Identitetsmatrix

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. december 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Identitetsmatrixen er en kvadratisk matrix , hvis elementer i hoveddiagonalen er lig med feltenheden , og resten er lig nul.

Definition

En kvadratisk matrix af størrelse (orden) , hvor for enhver , og for enhver , kaldes ordenens identitetsmatrix [1] . $E_{n}=(e_{{ij}})$ $n$ $e_{{ii}}=1$ $i\in \overline {1,n}$ $e_{{ij}}=0$ $i\neq j$ $n$

Identitetsmatrixen kan også defineres som en matrix , hvor er Kronecker-symbolet [1] . $(e_{{ij}})$ $e_{{ij}}=\delta _{{ij}}$ $\delta _{{ij}}$

Identitetsmatrixen er et specialtilfælde af den skalære matrix .

Betegnelse

Identitetsmatrixen af størrelse betegnes normalt som: $n\ gange n$ $E_{n}$

E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix)),

En anden notation bruges også: . $I}$

Hvis det tydeligt fremgår af sammenhængen, hvilken størrelse matrixen er, så udelades subscriptet (der angiver rækkefølgen): , [1] . $E$ $jeg$

Egenskaber

Produktet af enhver matrix og en identitetsmatrix af passende størrelse er lig med selve matrixen [1] :

AE=EA=A

En kvadratisk matrix med nulpotens giver en identitetsmatrix af samme størrelse [1] :

A^{0}=E

Når man multiplicerer en matrix med dens inverse , opnås identitetsmatrixen også [2] :

AA^{-1}=A^{-1}A=E

Identitetsmatrixen opnås ved at gange en ortogonal matrix med dens transponerede matrix [3] :

AA^{T}=E

Identitetsmatrixens determinant er lig med én:

{\mathrm {det}}\,E=1

Eksempler

Førsteordens identitetsmatricer har formen

E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix)),\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),\ E_{3}={\ start{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

Noter

↑ 1 2 3 4 5 Gantmakher, 1966 , s. 24.
↑ Gantmakher, 1966 , s. 27.
↑ Gantmakher, 1966 , s. 238.

Litteratur

Gantmakher, F. R. Matrixteori . - 2. udg., tillæg .. -M .:Nauka, 1966. - 576 s.
Se referencer til lineær algebra

Se også

Nul matrix

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet