Monodromi

I matematik er monodromi [1] et fænomen, der består i transformationen af et eller andet objekt, når det omslutter det langs en ikke-triviel lukket sti.

Historie

Opdagelsen af monodromi går tilbage til striden mellem d'Alembert og Euler om, hvilke værdier logaritmen tager på negative tal. Logaritmen kan ikke defineres ved nul, derfor er det nødvendigt at gå ind i det komplekse område for at besvare dette spørgsmål . Logaritmen udvides til ikke-nul komplekse tal ved hjælp af analytisk fortsættelse . På tidspunktet for Euler var denne teknik endnu ikke blevet formaliseret, og han blev styret af formlen , der bar hans navn (kendt dog stadig af Kotsu ): . Hvis et reelt tal løber gennem segmentet fra til , så punktet $\log(\cos x+i\sin x)=ix$ $x$ $0$ $\pi$ $z=\cos x+i\sin x$ løber gennem den øverste halvdel af enhedscirklen i det komplekse plan, og for , vi har . På den anden side, i dette tilfælde, løber segmentet af den imaginære akse fra til , så det er naturligt at antage, at . $x=\pi$ $z=-1$ $\log z=ix$ $0$ $i\pi$ $\log(-1)=i\pi$

Men hvis vi ikke begrænser os til en halvcirkel, men lader punktet løbe gennem hele cirklen, så skal det tilsvarende punkt , det er let at se, løbe fra til , og dermed vil logaritmen løbe gennem segmentet fra til . Derfor er det fra Eulers synspunkt nødvendigt at tillade den komplekse logaritme at tage både værdien og værdien - og lade dig gå rundt i enhedscirklen så mange gange du vil i enhver retning, så er alle værdier for alle mulige heltal . For at løse dette problem måtte Euler indrømme, at den komplekse logaritme er en " funktion med flere værdier " - et begreb strengt defineret af Riemann mange år senere. $z$ $x$ $0$ $2\pi$ $0$ $2\pi i$ $\mathrm {Log} ~1$ $0$ $2\pi i$ $2\pi in$ $n$

Afmystificering af "logaritmen som en flerværdifunktion": differentialligningernes monodromi

Fra moderne matematiks synspunkt er løsningen på dette problem som følger. Cotes-Euler formlen er lidt mere end en måde at sige, at en logaritme opfylder en differentialligning . Hvis vi repræsenterer en funktion som dens graf, så betyder det geometrisk, at logaritmens graf på et punkt berører den rette linje, som vektoren spænder over , hvor er enhedsvektorerne rettet langs koordinatakserne. Når , , skærer integralkurverne af et sådant vektorfelt hver lodret linje én gang, og dermed er grafer over funktioner, som i virkeligheden er funktioner af . Ved at kende den oprindelige betingelse , giver dette dig mulighed for at gendanne, hvad logaritmen er. $\log(\cos x+i\sin x)=ix$ $y'(x)=1/x$ ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {C} ^{2))$ $\partial _{x}+\partial _{y}/x$ $\partial _{x},~\partial _{y}$ $x,y\in \mathbb {R}$ $x>0$ $y(x)=\log x+C$ $y(1)=0$

På samme tid, hvis vi betragter et vektorfelt som et holomorft vektorfelt på (ikke defineret ved ), så vil dets integralkurver, selvom de vil være veldefinerede holomorfe kurver i , ikke være grafer af nogen funktion : integralkurver af dette felt skærer hver linje i formen i et uendeligt sæt punkter, der adskiller sig fra hinanden ved en forskydning af vektoren . $\partial _{x}+\partial _{y}/x$ $\mathbb {C} ^{2}$ $x=0$ $\mathbb {C} ^{2}$ $y=y(x)$ $x=C$ $(0,2\pi in)$

