Vektor (geometri)

En vektor er et rettet stykke af en ret linje, det vil sige et stykke, for hvilket det er angivet, hvilket af dets grænsepunkter, der er begyndelsen, og hvilket er slutningen [1] .

En vektor, der starter ved et punkt og slutter ved et punkt , betegnes normalt som . Vektorer kan også betegnes med små latinske bogstaver med en pil (nogle gange en bindestreg) over dem, f.eks . En anden almindelig notation er at skrive vektortegnet med almindelig fed skrift: . $EN$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ ${\vec {a}}$ ${\mathbf {a}}$

En vektor i geometri er naturligt forbundet med en overførsel ( paralleloverførsel ), som tydeligvis tydeliggør oprindelsen af dens navn ( lat. vektor , bærer ). Så hvert rettet segment definerer entydigt en slags parallel translation af planet eller rummet: sige, vektoren bestemmer naturligt translationen, hvor punktet går til punktet , og omvendt den parallelle translation, hvor det går til , definerer et enkelt rettet segment (det eneste - hvis vi betragter alle rettede segmenter med samme retning og længde - det vil sige, betragter dem som frie vektorer ; ja, med parallel overførsel er alle punkter forskudt i samme retning med samme afstand , så i denne forstand ). $\overrightarrow {AB}$ $EN$ $B$ $EN$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {A_{1}B_{1}}=\overrightarrow {A_{2}B_{2}}=\overrightarrow {A_{3}B_{3}}=\dots$

Fortolkningen af en vektor som en oversættelse giver os mulighed for at introducere operationen af vektoraddition på en naturlig og intuitivt indlysende måde - som en sammensætning (successiv anvendelse) af to (eller flere) oversættelser; det samme gælder for operationen med at gange en vektor med et tal.

Grundlæggende begreber

En vektor er et rettet segment konstrueret ud fra to punkter, hvoraf det ene betragtes som begyndelsen og det andet som slutningen.

Vektorkoordinaterne er defineret som forskellen mellem koordinaterne for dets slut- og startpunkter. For eksempel, på koordinatplanet, hvis koordinaterne for begyndelsen og slutningen er givet: og , så vil vektorens koordinater være: . $T_{1}=(x_{1},y_{1})$ $T_{2}=(x_{2},y_{2})$ ${\overrightarrow {V}}=T_{2}-T_{1}=(x_{2},y_{2})-(x_{1},y_{1})=(x_{2} -x_{1},y_{2}-y_{1})$

Længden af en vektor er afstanden mellem to punkter og , det er normalt angivet ${\overrightarrow {V}}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $|{\overrightarrow {V}}|=|T_{2}-T_{1}|=|(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})|={ \sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

Rollen som nul blandt vektorerne spilles af nulvektoren , hvis begyndelse og slutning falder sammen ; den, i modsætning til andre vektorer, er ikke tildelt nogen retning [2] . $T_{1}=T_{2}$

For koordinatrepræsentationen af vektorer er begrebet projektion af en vektor på en akse (rettet linje, se figur) af stor betydning . Projektionen er længden af segmentet dannet af projektionerne af punkterne i begyndelsen og slutningen af vektoren på en given ret linje, og projektionen tildeles et plustegn, hvis retningen af projektionen svarer til aksens retning , ellers - et minustegn. Projektionen er lig med længden af den oprindelige vektor ganget med cosinus af vinklen mellem den oprindelige vektor og aksen; projektionen af vektoren på aksen vinkelret på den er lig med nul.

Ansøgninger

Vektorer er meget brugt i geometri og anvendt videnskab, hvor de bruges til at repræsentere størrelser, der har retning (kræfter, hastigheder osv.). Brugen af vektorer forenkler en række operationer - for eksempel at bestemme vinklerne mellem rette linjer eller segmenter, beregne arealer af figurer . I computergrafik bruges normale vektorer til at skabe den korrekte belysning til en krop. Brugen af vektorer kan være grundlaget for koordinatmetoden .

Typer af vektorer

Nogle gange, i stedet for at betragte sættet af alle rettede segmenter som vektorer (at betragte alle rettede segmenter, hvis begyndelse og slutning ikke falder sammen), tager man kun en vis modifikation af dette sæt ( faktorsæt ), dvs. nogle rettede segmenter betragtes som forskellige. lig, hvis de har samme retning og længde, selvom de kan have en anden begyndelse (og slutning), dvs. rettede segmenter af samme længde og retning anses for at repræsentere den samme vektor; således viser hver vektor sig at svare til en hel klasse af rettede segmenter, identiske i længde og retning, men forskellige i begyndelse (og slutning).

Så de taler om "frie" , "glidende" og "faste" vektorer . Disse typer adskiller sig i begrebet lighed mellem to vektorer.

Når vi taler om frie vektorer, identificeres alle vektorer, der har samme retning og længde;
når vi taler om glidende vektorer, tilføjer de, at begyndelsen af ens glidende vektorer skal falde sammen eller ligge på den samme rette linje, som de rettede segmenter, der repræsenterer disse vektorer, ligger (så den ene kan kombineres med en anden forskydning i den retning, den selv sætter );
når vi taler om faste vektorer, siger de, at kun vektorer, der har samme retning og oprindelse, betragtes som ens (det vil sige, i dette tilfælde er der ingen faktorisering: der er ikke to faste vektorer med forskellig oprindelse, der ville blive betragtet som ens).

Formelt:

De siger, at frie vektorer og er lige, hvis der er punkter og sådan, at firkanter og er parallelogrammer . $\overrightarrow {AB}$ $\\overhøjrepil {CD}$ $E$ $F$ $ABFE$ $CDFE$

De glidende vektorer og siges at være lig if $\overrightarrow {AB}$ $\\overhøjrepil {CD}$

punkter er på samme linje $A,B,C,D$
vektorer og er lig med hinanden som frie vektorer. $\overrightarrow {AB}$ $\\overhøjrepil {CD}$

Glidende vektorer er især nyttige i mekanik . Det enkleste eksempel på en glidende vektor i mekanik er en kraft, der virker på en stiv krop. Overførsel af kraftvektorens oprindelse langs den rette linje, som den ligger på, ændrer ikke kraftmomentet omkring noget punkt; at overføre den til en anden ret linje, selvom du ikke ændrer størrelsen og retningen af vektoren, kan forårsage en ændring i dens moment (selv næsten altid vil): Derfor, når du beregner momentet, kan du ikke betragte kraften som en fri vektor, det vil sige, du kan ikke betragte det som anvendt på et vilkårligt punkt i en fast krop.

Vi siger, at faste vektorer og er lige, hvis punkterne og og og falder sammen i par . $\overrightarrow {AB}$ $\\overhøjrepil {CD}$ $EN$ $C$ $B$ $D$

I et tilfælde kaldes et rettet segment en vektor, og i andre tilfælde er forskellige vektorer forskellige ækvivalensklasser af rettede segmenter, defineret af en specifik ækvivalensrelation . Ydermere kan ækvivalensrelationen være forskellig, idet den bestemmer typen af vektoren ("fri", "fast" osv.). Enkelt sagt, inden for en ækvivalensklasse behandles alle rettede segmenter, der er inkluderet i den, som fuldstændig lige, og hver kan repræsentere hele klassen lige meget.

Alle operationer på vektorer (addition, multiplikation med et tal, skalar- og vektorprodukter, beregning af modul eller længde, vinkel mellem vektorer osv.) er i princippet defineret ens for alle typer vektorer, forskellen i typer reduceres i kun i denne henseende med hensyn til glidende og faste vektorer, er der pålagt en begrænsning af muligheden for at udføre operationer mellem to vektorer, der har forskellig oprindelse (f.eks. for to faste vektorer er addition forbudt - eller meningsløs - hvis deres begyndelse er forskellig; dog , for alle tilfælde, hvor denne operation er tilladt - eller har betydning er den samme som for frie vektorer). Derfor er typen af en vektor ofte slet ikke eksplicit angivet, det antages, at det er indlysende ud fra konteksten. Desuden kan den samme vektor, afhængigt af problemets kontekst, betragtes som fast, glidende eller fri, for eksempel i mekanik kan vektorerne af kræfter påført et legeme summeres uanset anvendelsespunktet, når man finder resulterer i studiet af massecentrets bevægelse, ændringer i momentum osv.), men kan ikke føjes til hinanden uden at tage hensyn til anvendelsespunkterne ved beregning af drejningsmomentet (også i statik og dynamik).

Relationer mellem vektorer

To vektorer kaldes kollineære , hvis de ligger på parallelle linjer eller på samme linje. To vektorer siges at være codirectional , hvis de er kollineære og peger i samme retning, modsat rettede , hvis de er collineære og peger i forskellige retninger. Der er en anden definition: to ikke-nul vektorer og kaldes collineære, hvis der findes et tal , således at [3] Tre vektorer kaldes coplanar , hvis de, reduceret til en fælles oprindelse, ligger i samme plan [3] . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ $\alfa$ ${\vec {a}}=\alpha {\vec {b}}$

Koordinat repræsentation

Når man arbejder med vektorer, introduceres ofte et bestemt kartesisk koordinatsystem, og vektorens koordinater bestemmes i det, og dekomponerer det til basisvektorer . Udvidelse i form af basis kan repræsenteres geometrisk ved hjælp af projektioner af vektoren på koordinatakserne. Hvis koordinaterne for begyndelsen og slutningen af vektoren er kendt, fås koordinaterne for selve vektoren ved at trække koordinaterne for dens begyndelse fra koordinaterne for enden af vektoren.

\overrightarrow {AB}=(AB_{x},AB_{y},AB_{z})=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_ {z})

Som grundlag vælges ofte koordinatvektorer , henholdsvis betegnet med akserne . Så kan vektoren skrives som ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ $x,y,z$ ${\vec {a}}$

{\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}

Enhver geometrisk egenskab kan skrives i koordinater, hvorefter undersøgelsen fra den geometriske bliver algebraisk og samtidig ofte forenklet. Det modsatte er generelt set ikke helt sandt: Det er sædvanligvis sædvanligt at sige [4] , at kun de relationer, der gælder i ethvert kartesisk koordinatsystem ( invariant ) har en "geometrisk fortolkning".

Operationer på vektorer

Vektormodul

Modulet af en vektor er et tal lig med længden af segmentet . Benævnt som . For en tredimensionel vektor i et kartesisk koordinatsystem kan den beregnes som: $\overrightarrow {AB}$ $AB$ $|\overhøjrepil {AB}|$

|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}

Vektortilsætning

I koordinatrepræsentationen opnås sumvektoren ved at summere de tilsvarende koordinater af led:

{\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})

Forskellige regler (metoder) bruges til at konstruere sumvektoren geometrisk , men de giver alle det samme resultat. Brugen af denne eller hin regel er begrundet i, at problemet er løst. ${\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$

Trekantregel

Trekantreglen følger mest naturligt af at forstå en vektor som en oversættelse. Det er klart, at resultatet af successiv anvendelse af to overførsler og et vist punkt vil være det samme som anvendelsen af én overførsel på én gang svarende til denne regel. For at tilføje to vektorer og ifølge trekantsreglen overføres begge disse vektorer parallelt med sig selv, så begyndelsen af den ene af dem falder sammen med slutningen af den anden. Så er sumvektoren givet af den tredje side af den dannede trekant, og dens begyndelse falder sammen med begyndelsen af den første vektor og slutningen med slutningen af den anden vektor. ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}+{\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Denne regel er direkte og naturligt generaliseret til tilføjelse af et hvilket som helst antal vektorer, der bliver til reglen med stiplet linje :

