Jordan foranstaltning

Jordan-målet er en af måderne til at formalisere begrebet længde , areal og dimensionelt volumen i det dimensionelle euklidiske rum . $n$ $n$

Definition

Jordan-målet kan defineres som det eneste endeligt additive mål, der er defineret på ringen af polytoper , og som opfylder følgende betingelser:

Målene for kongruente polytoper er ens.
Målingen af en enhedsterning er lig med én.

Den maksimale ring af sæt, som Jordan-målet kan udvides til på en unik måde, kaldes ringen af firkantede sæt .

Bygning

Jordan-målet for et parallelepipedum defineres som produktet $m\Delta$ $\Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,\;b_i]$ $\mathbb {R} ^{n}$

m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).

For et begrænset sæt er følgende defineret: $E\undersæt\R^n$

udvendig Jordan- mål $m_eE=\inf\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\supset E$
indre Jordan-foranstaltning $m_iE=\sup\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\subset E,\quad\Delta_k\cap\Delta_m = \varnothing$ , hvis $k\neq m,$

her er parallellepipeder af den ovenfor beskrevne type. $\Delta_1,\;\Delta_2,\;\ldots,\;\Delta_N$

Et sæt siges at være Jordan målbart (eller kvadratisk ), hvis . I dette tilfælde er Jordan-målet . $E$ $m_{e}E=m_{i}E$ $mE=m_{e}E=m_{i}E$

Egenskaber

Sæt, der er Jordan-målbare, danner en ring , hvor Jordan-målet er et endeligt additivt mål .
Jordan-målet er invariant under bevægelserne i det euklidiske rum.
Et sæt er Jordan målbart, hvis der for nogen findes et par polytoper og sådan $F$ $\varepsilon >0$ $P$ $Q$ $P\undersæt F\undersæt Q$ og . $mP+\varepsilon >mQ$
Et afgrænset sæt er Jordan målbart, hvis og kun hvis dets grænse har Jordan-mål nul (eller tilsvarende, når dets grænse har Lebesgue-mål nul ). Især alle sæt, hvis grænse består af et begrænset antal glatte kurver og punkter, er Jordan-målbare. Der er dog sæt afgrænset af en simpel lukket Jordan-kurve , som ikke er Jordan-målbare. $E\undersæt\R^n$
Det ydre Jordan-mål er det samme for og (lukningen af sættet ) og er lig med Borel-målet . $E$ $\bar E$ $E$ $\bar E$

Historie

Ovenstående målebegreb blev introduceret af Peano ( 1887 ) og Jordan ( 1892 ). Efterfølgende blev konceptet generaliseret af Lebesgue til en bredere klasse af sæt.

Et eksempel på et Jordan-umåleligt sæt

Overvej Jordan-målet defineret på . Lad være et sæt af punkter af et enhedssegment., være en delmængde af rationelle punkter i sættet , så vær et Jordan-umåleligt sæt, da det vil sige, at de øvre og nedre Jordan-mål ikke er sammenfaldende (selvom dette sæt er Lebesgue målbar ). $m$ $\mathbb {R}$ $A= \venstre[0, 1\højre] = \{x\i\R\kolon 0\leqslant x\leqslant 1\}$ $\mathbb {Q}$ $EN$ $\mathbb {Q}$ $m_e \Q=1,\;m_i \Q=0,\;m_e \Q\neq m_i \Q$

Litteratur

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Elementer i funktionsteori og funktionsanalyse. - udg. fjerde, revideret. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s.
Kudryavtsev L.D., Kutasov A.D. Opgavesamling i matematisk analyse, kapitel 3;
Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
Jordan, C. Journal de Mathematiques Pures et Appliquées. - 1892. - t. 8.-s. 69-99;

Se også

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler