Figur otte (knutteori)

Otte

Notation
Conway	[22]
Alexander-Briggs	4 1
Dowker	4, 6, 8, 2
Polynomier
Alexander	$-t+3-t^{{-1}}$
Jones	$q^{2}-q+1-q^{{-1}}+q^{{-2}}$
Conway	${\displaystyle 1-z^{2))$
Invarianter
Arfa invariant	en
Fletningslængde	fire
Antal tråde	3
Antal broer	2
Antal film	2
Antal kryds	fire
Slægt	en
Hyperbolsk volumen	2,02988
Antal segmenter	7
Løsne nummer	en
Ejendomme
Enkel , hyperbolsk , alternerende , fuldt amfichiral , lagdelt , snoet
Mediefiler på Wikimedia Commons

I knudeteorien er ottetallet ( firedobbelt knude eller listeknude ) den eneste knude med fire skæringspunkter . Dette er det mindste antal mulige kryds, bortset fra den trivielle knude og trefoilen . Tallet otte er en simpel knude . Først overvejet ved Notering i 1847 .

Navnets oprindelse

Navnet kommer fra den hjemlige figur -på- otte knude på et reb, hvis ender er forbundet.

Beskrivelse

En simpel parametrisk repræsentation af knude på ottetal er givet af et sæt punkter ( x , y , z ) for hvilke

{\begin{aligned}x&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\cos {(3t)}\\y&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\ sin {(3t)}\\z&=\sin {(4t)}\end{aligned}}

hvor t er en reel variabel.

Tallet otte er en simpel , alternerende , rationel node med en tilsvarende værdi på 5/2. Det er også en achiral node . Ottetallet er en lagdelt knude. Dette følger af en anden, mindre enkel (men mere interessant) repræsentation af en node:

Knuden er en homogen [1] lukket fletning (nemlig lukningen af en fletning med 3 tråde σ 1 σ 2 −1 σ 1 σ 2 −1 ), og John Stallings ' sætning viser, at enhver homogen fletning er fibret .
Knuden er et led ved (0,0,0,0), et isoleret kritisk punkt på et reelt polynomiumkort F : R 4 → R 2 , således at (ifølge John Milnors sætning ) Milnor- kortet F er et bundt. Bernard Perron fandt den første funktion F for denne knude, nemlig:

F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),

hvor

{\begin{aligned}G(x,y,z,t)=\ &(z(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+x(6x ^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2}),\\&\ tx{\sqrt {2}}+y(6x^{2}-2y^{2} -2z^{2}-2t^{2})).\end{aligned}}

Egenskaber

Den ottende knude spillede en historisk vigtig rolle (og fortsætter med at spille den) i teorien om 3-manifolds . Engang i midten af 1970'erne viste William Thurston , at ottetallet var en hyperbolsk knude ved at nedbryde dens komplement til to perfekte hyperbolske tetraedre (Robert Riley og Troels Jørgensen, der arbejdede uafhængigt, havde tidligere vist, at ottetallet var hyperbolsk i en anden følelse). Denne konstruktion, ny på det tidspunkt, førte ham til mange kraftfulde resultater og metoder. For eksempel var han i stand til at vise, at alle på nær ti af Dehns operationer på figur-otte knude giver ikke-Hacken uopløselige 3-manifolds , der ikke tillader en Seifert-fibrering . Dette var det første sådan resultat. Mange andre blev opdaget ved at generalisere Thurstons konstruktion til andre knob og led.

Tallet otte er også en hyperbolsk knude med det mindst mulige volumen på 2.029 88... ifølge arbejdet af Cho Chun og Robert Meyerhoff. Fra dette synspunkt kan ottetallet betragtes som den enkleste hyperbolske knude. G-8-komplementet er et dobbeltdæksel af Gieseking-manifolden , som har det mindste volumen blandt ikke-kompakte hyperbolske 3-manifolds.

Den ottende knude og blondeknuden (−2,3,7) er to hyperbolske knuder, for hvilke der kendes mere end seks specielle operationer , Dehn-operationerne, der fører til ikke-hyperbolske 3-manifolds. De har henholdsvis 10 og 7. Lackenby og Meyerhofs sætning, hvis bevis er baseret på geometriseringssætningen og brugen af computerberegninger , siger, at 10 er det maksimalt mulige antal enkeltoperationer for enhver hyperbolsk knude. Det er dog endnu ikke fastslået, om otteren er den eneste knude, som grænsen 10 nås ved. En velkendt formodning siger, at den nedre grænse (bortset fra de to nævnte knudepunkter) er 6.

Tallet otte danner en singularitet i den euklidiske rumfaktor ved virkningen af P213 . Desuden er ottetallet den eneste knude, der danner en singularitet i den euklidiske rumfaktor over de krystallografiske grupper.

Invarianter

Alexanderpolynomiet på otte er

\Delta (t)=-t+3-t^{{-1}},\

Conway polynomiet er

\nabla (z)=1-z^{2},\

[2]

og Jones-polynomiet er

V(q)=q^{2}-q+1-q^{{-1}}+q^{{-2}}.\

Symmetrien med hensyn til og i Jones polynomiet afspejler akiraliteten af ottetallet. $q$ $q^{{-1}}$

Noter

↑ En fletning kaldes homogen, hvis en generator enten altid er positiv eller altid negativ. $\sigma_i$
↑ 4_1 Arkiveret 9. februar 2006 på Wayback Machine Knot Atlas

Litteratur

Ian Agol. Grænser for exceptionel Dehn-fyldning // Geometri & Topologi . - 2000. - T. 4 . — S. 431–449 . MR : 1799796
Chun Cao, Robert Meyerhoff. De orienterbare spidse hyperbolske 3-manifolds med minimum volumen // Inventiones Mathematicae . - 2001. - T. 146 , udg. 3 . MR : 1869847
Marc Lackenby. Word hyperbolsk Dehn-kirurgi // Inventiones Mathematicae . - 2000. - T. 140 , Nr. 2 . — S. 243–282 . MR : 1756996
Det maksimale antal ekstraordinære Dehn-operationer. - arXiv : 0808.1176 .
Robion Kirby. Problemer i lavdimensionel topologi. (se opgave 1.77, på grund af Cameron Gordon , for ekstraordinære skråninger)
William Thurston. Tre-manifoldernes geometri og topologi. - Forelæsningsnotater fra Princeton University (1978-1981).

Links

4_1 Arkiveret 9. februar 2006 på Wayback Machine Knot Atlas
Weisstein, Eric W. Figur otte knude hos Wolfram MathWorld .

Teori om knob og led
Hyperbolsk	Otte (4 1 ) Tre halve omgange (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par Percos (10 161 ) Blonder (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromæiske ringe (63 2) L10a140
satellit	Sammensatte ( babiy ) lige Summen af knob
torisk	Trivielt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Frakoblet (02 1) Hopf (22 1) Salomon (42 1)
Invarianter	skiftevis Arfa invariant Antal broer ( 2-broer ) Brunnsk link Chiralitet ( reversibel ) Antal film Antal kryds Vasiliev invariant Hyperbolsk volumen Khovanovs homologi Slægt Nodegruppe Gear gruppe Gearforhold Polynomier ( Alexander Kauffman beslag HØFLIGT Jones Kaufman ) Blondeforlovelse Simpel knude ( liste ) Antal segmenter Antal trefarvede farver Antallet af og opgaven med afbinding
Notation og operationer	Alexander-Briggs notation Conway notation Docker-notation Mutation Reidemeister-bevægelsen Skene forhold
Andet	Alexanders teorem Berge knude fletningsteori Conway sfære Node færdiggørelse Dobbelt torus knude Lagdelt knude Tape Skære Summen af knob Tates hypoteser Snoet Vild Twist nummer Seifert overflade