Chiral knude

I knudeteori er en chiral knude  en knude , der ikke svarer til sit spejlbillede. En orienteret knude svarende til dens spejlbillede kaldes en amfichiral knude eller achiral knude . En knudes chiralitet er knudeinvarianten . Kiraliteten af ​​knuder kan yderligere klassificeres efter, om den er reversibel eller ej.

Der er kun 5 typer knudesymmetrier defineret af chiralitet og reversibilitet - fuldt chiral, reversibel, positiv amfikiral irreversibel, negativ amfikiral irreversibel og fuldt amfikiral reversibel [1] .

Baggrund

Kiraliteten af ​​nogle knob har længe været mistænkt og bevist af Max Dehn i 1914. P. G. Tet formodede, at alle amfichirale knob har et lige antal kryds , men Morven Thisluit fandt i 1998 et modeksempel [2] . Imidlertid er Tates formodning blevet bevist for simple vekslende knuder [3] .

• Begge mulige shamrocks .

• Venstre shamrock.

• Den rigtige shamrock.

Den enkleste chirale knude er trefoilen , hvis chiralitet blev vist af Max Dehn . Alle torusknuder er chirale. Alexander-polynomiet kan ikke bestemme chiraliteten af ​​en knude, men Jones-polynomiet kan i nogle tilfælde. Hvis V k ( q ) ≠  V k ( q −1 ), så er knuden chiral, men det modsatte er ikke nødvendigvis sandt. HOMFLY-polynomiet genkender chiralitet endnu bedre, men der kendes endnu ikke nogen polynomisk knude-invariant , der fuldstændigt ville definere chiralitet [4] .

Bilateral knude

En reversibel chiral knude kaldes en bilateral [5] . Blandt eksemplerne på dobbeltsidede knuder er trefoilen.

Fuldstændig chiral knude

Hvis en node ikke er ækvivalent med hverken dens inverse eller dens spejlbillede, kaldes den fuldt chiral, et eksempel er 9 32 [5] noden .

Amfichiral knude

En amfichiral knude er en knude, der har en α 3-sfære autohomeomorfisme , der vender orienteringen og fikserer knuden som et sæt.

Alle amfichirale alternerende har et lige antal kryds . Den første amfichirale knude med et ulige antal krydsninger, nemlig 15 krydsninger, blev fundet af Hoste et al. [3]

Fuld amfichirality

Hvis en knude er isotopisk i forhold til sin inverse og dens spejlbillede, siges den at være fuldt amfikiral. Den enkleste knude med denne egenskab er ottetallet .

Positiv amfikiralitet

Hvis en autohomeomorfisme α bevarer knudeorienteringen, taler man om positiv amfikiralitet. Dette svarer til nodens isotop til dets spejlbillede. Ingen af ​​knudepunkterne med mindre end tolv skæringspunkter er positivt amfikirale [5] .

Negativ amfikiralitet

Hvis en autohomeomorfisme α vender orienteringen af ​​en knude, taler man om negativ amfikiralitet. Dette svarer til isotopiteten af ​​knuden i omvendt spejlbillede. Noden med denne egenskab med det mindste antal kryds er 8 17 [5] .

Noter

1. ↑ Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998 , s. 33-48.
2. ↑ Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. " Historien om knudeteori og visse anvendelser af knuder og links Arkiveret 20. august 2011 på Wayback Machine " , LinKnot .
3. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot  (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet . Tilgået: 5. maj 2013.
4. ↑ "Chirality of Knots 9 42 and 10 71 and Chern-Simons Theory" af P. Ramadevi, TR Govindarajan og RK Kaul
5. ↑ 1 2 3 4 Three Dimensional Invariants Knot Atlas

Litteratur

• Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. De første 1.701.936 knob // The Mathematical Intelligencer. - 1998. - T. 20 , no. 4 . - doi : 10.1007/BF03025227 . Arkiveret fra originalen den 15. december 2013.