Det tredje grænseværdiproblem

Robins problem , Newtons problem , tredje grænseværdiproblem , impedanstypeproblem - en slags grænseværdiproblem for differentialligninger . Opkaldt efter den franske matematiker Victor Robin og den britiske fysiker Isaac Newton .

Udtalelse af problemet

I sin mest generelle form er problemet stillet som følger: løs en partiel differentialligning af formen

Lu=f(\mathbf {x} )

i området ved

\Omega

Under grænsebetingelser af følgende form:

\left.\left(au+b{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n}}}\right)\right|_{\partial \Omega }=g(\mathbf {x } )

Sådan en opgave kaldes det tredje grænseværdiproblem .

Fysisk fortolkning

Da den tredje grænse definerer forbindelsen mellem den ønskede funktion og dens normale afledte på grænsen af regionen, så bruges forskellige måder at specificere og fortolke den tredje grænse, afhængigt af problemet, der løses:

For varmeledningsligningen er de givet i formen - varmeoverførsel ifølge Newton-Richmanns lov [1] . $-\lambda {\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}=\beta (u-u_{\beta }(\mathbf {x} ))$
For skalære ligninger opnået fra Maxwells ligninger , , er givet i en lignende form (hvis ligningen er i forhold til den elektriske feltstyrke ) og betyder forholdet mellem de elektriske og magnetiske felter ved grænsen af området. $-\mu ^{-1}{\frac {\partial E}{\partial \mathbf {n} }}=\beta (E-u_{\beta }(\mathbf {x} ))$
For vektorligninger opnået fra Maxwells ligninger kan de tredje grænseligninger skrives under hensyntagen til forbindelsen , som følger [2] : $\mathbf {H} =\mu ^{-1}\nabla \times \mathbf {E}$

-\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} =Q(\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} )+\mathbf {g} =0

Analytisk løsning

En analytisk løsning på det tredje grænseværdiproblem kan findes ved hjælp af potentialteori .

Numerisk løsning

Hver numerisk metode til løsning af differentialligninger har sine egne træk ved at tage højde for den tredje grænse, for eksempel:

I den endelige differensmetode konstrueres et differensskema af formen , hvor er en differensoperator, og den resulterende ligning føjes til systemet. $au_{i}+Ru_{i}=g(\mathbf {x} _{i})$ $R$
I den endelige elementmetode er de tredje grænser naturlige og tages i betragtning på niveauet for variationsformulering, tilføjelser opnås til matrixen og til højre side [1] :

{\displaystyle \int _{\partial \Omega }{\beta \varphi _{i}(\mathbf {x} )\varphi _{j}(\mathbf {x} )dx))

er tilføjelsen til det -th, -th element i matricen;

jeg

j

{\displaystyle \int _{\partial \Omega }{\beta u_{\beta }(\mathbf {x} )\varphi _{i}(\mathbf {x} )dx))

er tilføjelsen til det i-te element i højre side.

jeg

Se også

Noter

↑ 1 2 Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Finite element-metode til skalar- og vektorproblemer. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .
↑ T. Huttunen, M. Malinen, P. Munk. Løsning af Maxwells ligninger ved hjælp af ultrasvag variationsformulering . - 2006. - S. 46 .

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner