$\arcsin x=\venstre\{{\begin{matrix}\operatørnavn {arcctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad 0<x\ leqslant 1\\\operatørnavn {arcctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix }}\ret.$

Hent arcsin-funktionen

Givet en funktion . På hele dets definitionsdomæne er det stykkevis monotont , og derfor er den omvendte korrespondance på hele tallinjen ikke en funktion. Overvej derfor segmentet , hvor funktionen er strengt monotont stigende og kun tager alle værdierne af dets værdiområde én gang. Så er der en omvendt funktion på intervallet , hvis graf er symmetrisk med funktionens graf i forhold til den rette linje . $y=\sin x$ $y=\arcsin x$ $[-\pi /2;\pi /2]$ $y=\sin x$ $[-\pi /2;\pi /2]$ $y=\arcsin x$ $y=\sin x$ $y=x$

arccos funktion

Arccosinus for et tal x er værdien af vinklen y i radianmål, for hvilket $\cos y=x,\qquad 0\leqslant y\leqslant \pi ,\quad |x|\leqslant 1.$

Funktionen er kontinuerlig og afgrænset i hele sit definitionsdomæne. Det er strengt faldende og ikke-negativt. $y=\arccos x$

$\cos(\arccos x)=x$ på $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arccos(\cos y)=y$ på $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\arccos x)=[-1;1]$ (domæne),
$E(\arccos x)=[0;\pi ]$ (værdiområde).

Egenskaber for arccos-funktionen

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x.$ Funktionen er centralt symmetrisk i forhold til punktet og er indifferent (hverken lige eller ulige) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right),$
$\arccos x>0$ på $-1\leqslant x<1.$
$\arccos x=0$ på $x=1.$
$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.$
$\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin { \sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\arccos x=\operatørnavn {arcctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos x=\venstre\{{\begin{matrix}\operatørnavn {arctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad 0<x\ leqslant 1\\\pi +\operatørnavn {arctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix }}\ret.$
$\arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2))}$
$\arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2))}$
$\arccos x=2\operatørnavn {arctg}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}$

Hent arccos-funktionen

Givet en funktion . På hele dets definitionsdomæne er det stykkevis monotont , og derfor er den omvendte korrespondance på hele tallinjen ikke en funktion. Overvej derfor segmentet , hvor funktionen er strengt monotont aftagende og kun tager alle værdierne af dets værdiområde én gang. Så er der en omvendt funktion på intervallet , hvis graf er symmetrisk med funktionens graf i forhold til den rette linje . $y=\cos x$ $y=\arccos x$ $[0;\pi]$ $y=\cos x$ $[0;\pi]$ $y=\arccos x$ $y=\cos x$ $y=x$

arctg funktion

Arktangensen af tallet x er værdien af vinklen udtrykt i radianer , for hvilken $y,$ $\operatorname {tg} y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}.$

Funktionen er defineret på hele den reelle linje, kontinuerlig og afgrænset overalt. Det er strengt stigende. $y=\operatørnavn {arctg}x$

$\operatørnavn {tg}\,(\operatørnavn {arctg}\,x)=x$ på $x\in {\mathbb R},$
$\operatørnavn {arctg}\,(\operatørnavn {tg}\,y)=y$ på $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},$
$D(\operatørnavn {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty )$ (domæne),
$E(\operatørnavn {arctg}\,x)=\venstre(-{\frac {\pi}{2));{\frac {\pi}{2))\right)$ (værdiområde).

Egenskaber for arctg-funktionen

$\operatørnavn {arctg}(-x)=-\operatørnavn {arctg}x\qquad$ (funktionen er ulige ).
$\operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2))))$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\geqslant 0\ \-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\operatørnavn {arctg} x=\pi /2-\operatørnavn {arctg} x.$
$\operatørnavn {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatørnavn {arcctg} {\frac {1}{x)),\qquad x>0\\\operatørnavn {arcctg} {\ frac {1}{x}}-\pi ,\qquad x<0\end{matrix}}\right.$
${\displaystyle \operatørnavn {arctg} x=-i\operatørnavn {arth} {ix))$ , hvor er den omvendte hyperbolske tangens, areatangent . $\operatørnavn {arth}$
$\operatørnavn {arth} x=i\operatørnavn {arctg} {ix}.$

Hent funktionen arctg

Givet en funktion . Det er stykkevis monotont i hele sit definitionsdomæne , og derfor er den omvendte korrespondance ikke en funktion. Overvej derfor intervallet , hvor funktionen er strengt monotont stigende og kun tager alle værdierne af dens rækkevidde én gang. Så er der en invers funktion på intervallet, hvis graf er symmetrisk med grafen for funktionen i forhold til den rette linje . $y=\operatørnavn {tg}\,x$ $y=\operatørnavn {arctg}\,x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $y=\operatørnavn {tg}\,x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $y=\operatørnavn {arctg}\,x$ $y=\operatørnavn {tg}\,x$ $y=x$

arcctg funktion

Buetangensen af et tal x er værdien af vinklen y (i radianmål for vinkler) for hvilken $\operatørnavn {ctg} \,y=x,\quad 0<y<\pi .$

Funktionen er defineret på hele den reelle linje, kontinuerlig og afgrænset overalt. Den er strengt faldende og overalt positiv. $y=\operatørnavn {arctg}\,x$

$\operatørnavn {ctg} (\operatørnavn {arcctg} \,x)=x$ på $x\in {\mathbb R},$
$\operatørnavn {arcctg} (\operatørnavn {ctg} \,y)=y$ på $0<y<\pi ,$
$D(\operatørnavn {arcctg} x)=(-\infty ;\infty ),$
$E(\operatørnavn {arcctg} x)=(0;\pi ).$

egenskaber for arcctg-funktionen

$\operatørnavn {arcctg} (-x)=\pi -\operatørnavn {arcctg} x.$ Funktionens graf er centralt symmetrisk i forhold til punktet Funktionen er indifferent (hverken lige eller ulige) . $\venstre(0;{\frac {\pi }{2}}\højre).$
$\operatørnavn {arcctg} x>0$ for enhver $x.$
$\operatorname {arcctg} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2))))$
$\operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\geqslant 0\ \\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\operatørnavn{arctg} x = \pi/2-\operatørnavn{arctg} x.$
$\operatørnavn {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatørnavn {arctg} {\frac {1}{x)),\qquad x>0\\\operatørnavn {arctg} {\ frac {1}{x}}+\pi ,\qquad x<0\end{matrix}}\right.$

Hent funktionen arcctg

Givet en funktion . Det er stykkevis monotont i hele sit definitionsdomæne , og derfor er den omvendte korrespondance ikke en funktion. Overvej derfor intervallet , hvor funktionen falder strengt monotont og kun tager alle værdierne af dens rækkevidde én gang. Så er der en invers funktion på intervallet, hvis graf er symmetrisk med grafen for funktionen i forhold til den rette linje . $y=\operatørnavn {ctg}\,x$ $y=\operatørnavn {arctg}\,x$ $(0;\pi )$ $y=\operatørnavn {ctg}\,x$ $(0;\pi )$ $y=\operatørnavn {arctg}\,x$ $y=\operatørnavn {ctg}\,x$ $y=x$

Plottet af buetangensen fås fra plottet af buetangensen, hvis sidstnævnte reflekteres langs y-aksen (dvs. erstatte argumentets fortegn, ) og forskydes op med π / 2 ; dette følger af ovenstående formel $x\højrepil -x$ $\operatørnavn {arctg}x=\operatørnavn {arctg}(-x)+\pi /2.$

arcsec funktion

Bueskansen af et tal x er værdien af vinklen y (i radianmål for vinkler), for hvilken $\sec y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad 0\leqslant y\leqslant \pi .$

Funktionen er kontinuerlig og afgrænset i hele sit definitionsdomæne. Det er strengt stigende og overalt ikke-negativt. $y=\operatørnavn {arcsec} x$

$\sec(\operatørnavn {arcsec} x)=x$ på $|x|\geqslant 1,$
$\operatornavn {arcsec}(\sec y)=y$ på $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\operatørnavn {arcsec} x)=(-\infty ;-1]\kop [1,\infty )$ (domæne),
$E(\operatørnavn {arcsec} x)=[0;{\frac {\pi }{2)))\kop ({\frac {\pi}{2));\pi ]$ (værdiområde).

Egenskaber for arcsec-funktionen

$\operatørnavn {arcsec}(-x)=\pi -\operatørnavn {arcsec} x.$ Funktionens graf er centralt symmetrisk i forhold til punktet Funktionen er indifferent (hverken lige eller ulige) . $\venstre(0;{\frac {\pi }{2}}\højre).$
$\operatornavn {arcsec} x\geqslant 0$ for enhver $x.$
$\operatorname {arcsec} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x)),\qquad x\geqslant 1\ \\pi +\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\leqslant -1\end{matrix}}\right.$
$\operatørnavn {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\operatørnavn {arccosec} x.$
$\operatørnavn {arcsec} x=\arccos {\frac {1}{x)).$

arccosec funktion

Arccosecanten af et tal x er værdien af vinklen y (i radianmål for vinkler) for hvilken $\operatornavn {cosec} y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad -\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$

Funktionen er kontinuerlig og afgrænset i hele sit definitionsdomæne. Det er strengt faldende. $y=\operatørnavn {arccosec} x$

$\operatørnavn {cosec} (\operatørnavn {arccosec} x)=x$ på $|x|\geqslant 1,$
$\operatørnavn {arccosec} (\operatørnavn {cosec} y)=y$ på $-\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$
$D(\operatørnavn {arccosec} x)=(-\infty ;-1]\kop [1,\infty )$ (domæne),
$E(\operatørnavn {arccosec} x)=[-{\frac {\pi }{2));0)\cup (0;{\frac {\pi }{2))]$ (værdiområde).

Egenskaber for arccosec-funktionen

$\operatørnavn {arccosec} (-x)=-\operatørnavn {arccosec} x$ (funktionen er ulige ).
$\operatørnavn {arccosec} \,x=\operatørnavn {arctg} {\frac {\operatørnavn {sgn} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\venstre\{{\begin {matrix}\operatørnavn {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1\\-\operatørnavn {arctg} {\frac {1}{\ sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x<-1\end{matrix}}\right.$
$\operatornavn {arccosec} x=\pi /2-\operatørnavn {arcsec} x.$
$\operatornavn {arccosec} x=\arcsin {\frac {1}{x)).$

Udvidelse til serier

$\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{{n=0} }^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{{2n+1}}$ for alle [4] $\venstre|x\højre|\leq 1$
$\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{{n=0}}^({\infty }}{\frac {(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$ for alle $\venstre|x\højre|\leq 1$
$\displaystyle \operatørnavn {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\ sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ for alle $\left|x\right|\leq 1$

Afledninger af inverse trigonometriske funktioner

Alle inverse trigonometriske funktioner er uendeligt differentiable på hvert punkt i deres definitionsdomæne. Første afledte:

Fungere $f(x)$	Afledte $f'(x)$	Bemærk
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Bevis Du kan finde derivatet af arcsine ved hjælp af gensidigt inverse funktioner. Hvorefter vi skal tage den afledede af disse to funktioner. Nu skal vi udtrykke den afledte af arcsinus. Ud fra den trigonometriske identitet ( ) - får vi. For at forstå, at plus skal være eller minus, lad os tage et kig på hvilke værdier. Da cosinus er i 2. og 4. kvadrant, viser det sig, at cosinus er positiv. Det viser sig. $sin(arcsin((x))=x$ $[sin(arcsin((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))))$ $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))}$ $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2);-{\frac {\pi }{2))]$ ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x)))))))$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Bevis Du kan finde derivatet af arccosin ved hjælp af denne identitet: Nu finder vi derivatet af begge dele af denne identitet. Nu udtrykker vi derivatet af arccosinus. Det viser sig. $arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcsin(x))'+(arccos(x))'=0$ $(arccos(x))'=-(arcsin(x))'$ $(arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\mathrm {arctg} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2))))$	Bevis Du kan finde den afledede af buetangensen ved hjælp af den reciproke funktion: Nu finder vi den afledede af begge dele af denne identitet. Nu skal vi udtrykke den afledte af buetangensen: Nu vil identiteten ( ) komme os til hjælp : Det viser sig. $tg(arctg(x))=x$ $[tg(arctg(x))]'=1$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))))\cdot (arctg(x))'=1$ $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ ${\displaystyle cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)))))$ ${\displaystyle (arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x)))))^{2))$ ${\displaystyle (arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcctg} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2))))$	Bevis Du kan finde den afledede af den inverse tangent ved hjælp af denne identitet: Nu finder vi den afledede af begge dele af denne identitet. Nu udtrykker vi den afledede af den inverse tangent. Det viser sig. $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arctg(x))'+(arctg(x))'=0$ $(arctg(x))'=-(arctg(x))'$ ${\displaystyle (arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcsec} \ x$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bevis Du kan finde arcsekantens afledte ved hjælp af identiteten: $arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x)))$ Nu finder vi derivatet af begge dele af denne identitet. $(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x))))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2))))))\cdot (-{\frac {1 }{x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2))))))))$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Det viser sig. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arccosec} \ x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bevis Du kan finde den afledte af bue-cosecanten ved hjælp af denne identitet: Nu finder vi den afledte af begge dele af denne identitet. Nu udtrykker vi derivatet af arccosinus. Det viser sig. $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$ $(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$ $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$

Integraler af inverse trigonometriske funktioner

Ubestemte integraler

For reelle og komplekse x :

{\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2))}+C,\\\int \arccos x\,dx&{ }=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatørnavn {arctg}\,x\,dx&{}=x\,\operatørnavn {arctg }\,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatornavn {arcctg}\,x\,dx&{} =x\,\operatørnavn {arcctg}\,x+{\frac {1}{2}}\ln \venstre(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatørnavn{arcsec} x \,dx&{}=x\,\operatørnavn{arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2))}\ ,\right)\!\right)+C,\\\int \operatørnavn {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operatørnavn {arccosec}\,x+\ln \left(x\left( 1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}

For ægte x ≥ 1:

{\begin{aligned}\int \operatorname{arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname{arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\ højre)+C,\\\int \operatørnavn {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operatørnavn {arccosec}\,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}- 1}}\right)+C.\end{aligned}}

Se også Liste over integraler af inverse trigonometriske funktioner

Brug i geometri

Inverse trigonometriske funktioner bruges til at beregne vinklerne af en trekant, hvis dens sider er kendt, såsom ved at bruge cosinussætningen .

I en retvinklet trekant giver disse funktioner af forholdet mellem siderne straks vinklen. Så hvis længdebenet er modsat vinklen , så $-en$ $\alfa$

$\alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\operatørnavn {arctg} (a/b)=\operatørnavn {arccosec} (c/a)=\operatørnavn {arcsec}( c/b)=\operatørnavn {arctg} (b/a).$

Forbindelse med den naturlige logaritme

For at beregne værdierne af inverse trigonometriske funktioner fra et komplekst argument, er det praktisk at bruge formler, der udtrykker dem i form af den naturlige logaritme:

{\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi}{2}}-i\ ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatørnavn {arctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned} }

{\begin{aligned}\operatørnavn {arcctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {zi}{z}}\right)-\ ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname{arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{{-1}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left( {\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2))))}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatørnavn {arccosec}\,z&{}=\arcsin \left(z^{{-1}}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}

Se også

Noter

↑ Alexandrova N. V. Historie om matematiske termer, begreber, notation: Ordbogsopslagsbog, red. 3 . - Sankt Petersborg. : LKI, 2008. - S. 211 . - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Her definerer tegnet −1 funktionen x = f −1 ( y ), det omvendte af funktionen y = f ( x )
↑ Encyclopedic Dictionary, 1985 , s. 220.
↑ Med en værdi på x tæt på 1 giver denne beregningsformel en stor fejl. Derfor kan du bruge formlen hvor $\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},$ $\arccos x = {\pi\over 2}-\arcsin x$

Links

Weisstein, Eric W. Inverse trigonometriske funktioner hos Wolfram MathWorld .
Matematisk encyklopædi / Kap. udg. I. M. Vinogradov. - M .: "Soviet Encyclopedia", 1982. - [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0% 9D%D0%AB%D0%95 V. 3. - s. 1135].
Omvendte trigonometriske funktioner - artikel fra Great Soviet Encyclopedia . - M .: "Sovjetisk Encyklopædi", 1974. - T. 18. - s. 225.
Inverse trigonometriske funktioner // Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / Savin A.P. - M . : Pædagogik, 1985. - S. 220-221. — 352 s.
Plotning af omvendte trigonometriske funktioner online
Online lommeregner: omvendte trigonometriske funktioner

Trigonometri
Generel	Trigonometri oversigt Historie Brug Funktioner Baglæns Sjældent brugt Generaliseret trigonometri
Vejviser	Identiteter Præcise konstanter borde enhedscirkel
Love og teoremer	Sinus-sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Tangentsætning Cotangenssætning Løsning af trekanter
Matematisk analyse	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvendte funktioner ) Derivater