Kurvilineært koordinatsystem

Kurvilineært koordinatsystem , eller krumlinjede koordinater , er et koordinatsystem i det euklidiske ( affin ) rum eller i det område , der er indeholdt i det. Kurvilineære koordinater er ikke i modsætning til retlinede , idet sidstnævnte er et særligt tilfælde af førstnævnte. De anvendes sædvanligvis på planet ( n =2) og i rummet ( n =3); antallet af koordinater er lig med rumdimensionen n . Det bedst kendte eksempel på et krumlinjet koordinatsystem er polære koordinater i et plan.

Lokale egenskaber for krumlinjede koordinater

Når vi betragter kurvelineære koordinater i dette afsnit, vil vi antage, at vi betragter et tredimensionelt rum ( n =3) udstyret med kartesiske koordinater x , y , z . Tilfældet med andre dimensioner adskiller sig kun i antallet af koordinater.

I tilfælde af et euklidisk rum vil den metriske tensor , også kaldet kvadratet af buedifferentialet , i disse koordinater have den form, der svarer til identitetsmatrixen:

dS^{2}={\mathbf {dx}}^{2}+{\mathbf {dy}}^{2}+{\mathbf {dz}}^{2}.

Generel sag

Lad , , være nogle krumlinjede koordinater, som vi vil betragte som givet glatte funktioner af x , y , z . For at de tre funktioner , , skal tjene som koordinater i et område i rummet, er eksistensen af en omvendt kortlægning nødvendig: $q_{1}$ $q_{2}$ $q_{3}$ $q_{1}$ $q_{2}$ $q_{3}$

\venstre\{{\begin{matrix}x=\varphi _{1}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\y=\varphi _ {2}\venstre(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\z=\varphi _{3}\left(q_{1},\;q_{ 2},\;q_{3}\right),\end{matrix}}\right.

hvor er funktioner defineret i nogle domæne af koordinatsæt. $\varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}$ $\venstre(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\højre)$

Lokal basis og tensoranalyse

I tensorregning kan du indtaste de lokale basisvektorer: , hvor er orterne af det kartesiske koordinatsystem, er Jacobi-matricen , koordinater i det kartesiske system, er de indgående kurvelineære koordinater. Det er let at se, at krumlinjede koordinater generelt ændrer sig fra punkt til punkt. Lad os angive formlerne for forbindelsen mellem kurvelineære og kartesiske koordinater: hvor , hvor E er identitetsmatrixen. Produktet af to vektorer af en lokal basis danner en metrisk matrix : ${\mathbf {R_{j))}={\frac {d{\mathbf r}}{dy^{j}}}={\frac {dx^{i}}{dy^{j}}}{ \mathbf e}_{i}=Q_{j}^{i}{\mathbf e}_{i}$ ${\mathbf e}_{i}$ $Q_{j}^{i}$ $x^{i}$ $y^{i}$

${\mathbf R}_{i}=Q_{i}^{j}{\mathbf e}_{j}$
${\mathbf e}_{i}=P_{i}^{j}{\mathbf R}_{j}$ $P_{i}^{j}Q_{j}^{i}=E$

${\mathbf R}_{i}{\mathbf R}_{j}=Q_{i}^{n}Q_{j}^{m}d_{{nm))=g_{{ij))$
${\mathbf R}^{i}{\mathbf R}^{j}=P_{n}^{i}P_{m}^{j}d^{{nm))=g^{{ij))$
$g_{{ij}}g^{{jk}}=g^{{jk}}g_{{ij}}=d_{i}^{k}$ $d_{{ij}},d^{{ij}},d_{j}^{i}$
${\mathbf T}$
${\mathbf T}=T^{{i_{1}...i_{n))}{\mathbf e}_{i}\otimes ...\otimes {\mathbf e}_{n}=T ^{{i_{1}...i_{n}}}P_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}...P_{{i_{n}}}^{{j_ {n}}}{\mathbf R}_{{j_{1}}}\otimes ...\otimes {\mathbf R}_{{j_{n}}}$

${\mathbf v}=v^{i}{\mathbf e}_{i}=v^{i}P_{i}^{j}{\mathbf R}_{j}$

Ortogonale krumlinjede koordinater

I det euklidiske rum er brugen af ortogonale krumlinjede koordinater af særlig betydning , da formler vedrørende længde og vinkler ser enklere ud i ortogonale koordinater end i det generelle tilfælde. Dette skyldes, at den metriske matrix i systemer med ortonormal basis vil være diagonal, hvilket i høj grad vil forenkle beregningerne.
Et eksempel på sådanne systemer er et sfærisk system i ${\mathbb {R}}^{3}$

Lamme odds

Vi skriver buedifferentialet i krumlinjede koordinater i formen (ved hjælp af Einsteins summeringsreglen ):

dS^{2}=\venstre({\frac {\partial \varphi _{1)){\partial q_{i))}{\mathbf {dq))_{i}\right)^{2}+ \left({\frac {\partial \varphi _{2)){\partial q_{i))}{\mathbf {dq))_{i}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial q_{i}}}{\mathbf {dq}}_{i}\right)^{2},~i=1,2,3

Under hensyntagen til ortogonaliteten af koordinatsystemer ( at ), kan dette udtryk omskrives som ${\mathbf {dq}}_{i}\cdot {\mathbf {dq}}_{j}=0$ $i \ne j$

dS^{2}=H_{1}^{2}dq_{1}^{2}+H_{2}^{2}dq_{2}^{2}+H_{3}^{2}dq_{ 3}^{2},

hvor

H_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\ partial \varphi _{2}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial q_{i}}} \right)^{2}}};\ i=1,\;2,\;3

Positive værdier afhængigt af et punkt i rummet kaldes Lame koefficienter eller skalafaktorer. Lame-koefficienterne viser, hvor mange længdeenheder der er indeholdt i koordinatenheden for et givet punkt og bruges til at transformere vektorer, når man bevæger sig fra et koordinatsystem til et andet. $Hej\$

Tensoren af den riemannske metriske, skrevet i koordinater , er en diagonal matrix , på hvis diagonal er kvadraterne af Lamé-koefficienterne: ${q_{i}}$

g_{{ii}}={H_{i}}^{2}

g_{{ij}}=0

for i ≠ j

, det er

g_{{ij}}={\begin{pmatrix}{H_{1}}^{2}&0&0\\0&{H_{2}}^{2}&0\\0&0&{H_{3}}^{2 }\end{pmatrix}}

Eksempler

Polære koordinater ( n =2)

Polære koordinater i planet omfatter afstanden r til polen (oprindelse) og retningen (vinklen) φ.

Forbindelse af polære koordinater med kartesisk:

\venstre\{{\begin{matrix}x=r\cos {\varphi };\\y=r\sin {\varphi}.\end{matrix}}\right.

Lame koefficienter:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\varphi }=r.\end{matrix))

Buedifferentiel:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}.

Ved origo er funktionen φ ikke defineret. Hvis koordinaten φ ikke betragtes som et tal, men en vinkel (et punkt på en enhedscirkel ), så danner polære koordinater et koordinatsystem i området opnået fra hele planet ved at fjerne oprindelsespunktet. Hvis φ ikke desto mindre betragtes som et tal, vil det i det udpegede område være multiværdi , og konstruktionen af et koordinatsystem strengt i matematisk forstand er kun mulig i et enkelt forbundet område, der ikke inkluderer oprindelsen af koordinater, for for eksempel på et fly uden en stråle .

Cylindriske koordinater ( n =3)

Cylindriske koordinater er en triviel generalisering af polære koordinater til tilfældet med tredimensionelt rum ved at tilføje en tredje koordinat z . Forholdet mellem cylindriske koordinater og kartesiske:

{\begin{cases}&x=r\cos {\varphi };\\&y=r\sin {\varphi };\\&z=z.\end{cases))

Lame koefficienter:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\varphi }=r;\\H_{z}=1.\end{matrix))

Buedifferentiel:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}+dz^{2}.

Sfæriske koordinater ( n =3)

Sfæriske koordinater er relateret til bredde- og længdegradskoordinater på enhedskuglen . Forbindelse af sfæriske koordinater med kartesisk:

\venstre\{{\begin{matrix}x=r\sin {\theta}\cos {\varphi};\\y=r\sin {\theta}\sin {\varphi};\\z=r\ cos {\theta }.\end{matrix}}\right.

Lame koefficienter:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\theta }=r;\\H_{\varphi }=r\sin {\theta }.\end{matrix))

Buedifferentiel:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}{\theta }d\varphi ^{2 }.

Sfæriske koordinater, ligesom cylindriske koordinater, fungerer ikke på z -aksen { x =0, y =0}, da φ-koordinaten ikke er defineret der.

Forskellige eksotiske koordinater i planet ( n =2) og deres generaliseringer

Ortogonal:

Elliptiske koordinater - kan udvides til 3 dimensioner
Parabolske koordinater - kan udvides til 3 dimensioner
Bipolære koordinater - kan udvides til 3 dimensioner
…

Andre:

…

Kurvilineære koordinater i form af differentialgeometri

Kurvilineære koordinater defineret i forskellige områder af det euklidiske (affine) rum kan betragtes som en anvendelse på rummet af begrebet en glat manifold . Nemlig hvordan man bygger et atlas over kort .

Litteratur

Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for videnskabsmænd og ingeniører). - M. : Nauka, 1974. - 832 s.

Koordinatsystemer
Navn på koordinater	Abscisse Ordinere Applikation
Typer af koordinatsystemer	Retlineært koordinatsystem Kurvilineært koordinatsystem
2D koordinater	Tokantede koordinater Bicentriske koordinater Hyperbolske koordinater Polære koordinater Bipolære koordinater Parabolske koordinater Elliptiske koordinater Tetracykliske koordinater Trilineære koordinater
3D koordinater	Cylindriske koordinater Kugleformede koordinater Bisfæriske koordinater Toroidale koordinater Cylindriske parabolske koordinater Bicylindriske koordinater Ellipsoide koordinater Koniske koordinater Pentasfæriske koordinater Dipolært koordinatsystem
$n$ -dimensionelle koordinater	Cartesiske koordinater Affine koordinater Projektive koordinater Plücker koordinater barycentriske koordinater
Fysiske koordinater	Rindler koordinater Fødte koordinater Himmelsk koordinatsystem Geografiske koordinater Hovedortodromiske koordinatsystem
Relaterede definitioner	Koordinat metode Oprindelse Koordinatakse Vektor Orth referencesystem Benchmark Lamme koefficienter Metrisk tensor