Ud fra teorien om differentialligninger er det nyttigt at betragte dette billede ikke som et plan, men som en triviel fibrering med et lag over Riemann-sfæren med flere punkteringer (i dette tilfælde ved punkterne og ). Topologisk er Riemann-sfæren med to punkteringer en ring , og derfor er dens grundlæggende gruppe isomorf . Generatoren af denne gruppe er homotopiklassen for enhedscirklen; når den er indesluttet omkring enhedscirklen, skifter løsningen af differentialligningen med . Dette er formelt angivet som følger: monodromien af en differentialligning er repræsentationen af en cyklisk gruppe , der sender generatoren ind i et skift med . Handlingen er defineret som følger: punktet opfattes som en grænsebetingelse for differentialligningen i dens begrænsning til vores løkke, løsningen fortsætter analytisk langs løkken, og ved tilbagevenden til udgangspunktet bestemmes en ny værdi i den. En lagtransformation, der transformerer den oprindelige grænsetilstand til resultatet af analytisk fortsættelse, kaldes en monodromitransformation . $\mathbb {C}$ $0$ $\infty$ $S^{1}\ gange (-1,+1)$ $\pi _{1}(S^{1})=\mathbb {Z}$ $2\pi i$ $y'(x)=1/x$ $\mathbb {Z}$ $2\pi i$ $(x,y)$

Af særlig interesse er monodromien af lineære fuchsiske ligninger . I dette tilfælde vil svaret ikke være én funktion, men flere, det vil sige, at sektionen af bundtet med laget ikke er , men . Da ligningen er lineær, vil den analytiske fortsættelse af opløsningen omkring et lukket kredsløb desuden ikke bestemme nogen holomorfe transformationer , men lineære. Således er monodromien af en lineær fuchsisk ligning en kortlægning . Da den grundlæggende gruppe af en kugle med flere punkteringer er fri , kan man definere en sådan repræsentation ved at tilknytte hver punktering undtagen én en kompleks matrix (så er monodromien omkring den resterende punktering det omvendte af produktet af de kendte monodromi-matricer, taget i den rigtige rækkefølge). Det berømte Riemann-Hilbert-problem spørger, om det er muligt at rekonstruere en lineær fuchsisk ligning omkring dem for et givet sæt af punkteringer og monodromimatricer omkring dem. Det blev positivt løst af Plemelj i 1908 , indtil Ilyashenko opdagede, at for at denne løsning skal være sand, skal mindst én monodromi-matrix være diagonaliserbar. Derefter, i 1989, konstruerede Bolibrukh et modeksempel og gav derved en negativ løsning på den klassiske version af Riemann-Hilbert-problemet. [2] $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $\pi _{1}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\})\til \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$

Monodromi af belægninger

Måske opstår den enkleste forestilling om monodromi i topologien, nemlig i teorien om belægninger . Lad være en belægning (hvis basis er sti-forbundet, men det samlede rum er muligvis afbrudt), og være to punkter i bunden. Forbinder dem med en sti , vi hæver denne sti til det samlede rum af dækningen. Dette løft vil afhænge af valget af det omvendte billede af punktet , men med den dækkende homotopisætning , intet mere. Især valget af ("grænsebetingelsen") bestemmer entydigt . Lad os sætte stierne i overensstemmelse med den kortlægning , der fører punktet til det tilsvarende punkt ("Cauchy mapping"). Denne kortlægning afhænger ikke af homotopiklassen for den naglede sti, især hvis stien var en løkke, så giver den en permutation af laget, der kun afhænger af homotopiklassen for denne løkke. Associering med homotopiklassen af et lags permutationsløkke giver en mapping , som, da det er let at verificere, er en gruppehomomorfi. Denne homomorfi kaldes monodromi-repræsentationen , og dens billede kaldes monodromigruppen . $p\colon Y\to X$ $x,x'\in X$ $\gamma$ $y(x)\in p^{-1}(x)$ $y(x)$ $y(x')$ $\gamma$ $p^{-1}(x)\to p^{-1}(x')$ $y(x)$ $y(x')$ ${\displaystyle p^{-1}(x)=Y_{x))$ $\pi _{1}(X)\to {\mathfrak {S}}(Y_{x})$

Historisk blev teorien om dækninger formaliseret netop i Riemanns værker relateret til differentialligningernes monodromi, hvor han formaliserede begrebet en flerværdifunktion. Hans omslag var dem fra den punkterede Riemann-sfære, hvor "mange-værdi-funktioner" ville blive de velkendte enkelt-værdi-funktioner, og de forskellige værdier af multi-værdi-funktioner på et tidspunkt ville simpelthen være dens værdier på alle forbilleder af det punkt i omslaget. For en funktion med to værdier er den tilsvarende dækning f.eks. den to-lags dækning af Riemann-kuglen gennemboret i punkterne og , for den komplekse logaritme, den universelle dækning af samme. Monodromigrupperne i disse tilfælde er grupperne og hhv . På samme måde svarer en pladebeklædning af en kugle med to punkteringer til en værdifuld funktion og har en monodromigruppe , så det giver mening at tale om logaritmen som en "rod af uendelig grad". ${\sqrt {z))$ $0$ $\infty$ $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $m$ $m$ ${\sqrt[{m}]{z))$ $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$

Overvej en funktion med flere værdier givet af betingelsen , hvor er et tilstrækkeligt generelt polynomium af grad . Beklædningen, hvorpå funktionen bliver enkeltværdiet, har blade, så dens monodromigruppe er en undergruppe af den symmetriske gruppe , og for et tilstrækkeligt generelt polynomium udtømmer den hele den symmetriske gruppe. Opløseligheden af en ligning i radikaler (det vil sige repræsentativiteten af en funktion som en sammensætning af aritmetiske operationer og at tage rodgrader ) svarer til, at den tilsvarende dækning opnås som en sammensætning af belægninger med monodromigrupper , med andre ord , er en løselig gruppe . Det faktum, at symmetriske grupper er opløselige ved, svarer til opløseligheden i radikaler af ligninger op til den fjerde, og uopløseligheden af gruppen svarer til Abel-Ruffini-sætningen . Denne teorem indeholder den tidligste forestilling om monodromiens topologiske natur. $y=y(x)$ $x=P(y)$ $P$ $n$ $y$ $n$ ${\mathfrak {S}}_{n}$ $P(t)=0$ $y(x)$ $m_i$ $\mathbb {Z} /m_{i}\mathbb {Z}$ ${\mathfrak {S}}_{n}$ $n<5$ ${\mathfrak {S}}_{5}$

Monodromi af flade forbindelser

I differentialgeometri opstår begrebet monodromi som et særligt tilfælde af begrebet holonomi . Nemlig, lad være et bundt, vektorbundt for enkelhedens skyld , og være en forbindelse i det. Derefter kan man med hver stykkevis glat sti associere en parallel oversættelsesoperation ved hjælp af en forbindelse. Især hvis vi betragter lukkede stykkevis glatte sløjfer med oprindelse i punktet , vil dette give en lagtransformation, det vil sige et element i gruppen . Da klassen af stykkevis glatte sløjfer er lukket under sammenkædning, og vending af retningen for at krydse sløjfen giver en omvendt endomorfi, udgør sættet af alle sådanne endomorfismer en gruppe. Denne gruppe kaldes holonomigruppen . $E\to X$ $\nabla$ $\gamma \colon [0;1]\til X$ ${\displaystyle E_{\gamma (0)}\to E_{\gamma (1)))$ $x$ $\mathrm {GL} (E_{x})$

Hvis forbindelsen derudover var flad, så fra Frobenius-sætningen , anvendt på fordelingen af den vandrette fordeling på det samlede rum , følger det, at holonomi langs løkken ikke ændres med sine små deformationer, det vil sige, det afhænger af kun på sin homotopiklasse. Derfor giver det for flade forbindelser mere mening at tale om monodromi frem for holonomi. I topologiske termer svarer dette til følgende: Det følger af Frobenius-sætningen, at enhver vektor i et fladt bundt lokalt kan udvides til et fladt snit (sådanne snit kaldes også vandret, parallelt eller kovariant konstant). Hvis vi betragter det samlede rum af et bundt med en anden topologi (vi vil betegne det med en sådan topologi ), hvor grundlaget for åbne mængder vil være skæringspunkterne mellem lokale horisontale sektioner med åbne delmængder i , så vil projektionskortet faktisk være en belægning, og monodromien af en sådan belægning vil simpelthen være monodromien af et bundt med en flad forbindelse. $E$ $E$ $E$ $E'$ $E$ $E'\to X$

Det originale, Eulerianske monodromibegreb for førsteordens lineære differentialligninger med kompleks tid kan opnås ved at betragte et trivielt holomorft bundt over en punkteret Riemann-kugle med en forbindelse svarende til denne differentialligning. Det skal dog bemærkes, at hvis ligningen var af anden eller højere orden, så er det en yderst ikke-triviel opgave at finde dens fortolkning i form af en flad forbindelse af geometrisk karakter, hvis det er muligt: for eksempel mange værker er afsat til forbindelsen mellem den hypergeometriske ligning og Gauss-Manin-forbindelsen . [3] [4]

Ideen om, hvordan man anvender monodromi til ikke-plane forbindelser, er udviklet af Bogomolov og hans elever. Overvej for nemheds skyld en Riemann-overflade med et markeret punkt , og overvej kategorien af alle mulige endelige delmængder , der ikke indeholder , hvor morfismen eksisterer, medmindre (hvis du tænker på objektet som en Riemann-overflade , hvorfra undergruppens punkter er punkteret, så er morfismen simpelthen den identiske indlejring af den mere punkterede overflade med en mindre gennemboret). Anvend nu funktionen i kategorien af grupper på denne kategori . Grænsen for det resulterende gruppediagram vil blive angivet med . Denne gruppe kan opfattes uformelt som den grundlæggende gruppe af overfladen gennemboret på alle punkter undtagen . En stykkevis glat løkke baseret på punktet har en veldefineret klasse i denne gruppe, da den har den i de fundamentale grupper af alle mulige overflader punkteret uden for denne løkke. Hvis er et bundt med en forbindelse over , så er kortet, der omdanner en sløjfe til en holonomi af forbindelsen langs den, en homomorfi svarende til monodromi-repræsentationen. En ikke-triviel topologi kan introduceres på gruppen , nemlig grænsen for diskrete topologier langs diagrammet beskrevet ovenfor. I dette tilfælde vil en forbindelse svare til en kontinuerlig repræsentation, hvis denne forbindelse var flad uden for flere punkter (f.eks. er Levi-Civita-forbindelsen for polyederens overflade i ). I en velkendt analogi mellem Riemann-overflader og talfelter svarer en sådan gruppe (men ikke bogstaveligt talt) til en profin afslutning af Galois-gruppen . $x$ $x$ $S\subset X$ $x$ $S\to S'$ $S\upset S'$ $S$ $x$ $S$ $S\mapsto \pi _{1}(X\setminus S,x)$ $\Pi _{1}(X,x)$ $x$ $x$ $x$ $(E,\nabla )$ $x$ $\Pi _{1}(X,x)\to \mathrm {GL} (E_{x})$ $\Pi _{1}(X,x)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\Pi _{1}(X,x)$

Noter

↑ Stress på den fjerde stavelse er historisk karakteristisk for Moskva-skolen, på den tredje - for Skt. Petersborg-skolen.
↑ A. A. Bolibrukh, "Riemann-Hilbert-problemet på den komplekse projektive linje" , Mat. notes, 46:3 (1989), 118-120
↑ S. Bloch . [en]
↑ W. J. Hoffman . Aritmetiske egenskaber for Picard-Fuchs differentialligninger