Ubestemt integral

Et ubestemt integral for en funktion er et sæt af alle antiderivater af en given funktion [1] . $f(x)$

Hvis funktionen er defineret og kontinuert på intervallet og er dens antiderivative, det vil sige for , så $f(x)$ $(a,b)$ $F(x)$ $F'(x)=f(x)$ $a<x<b$

\int f(x)dx=F(x)+C,

a<x<b

hvor C er en vilkårlig konstant .

De vigtigste egenskaber for det ubestemte integral er angivet nedenfor.

d\venstre(\int f(x)dx\right)=f(x)dx

\int d(F(x))=F(x)+C

\int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx,a\neq 0

\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx

Hvis , derefter og , hvor er en vilkårlig funktion, der har en kontinuerlig afledet

\int f(x)dx=F(x)+C

\int f(u)du=F(u)+C

u=\varphi (x)

Opsummering under differentialtegnet

Ved subsumering under differentialtegnet anvendes følgende egenskaber:

du=d(u+C)

du={1 \over a}d(au)

f'(u)\cdot du=d(f(u))

Grundlæggende metoder til integration

1. Metoden til at indføre et nyt argument. Hvis en

\int g(x)dx=G(x)+C,

derefter

\int g(u)du=G(u)+C,

hvor er en kontinuerligt differentierbar funktion. $u=\varphi (x)$

2. Nedbrydningsmetode. Hvis en

g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),

derefter

\int g(x)dx=\int g_{1}(x)dx+\int g_{2}(x)dx.

3. Substitutionsmetode. Hvis er kontinuerlig, så indstilling $g(x)$

x=\varphi (t),

hvor er kontinuert sammen med dets afledte , får vi $\varphi (t)$ $\varphi '(t)$

\int g(x)dx=\int g(\varphi (t))\varphi '(t)dt.

4. Metode til integration efter dele . Hvis og er nogle differentierbare funktioner af , så $u$ $v$ $x$

\int udv=uv-\int vdu.

Tabel over grundlæggende ubestemte integraler

\int 0\cdot dx=C;

\int 1\cdot dx=x+C;

\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C

(n\neq -1);

\int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;

\int e^{x}dx=e^{x}+C;

\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,

(a>0,a\neq 1);

\int \cos x\,dx=\sin x+C;

\int \sin x\,dx=-\cos x+C;

\int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;

\int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;

\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2))))=\arcsin x+C_{1}=-\arccos x+C_{2}\quad (C_{2 }={\frac {\pi }{2}}+C_{1});

\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;

\int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;

\int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;

Til venstre i hver lighed er der en vilkårlig (men bestemt) antiafledt funktion for den tilsvarende integrand, til højre - en specifik antiafledning, hvortil en konstant tilføjes , således at ligheden mellem disse funktioner er opfyldt. $C$

De primitive funktioner i disse formler er definerede og kontinuerte på de intervaller, hvorpå de tilsvarende integrander er definerede og kontinuerte. Dette mønster er ikke tilfældigt: Som nævnt ovenfor har hver funktion, der er kontinuert på et interval, en kontinuerlig antiderivativ på sig.

Se også

antiderivat
Bestemt integral
Analyses hovedsætning
Integralskilt
Integralregning
Numerisk integration
Integrationsmetoder
Liste over integraler af elementære funktioner
Tabel over integraler

Noter

↑ Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.

Litteratur

Nikolsky SM Kapitel 9. Riemanns definitive integral // Matematisk analyseforløb. - 1990. - T. 1.
Ilyin V. A., Poznyak, E. G. Kapitel 6. Ubestemt integral // Fundamentals of Mathematical Analysis. - 1998. - V. 1. - (Kursus i højere matematik og matematisk fysik).

Demidovich B.P. Afdeling 3. Ubestemt integral // Opsamling af opgaver og øvelser i matematisk analyse. - 1990. - (Kursus i højere matematik og matematisk fysik).

Links

Weisstein, Eric W. Integral (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Wolfram Integrator - beregner integraler online ved hjælp af Mathematica
Online Integrals Calculator Arkiveret 6. januar 2010 på Wayback Machine
Online integreret lommeregner med en detaljeret trin-for-trin løsning i russisk Arkiveret 29. april 2014 på Wayback Machine
Integral -artikel fra Great Soviet Encyclopedia .

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	NKC : ph123268

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler