Barnes G-funktion

Barnes G-funktionen (normalt betegnet ) er en funktion, der udvider begrebet superfaktoriel til feltet af komplekse tal . Det er relateret til Gamma-funktionen , K-funktionen og Glaisher-Kinkelin-konstanten . -funktion er opkaldt efter den engelske matematiker Ernest William Barnes [1] . $G(z)$ $G$

Formelt defineres Barnes-funktionen (i form af Weierstrass-produktet ) som $G$

G(z+1)=(2\pi )^{z/2}e^{-\left[z(z+1)+\gamma z^{2}\right]/2}\prod _{n=1}^{\infty}\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}e^{-z+z^{2}/(2n )}\ret]

hvor er Euler-Mascheroni konstanten . $\gamma$

Differentialligninger, funktionelle ligninger og partielle værdier

$G$ -Barnes funktion opfylder differensligningen

G(z+1)=\Gamma (z)G(z)

På denne måde

G(n)=\operatørnavn {sf} (n-2)

, hvor er den superfaktorielle af .

\operatørnavn {sf} (x)

x

For eksempel,

G(8)=\operatørnavn {sf} (6)=6!\cdot 5!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!\cdot 1!=24883200

hvis vi accepterer det . I en differentialligning antages det, at den antager følgende værdier for heltalværdier af argumentet: $G(1)=1$ $G$

G(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2} i!&{\mbox{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}

dermed

G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}

hvor Γ er Gamma-funktionen og K er K-funktionen . En differentialligning definerer entydigt en -funktion, hvis konveksitetsbetingelsen tilføjes: [2] . $G$ ${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}G(x)\geq 0$

Differentialligningen for -funktionen og den funktionelle ligning for Gamma-funktionen fører til følgende funktionelle ligninger for -funktionen, bevist af Herman Kinkelin : $G$ $G$

G(1-z)=G(1+z){\frac {1}{(2\pi )^{z}}}\exp \int _{0}^{z}\pi x\ barneseng\pix\,dx.

Multiplikationsformel

I lighed med gamma-funktionen har -funktionen også en multiplikationsformel [3] : $G$

G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n} {2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n} }\ret),

hvor

K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot ( 2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12))})^{n^{2}-1}\cdot n^ {\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.

Her er Riemann zeta-funktionen , er Glaisher-Kinkelin konstanten . ${\displaystyle \zeta ^{\prime ))$ $EN$

Noter

↑ EW Barnes, "Teorien om G-funktionen", Quarterly Journ. Pure og Appl. Matematik. 31 (1900), 264-314.
↑ MF Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL $(2,\mathbb {Z} )$ , Astérisque 61 , 235-249 (1979).
↑ I. Vardi, Determinants of Laplacians and multiple gamma functions , SIAM J. Math. Anal. 19 , 493-507 (1988).