Regel med tre punkter

Hvis et segment repræsenterer en vektor, og et segment repræsenterer en vektor , så repræsenterer segmentet en vektor . ${\overrightarrow {AB}}$ ${\vec {a}}$ ${\overrightarrow {BC}}$ ${\vec {b))$ ${\overrightarrow {AC}}$ ${\vec {a}}+{\vec {b}}$

Polygonregel

Begyndelsen af den anden vektor falder sammen med slutningen af den første, begyndelsen af den tredje - med slutningen af den anden, og så videre, summen af vektorerne er en vektor, hvor begyndelsen falder sammen med begyndelsen af den første og slutningen falder sammen med slutningen af -th (det vil sige, den er afbildet af et rettet segment, der lukker den stiplede linje) . Kaldes også reglen for stiplet linje. $n$ $n$

Parallelogramregel

For at tilføje to vektorer og ifølge parallelogramreglen overføres begge disse vektorer parallelt med sig selv, så deres oprindelse er sammenfaldende. Så er sumvektoren givet ved diagonalen af parallelogrammet bygget på dem, der kommer fra deres fælles oprindelse. (Det er let at se, at denne diagonal er den samme som den tredje side af trekanten, når du bruger trekantsreglen). ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Parallelogramreglen er især praktisk, når der er behov for at afbilde sumvektoren umiddelbart knyttet til det samme punkt, som begge led er knyttet til - det vil sige at afbilde alle tre vektorer med en fælles oprindelse.

Modulet af summen af to vektorer kan beregnes ved hjælp af cosinussætningen :

|{\vec {a}}+{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+ 2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}})

, hvor er cosinus af vinklen mellem vektorerne og .

\cos({\vec {a)],{\vec {b)))

{\vec {a}}

{\vec {b}}

Hvis vektorerne er tegnet i overensstemmelse med trekantsreglen, og der tages en vinkel i henhold til figuren - mellem trekantens sider - som ikke falder sammen med den sædvanlige definition af vinklen mellem vektorer, og dermed med vinklen i ovenstående formel, så får det sidste led et minustegn, som svarer til cosinussætningen i dens direkte ordlyd.

For summen af et vilkårligt antal vektorer er en lignende formel anvendelig, hvor der er flere led med cosinus: et sådant udtryk findes for hvert par af vektorer fra det summerede sæt. For eksempel, for tre vektorer, ser formlen sådan ud:

|{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b } }}|^{2}+|{\vec {c}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a } },{\vec {b)))+2|{\vec {a}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {a}},{\vec {c}}) + 2|{\vec {b}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {b}},{\vec {c}}).

Vektor subtraktion

For at opnå forskellen i koordinatform trækkes de tilsvarende koordinater af vektorerne fra:

{\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})

For at opnå en differensvektor forbindes begyndelsen af vektorerne, og begyndelsen af vektoren vil være slutningen af , og slutningen vil være slutningen af . Hvis skrevet ved hjælp af punkter af vektorer, så . ${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$ ${\vec {c}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ $\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BC}$

Forskelsmodul af vektorer

Tre vektorer , som derudover, danner en trekant, og udtrykket for differensmodulet er ens: ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}}-{\vec {b}}$

|{\vec {a}}-{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}- 2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}}),

hvor er cosinus af vinklen mellem vektorerne og $\cos({\vec {a)],{\vec {b)))$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}).$

