G₂

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. november 2021; verifikation kræver 1 redigering .

G 2 i matematik  er navnet på tre simple Lie-grupper (kompleks, reel kompakt og reel opdelt), Lie-algebraen forbundet med dem , samt flere algebraiske grupper . De er den mindste af de fem usædvanlige simple Lie-grupper , af rang 2 og dimension 14, med trofaste ikke-trivielle finit-dimensionelle lineære repræsentationer . I alt har G 2 to grundlæggende repræsentationer af dimensionerne 7 og 14, hvoraf den første svarer til en kort rod af G 2 -rodsystemet .

Den kompakte form G 2 er automorfigruppen af ​​oktonion (oktav) algebraen eller en undergruppe af SO(7), der efterlader en fast 8-dimensionel spinor (i sin spinor-repræsentation) på plads.

Implementeringer

Der er 3 simple ægte Lie-algebraer forbundet med et givet rodsystem :

• Den rent ægte Lie-algebra , der ligger til grund for den komplekse Lie-algebra G 2 , er 28-dimensionel og enkelt forbundet. Kompleks konjugation er dens ydre automorfi. Den maksimale kompakte undergruppe af gruppen forbundet med denne algebra er den kompakte form af G 2 .
• Lie-algebraen i kompakt form har dimension 14. Den tilknyttede Lie-gruppe har ingen ydre automorfismer , intet center , og er simpelthen forbundet og kompakt.
• Lie-algebraen i sin ikke-kompakte (adskilte) form indeholder 14 dimensioner. Den tilhørende simple Lie-gruppe har en fundamental gruppe af orden 2, og dens ydre automorfigruppe er en triviel gruppe. Dens maksimale kompakte undergruppe er SU(2)×SU(2)/(−1×−1). For denne gruppe eksisterer der en ikke-algebraisk dobbelt universel dækningsgruppe (simpelthen forbundet).

Algebraiske egenskaber

Dynkins skema

Rodsystem G 2

På trods af at rodvektorerne kan placeres i 2-dimensionelt rum, ser deres udtryk i tre koordinater, hvis sum er nul, mere symmetrisk ud:

(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1), (0,1,−1), (0,−1,1), (2,−1,−1), (−2,1,1), (1,−2,1), (−1,2,−1), (1,1,−2), (−1,−1,2),

og simple positive rodvektorer

(0,1,−1), (1,−2,1).

Weyl / Coxeter gruppe

For algebraen G 2 er dette den dihedrale gruppe D 12 af orden 12.

Cartan matrix

Særlig holonomi

G 2 er en af ​​de specielle grupper, der kan være holonomigrupperne i den riemannske metrik . Sorter med G 2 -holonomi kaldes G 2 -sorter .

Links

• John Baez , The Octonions , afsnit 4.1: G2 , Bull. amer. Matematik. soc. 39 (2002), 145-205 . Online HTML-version .

Enestående simple Lie-grupper
G₂ F4 E₆ E₇ E₈

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation