Dirichlet beta funktion

Dirichlet beta-funktionen i matematik , nogle gange kaldet den catalanske beta-funktion , er en speciel funktion tæt forbundet med Riemann-zeta-funktionen . Det er et særligt tilfælde af Dirichlet L-funktionen . Det er opkaldt efter den tyske matematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ), og et alternativt navn - til ære for den belgiske matematiker Eugène Charles Catalan ( Eugène Charles Catalan ).

Dirichlet beta-funktionen er defineret som [1]

\beta (s)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\;,

eller tilsvarende gennem den integrerede repræsentation

\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^({\infty }}{\frac {x^{{s-1}}e^{{ -x}}}{1+e^{{-2x}}}}\,dx\;,

hvor Γ( s ) er Euler gamma-funktionen . I begge tilfælde antages det, at Re( s ) > 0.

Relation til andre funktioner

En alternativ definition i form af Hurwitz zeta-funktionen er gyldig på hele det komplekse plan af variablen s :

\beta (s)=4^{-s}\left[\zeta \left(s,{\tfrac {1}{4}}\right)-\zeta \left(s,{\tfrac { 3}{4}}\right)\right]\;.

Dirichlet betafunktionen er også relateret til Lerch transcendent funktion ( engelsk Lerch transcendent ),

\beta (s)=2^{{-s}}\Phi \left(-1,s,{\tfrac {1}{2}}\right)\;.

Denne sammenhæng er også sand på hele det komplekse plan af variablen s [2] .

Forholdet mellem β( s ) og β(1 - s ) tillader , at Dirichlet beta-funktionen kan udvides analytisk til venstre side af det komplekse plan af variablen s (det vil sige for Re( s )<0),

\beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{{s-1}}\Gamma (1-s)\cos \left({\tfrac {1}{ 2}}\pi s\right)\,\beta (1-s)\;,

Private værdier af Dirichlet beta-funktionen for heltalsværdier af argumentet inkluderer

\beta (0)\;=\;{\tfrac {1}{2)),

\beta (1)\;=\;{\tfrac {1}{4}}\pi ,

\beta (2)\;=\;G,

\beta (3)\;=\;{\tfrac {1}{32}}\pi ^{3},

\beta (4)\;=\;{\tfrac {1}{768}}\left[\psi _{3}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-8 \pi ^{4}\right],

\beta (5)\;=\;{\tfrac {5}{1536}}\pi ^{5},

\beta (7)\;=\;{\tfrac {61}{184320}}\pi ^{7},

\beta (9)\;=\;{\tfrac {1385}{41287680}}\pi ^{9},

hvor G er den catalanske konstant og er kvotienten af pentagammafunktionen ( polygammafunktioner af tredje orden). ${\textstyle {\psi _{3}({\frac {1}{4))))}$

Generelt for ethvert positivt heltal k

\beta (2k)={\frac {1}{2^{4k}(2k-1)!}}\left[\psi _{2k-1}\left({\tfrac {1}{ 4}}\right)-\psi _{2k-1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right],

\beta (2k+1)={{{({-1})^{k}}{E_{{2k}}}{\pi ^{{2k+1}}} \over {4^{{k +1}}}(2k)!}},

hvor er rækkefølgen polygamma-funktionen ( 2k-1 ), og E 2 k er Euler-tallene [3] . $\psi _{2k-1}(z)\equiv \psi ^{(2k-1)}(z)$

For negative værdier af argumentet (for heltal ikke-negativ k ) har vi

\beta (-2k)={\tfrac {1}{2}}E_{{2k}}\;,

\beta(-2k-1)=0\;,

dvs. β( s ) er lig med nul for alle ulige ulige negative værdier af argumentet (se grafen for funktionen) [2] .

For nogle heltalsværdier af argumentet s kan den afledte β'( s ) beregnes analytisk [2] ,

\beta ^{\prime }(-1)={\frac {2G}\pi }\;,

\beta ^{\prime }(0)=\ln \left({\frac {\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{4)))}{2\pi {\sqrt 2))} \ret)\;,

\beta ^{\prime }(1)={\frac {\pi}4}\left(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac 14})\ ret)\;,

(Se også OEIS A113847 og A078127 ).

For positive heltal n kan den afledte desuden repræsenteres som en uendelig sum [2]

\beta ^{\prime }(n)=-\sum _{{k=1}}^{\infty }\ln \left({\frac {(4k+1)^{{1/(4k+1 )^{n}}}}{(4k-1)^{{1/(4k-1)^{n}}}}}\højre)\;.

↑ Christopher Clapham, James Nicholson. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics . - Oxford University Press, 2014. - S. 138. - 544 s. — ISBN 9780199679591 .
↑ 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Funktion (HTML). mathworld.wolfram.com. Hentet 10. februar 2015. Arkiveret fra originalen 30. marts 2015. (ubestemt)
↑ KS Kolbig. Polygammafunktionen for og $\psi ^{(k)}(x)$ $x={\tfrac {1}{4}}$ $x={\tfrac {3}{4}}$ (engelsk) // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1996. - Bd. 75 . - S. 43-46. - doi : 10.1016/S0377-0427(96)00055-6 .

J. Spanier & K.K. Oldham. An Atlas of Functions , Hemisphere, New York, 1987
Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Function (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .