Liste over krystallografiske grupper

Krystallografiske grupper eller Fedorov-grupper - et sæt symmetrigrupper , der beskriver alle mulige symmetrier af et uendeligt antal periodisk placerede punkter i tredimensionelt rum. Denne klassificering af symmetrier blev lavet uafhængigt og næsten samtidigt af den russiske matematiker Fedorov og den tyske matematiker Schoenflies . Den opnåede information spiller en vigtig rolle i krystallografi .

Forklaring til listen

Hermans symbol er Mogen

Mellemrumsgruppesymbolet indeholder Bravais-gittersymbolet (det store bogstav P, A, B, C, I, R eller F) og det internationale punktgruppesymbol. I dette tilfælde kan symbolerne for akserne og symmetriplanerne i symbolet ændres til symbolerne for spiralakser og glideplaner i overensstemmelse med deres tilstedeværelse i dette særlige krystalrum. Symbolerne på Bravais-gitteret formidler dens type centrering:

P - primitiv;
I - kropscentreret (yderligere knude i midten af cellen);
F - ansigtscentreret (yderligere noder i midten af alle ansigter).
C, A eller B - basecentreret (en ekstra knude i midten af ansigtet C, A eller B). Gitter af type A og B kaldes også sidecentreret;
R - dobbelt kropscentreret (to yderligere noder på cellens store diagonal).

Klasser

For at udpege krystallografiske klasser ( punktgrupper ) accepteres følgende betegnelser (her erstatter bogstavet n et naturligt tal, og bogstavet m står for selve bogstavet m ):

$n$ er symmetriaksen af n . orden.
$\lade}$ er inversionssymmetriaksen af n'te orden.
$m$ er symmetriplanet.
$nm$ eller - symmetriaksen af n . orden og n symmetriplaner, der passerer langs den. $mm$
${\frac {n}{m))$ er symmetriaksen af orden n og symmetriplanet vinkelret på den.
$n2$ er en symmetriakse af orden n og n akser af anden orden vinkelret på den.
$n/mmm$ - symmetriakse af n'te orden og planer parallelt og vinkelret på den.
${\bar {n}}m2$ eller ( n - lige) - inversionssymmetriakse af n . orden, symmetriplaner, der passerer langs den, og akser af anden orden, vinkelret på den. ${\bar {n}}2m$ ${\tfrac {n}{2))$ ${\tfrac {n}{2))$
${\bar {n}}m$ ( n - ulige) - inversion af symmetriakse af n'te orden, n symmetriplaner, der passerer langs den, og n akser af anden orden, vinkelret på den.

Skoenfluers symbol

C n - cykliske grupper - grupper med en enkelt speciel retning repræsenteret af en rotationssymmetriakse - er angivet med bogstavet C , med et underskrift n svarende til rækkefølgen af denne akse.

Med ni - er grupper med en enkelt inversionssymmetriakse ledsaget af en underskrift i.
C nv (fra tysk vertikal - vertikal) - har også et symmetriplan placeret langs den eneste symmetriakse eller hovedakse, som altid er tænkt som lodret.
C nh (fra tysk vandret - vandret) - har også et symmetriplan vinkelret på symmetriens hovedakse.

S 2 , S 4 , S 6 (fra tysk spejl - spejl) - grupper med en enkelt spejlsymmetriakse.

C s - for et plan med ubestemt orientering, det vil sige ikke fast på grund af fraværet af andre symmetrielementer i gruppen.

D n - er en C n gruppe med yderligere n symmetriakser af anden orden, vinkelret på den oprindelige akse.

D nh - har også et vandret symmetriplan.
D nd (fra tysk diagonal - diagonal) - har også lodrette diagonale symmetriplaner, der går mellem symmetriakserne af anden orden.

O, T - symmetrigrupper med flere akser af højere orden - grupper af kubisk syngoni. De er angivet med bogstavet O, hvis de indeholder det fulde sæt af symmetriakser i oktaederet, eller med bogstavet T, hvis de indeholder det fulde sæt af symmetriakser i tetraederet.

O h og T h - indeholder også et vandret symmetriplan
T d - indeholder også et diagonalt symmetriplan

n kan være 1, 2, 3, 4, 6.

Liste over alle 230 grupper

Nummer	Klasse	Antal grupper	Symbol for Herman-Mogen	Skoenfluer symbol	Billede
triklinisk system
en	$en$	en	$P1$	$C_{1}$
2	${\bar {1}}$	en	$P{\bar {1}}$	$C_{i}$
Monoklinisk system
3-5	$2$	3	$P2$ $P2_{1}$ $C2$	$C_{2}$	Udadtil har en person symmetri. $C_{s}$
6-9	$m$	fire	$Pm$ $pc$ $cm$ $Cc$	$C_{s}$
10-15	$2/m$	6	$P2/m$ $P2_{1}/m$ $C2/m$ $P2/c$ $P2_{1}/c$ $C2/c$	${\displaystyle C_{2h))$
Rhombisk system
16-24	$222$	9	$P222$ ${\displaystyle P222_{1))$ $P2_{1}2_{1}2$ $P2_{1}2_{1}2_{1}$ $C222_{1}$ $C222$ $F222$ $I222$ $I2_{1}2_{1}2_{1}$	$D_{2}$	Skinnerne er symmetriske. $C_{{2v}}$
25 - 46	$mm2$	22	$Pmm2$ ${\displaystyle Pmc2_{1))$ $Pcc2$ $Pma2$ ${\displaystyle Pca2_{1))$ $Pnc2$ ${\displaystyle Pmn2_{1))$ $Pba2$ $Pna2_{1}$ $Pnn2$ $Cmm2$ ${\displaystyle Cmc2_{1))$ $Ccc2$ $Amm2$ $Aem2$ $Ama2$ $Aea2$ $Fmm2$ $Fdd2$ $Imm2$ $Iba2$ $Ima2$	$C_{{2v}}$
47-74	$hmmm$	28	$Pmmm$ $Pnnn$ $PCCM$ $Pban$ $Pma$ $Pnna$ $Pmna$ $Pcca$ $Pbam$ $Pccn$ $Pbcm$ $Pnnm$ $Pmmn$ $Pbcn$ $Pbca$ $pnma$ $cmcm$ $cmce$ $Cmmm$ $Cccm$ $cmme$ $Ccce$ $Fmmm$ $Fddd$ $Immm$ $Ibam$ $Ibca$ $Imma$	${\displaystyle D_{2t))$
Tetragonalt system
75-80	$fire$	6	$P4$ $P4_{1}$ ${\displaystyle P4_{2))$ ${\displaystyle P4_{3))$ $I4$ $I4_{1}$	$C_{4}$	$C_{4}$ Symmetri.
81-82	${\bar {4}}$	2	$P{\bar {4))$ $I{\bar {4))$	$S_{4}$
83-88	$4/m$	6	$P4/m$ $P4_{2}/m$ $P4/n$ $P4_{2}/n$ $I4/m$ $I4_{1}/a$	${\displaystyle C_{4h))$
89-98	$422$	ti	$P422$ $P42_{1}2$ $P4_{1}22$ $P4_{1}2_{1}2$ $P4_{2}22$ $P4_{2}2_{1}2$ $P4_{3}22$ $P4_{3}2_{1}2$ $I422$ $I4_{1}22$	${\displaystyle D_{4))$
99-110	$4 mm$	12	$P4mm$ $P4bm$ $P4_{2}cm$ $P4_{2}nm$ $P4cc$ $P4nc$ $P4_{2}mc$ $P4_{2}bc$ $I4mm$ $I4cm$ $I4_{1}md$ $I4_{1}cd$	${\displaystyle C_{4v))$
111-122	${\bar {4}}2m$	12	$P{\bar {4}}2m$ $P{\bar {4}}2c$ $P{\bar {4}}2_{1}m$ $P{\bar {4}}2_{1}c$ $P{\bar {4}}m2$ $P{\bar {4}}c2$ $P{\bar {4}}b2$ $P{\bar {4}}n2$ $I{\bar {4}}m2$ $I{\bar {4}}c2$ $I{\bar {4}}2m$ $I{\bar {4}}2d$	${\displaystyle D_{2d))$
123-142	$4/mmm$	tyve	$P4/mmm$ $P4/mcc$ $P4/nbm$ $P4/nnc$ $P4/mbm$ $P4/mnc$ $P4/nmm$ $P4/ncc$ $P4_{2}/mmc$ $P4_{2}/mcm$ $P4_{2}/nbc$ $P4_{2}/nnm$ $P4_{2}/mbc$ $P4_{2}/mnm$ $P4_{2}/nmc$ $P4_{2}/ncm$ $I4/mmm$ $I4/mcm$ $I4_{1}/amd$ $I4_{1}/acd$	${\displaystyle D_{4h))$	Krystalgitteret af zirkon har symmetri. $I4_{1}/amd$
Trigonalt system
143-146	$3$	fire	$P3$ $P3_{1}$ $P3_{2}$ $R3$	$C_{{3}}$	Borazan - molekylet har symmetri. ${\displaystyle C_{3v))$
147-148	${\bar {3}}$	2	$P{\bar {3))$ $R{\bar {3))$	${\displaystyle C_{3i))$
149-155	$32$	7	$P312$ $P321$ $P3_{1}12$ $P3_{1}21$ $P3_{2}12$ $P3_{2}21$ $R32$	${\displaystyle D_{3))$
156-161	$3m$	6	$P3m1$ $P31m$ $P3c1$ $P31c$ $R3m$ $R3c$	${\displaystyle C_{3v))$
162-167	${\bar {3}}m$	6	$P{\bar {3}}1m$ $P{\bar {3}}1c$ $P{\bar {3}}m1$ $P{\bar {3}}c1$ $R{\bar {3}}m$ $R{\bar {3}}c$	${\displaystyle D_{3d))$
Sekskantet system
168-173	$6$	6	$P6$ $P6_{1}$ $P6_{5}$ $P6_{2}$ ${\displaystyle P6_{4))$ $P6_{3}$	$C_{6}$	Honningkager er symmetriske. $C_{{6t}}$
174	${\bar {6}}$	en	$P{\bar {6}}$	${\displaystyle C_{3h))$
175-176	$6/m$	2	$P6/m$ $P6_{3}/m$	$C_{{6t}}$
177-182	$622$	6	$P622$ $P6_{1}22$ $P6_{5}22$ $P6_{2}22$ $P6_{4}22$ $P6_{3}22$	$D_{6}$	Et nanorør kan have symmetri. ${\displaystyle D_{6t))$
183-186	$6 mm$	fire	$P6mm$ $P6cc$ $P6_{3}cm$ $P6_{3}mc$	$C_{6v}$
187-190	${\bar {6}}m2$	fire	$P{\bar {6}}m2$ $P{\bar {6}}c2$ $P{\bar {6}}2m$ $P{\bar {6}}2c$	${\displaystyle D_{3t))$
191-194	$6/mmmm$	fire	$P6/mmm$ $P6/mcc$ $P6_{3}/mcm$ $P6_{3}/mmc$	${\displaystyle D_{6t))$
Kubisk system
195-199	$23$	5	$P23$ $F23$ $I23$ $P2_{1}3$ $I2_{1}3$	$T$	Strukturen af en diamant er symmetrisk. $Fd{\bar {3}}m$
200-206	$m{\bar {3))$	7	$Pm{\bar {3))$ $Pn{\bar {3}}$ $Fm{\bar {3))$ $Fd{\bar {3))$ $Im{\bar {3}}$ $Pa{\bar {3))$ $Ia{\bar {3))$	$T_{h}$
207-214	$432$	otte	$P432$ $P4_{2}32$ $F432$ $F4_{1}32$ $I432$ $P4_{3}32$ $P4_{1}32$ $I4_{1}32$	$O$
215-220	${\bar {4}}3m$	6	$P{\bar {4}}3m$ $F{\bar {4}}3m$ $I{\bar {4}}3m$ $P{\bar {4}}3n$ $F{\bar {4}}3c$ $I{\bar {4}}3d$	${\displaystyle T_{d))$
221-230	$m{\bar {3}}m$	ti	$Pm{\bar {3}}m$ $Pn{\bar {3}}n$ $Pm{\bar {3}}n$ $Pn{\bar {3}}m$ $Fm{\bar {3}}m$ $Fm{\bar {3}}c$ $Fd{\bar {3}}m$ $Fd{\bar {3}}c$ $Im{\bar {3}}m$ $Ia{\bar {3}}d$	$O_{h}$

I andre dimensioner

Periodiske strukturer i et-dimensionelt rum har kun to typer symmetri. De kan illustreres med karaktersekvenser:

... *- *- *- *- *- *- *- ... ... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| ..

Den første uendelige sekvens er kun symmetrisk med hensyn til translation (med tre symboler), den anden sekvens er også symmetrisk med hensyn til refleksion.

I todimensionelt rum er der 17 typer symmetri af periodiske strukturer.

Antallet af symmetrigrupper i et vilkårligt n-dimensionelt rum er beskrevet af sekvensen A006227 .

Efterfølgende klassifikation

Grupper kan opdeles i symmorfe og ikke-symmorfe. Symmorfe symmetrier er dem, der kan dannes ved rotation omkring akserne, samt refleksion fra planer, der alle passerer gennem ét punkt. Symmorfe rumgrupper indeholder som undergrupper punktsymmetrigrupper svarende til den klasse, som den givne rumgruppe tilhører.

Alle 230 grupper kan inddeles i 32 klasser. Hver klasse har en symmetri, der efterlader mindst ét punkt i rummet fast. Antallet af elementer i klasserne varierer fra 1 til 28.

Klasser kan opdeles i systemer ( syngonies ). Der er 7 syngonier. Hver syngony har mindst én grænsegruppe .

Se også

Litteratur

Internationale tabeller for krystallografi. Bind A: Rumgruppesymmetri / Redigeret af MI Aroyo. - International Union of Crystallography, 2016. - ISBN 978-0-470-97423-0 .