Forskellen fra summodulformlen i tegnet foran cosinus, mens det er nødvendigt nøje at overvåge, hvilken vinkel der tages (varianten af summodulformlen med vinklen mellem trekantens sider, når den summeres iht. trekantsregel, adskiller sig ikke i udseende fra denne formel for differensmodulet, men du skal have for øje, at der tages forskellige vinkler her: i tilfælde af summen tages vinklen, når vektoren overføres til enden af vektor , når der søges efter modulus af forskellen, tages vinklen mellem vektorerne knyttet til et punkt; udtrykket for modulet af summen ved brug af den samme vinkel som i det givne udtryk for forskellens modul adskiller sig med skilt foran cosinus). ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$

Multiplicer en vektor med et tal

At multiplicere en vektor med et tal giver en codirectional vektor med en længde, der er gange længere. At multiplicere en vektor med et tal giver en modsat rettet vektor med en længde, der er gange større. At multiplicere en vektor med et tal i koordinatform gøres ved at gange alle koordinater med dette tal: ${\vec {a}}$ $\alfa >0$ $\alfa$
${\vec {a}}$ $\alfa<0$ $|\alfa |$

\alpha {\vec {a}}=(\alpha a_{x},\alpha a_{y},\alpha a_{z})

Baseret på definitionen opnås et udtryk for vektorens modul ganget med et tal:

|\alpha {\vec {a}}|=|\alpha ||{\vec {a}}|

Ligesom med tal, kan operationerne med at tilføje en vektor til sig selv skrives som multiplikation med et tal:

{\vec {a}}+{\vec {a}}=2{\vec {a}}

Og subtraktionen af vektorer kan omskrives gennem addition og multiplikation:

{\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {a}}+(-{\vec {b}})

Baseret på det faktum, at multiplikation med ikke ændrer længden af vektoren, men kun ændrer retningen, og givet definitionen af vektoren, får vi: $-en$

-\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BA}

Punktprodukt af vektorer

For geometriske vektorer er skalarproduktet defineret gennem deres geometriske karakteristika og introduceres som følger:

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec { b))

Her tages for at beregne cosinus vinklen mellem vektorerne, hvilket er defineret som størrelsen af den vinkel, der dannes af vektorerne, hvis man anvender dem til et punkt (kombiner deres begyndelse).

Dette udtryk kan omskrives i form af koordinater (her formlen for tredimensionelt rum):

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}

Det skalære kvadrat af en vektor er dets skalære produkt med sig selv og kan beregnes gennem vektorens modul:

{\vec {a}}^{2}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}

Krydsprodukt af vektorer

Et vektorprodukt af to vektorer og er en vektor , der er ortogonal i forhold til vektorplanet, og dens længde er lig med arealet af parallelogrammet dannet af vektorerne, og retningen bestemmes af højrehåndsreglen . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}\ gange {\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Blandet produkt af vektorer

Det blandede produkt af tre vektorer er et tal defineret som følger: ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

({\vec {a)),{\vec {b)],{\vec {c)))={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\ gange {\vec {c }})

Modulet af denne værdi giver volumen af parallelepipedet bygget på vektorer . ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Se også

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik . — M .: Nauka, 1978.
- Genudgivelse: Ed. AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Bashmakov M. Hvad er en vektor? // Kvante . - 1976. - Nr. 4 . - S. 2-5 . (Russisk)
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.

Noter

↑ Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. , Kadomtsev S. B. , Poznyak E. G. , Yudina I. I. Geometri grades 7-9. - Moskva: Uddannelse, 2010. - 384 s. — ISBN 978-5-09-023915-8 .
↑ Elementær matematik, 1976 , s. 249..
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Håndbog i højere matematik. - Moskva: Astrel, 2006. - 991 s. - ISBN 5-271-03651-0 .
↑ Dette udsagn er naturligvis til en vis grad betinget, da et bestemt fast koordinatsystem, hvis det ønskes, eksplicit kan inkluderes i antallet af objekter, som der er etableret relationer til, og derefter kan de algebraiske udsagn for dette faste bestemte koordinatsystem omformuleres, så at de er invariante under optegnelser i ethvert andet, vilkårligt koordinatsystem.

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet